Автореферат (Моды шепчущей галереи в неидеальных оптических микрорезонаторах. Методы аппроксимации), страница 2

Кроме того варьированиеформы резонатора также дает возможности более точно подбирать дисперсию мод в резонаторе с модами шепчущей галереи, что необходимо для эффективного возбуждения оптическихгребенок [1] в резонаторах с модами шепчущей галереи. Поэтому в работе рассматривается,в том числе, поверхность четвертого порядка — квартика.Для резонаторов с отличной от сферической и цилиндрической форм разрешить аналитически уравнения для распределения поля не удается. Для получения аналитических выражений в качестве неидеальных резонаторов чаще всего рассматривают сфероид.

Частотысфероида можно найти, используя собственные функции сфероида, широко рассмотренные влитературе. Однако, на текущий момент подходящих приближений для случая резонаторовс модами шепчущей галереи нет. Поэтому применяются различные приближенные методы,дающие достаточно точные приближения для частот и пространственной дисперсии фундаментальной и поперечных моды сплюснутых и вытянутых сфероидов.Так как уравнение Гельмгольца является уравнением второго порядка и при стандартной замене переменных его можно свести к виду, аналогичному стационарному уравнениюШредингера с диэлектрической поверхностью резонатора в роли потенциала, то наиболеепростой метод — метод ВКБ, позволяющий найти собственные частоты в квазиклассическомприближении. Как было показано в обзоре литературы, метод ВКБ активно применяется дляпостроения различных приближений для нахождения собственных частот сфероидов.Также методом ВКБ можно пользоваться и для других уравнений второго порядка, еслиудается сделать замены переменных, приводящие эти уравнения к виду уравнения Шредингера.Первый из примененных в работе методов был предложен Сумецким [2] и основан на квазиклассическом квантовании поперечного волнового вектора β.

Подобный метод был такжеприменен в [3]. В адиабатическом приближении кривизна поверхности ρs (z) слабо по сравне-7нию с длиной волны зависит от поперечной координаты z и β ≪ k0 .Ψ ∝ e±iRβ(z)dz±imφR(ρ/ρs ), β(z) =sk2 −2ỹmq,ρ2s (z)(1)где ỹmq – собственные частоты характеристического уравнения для бесконечного цилиндра ссоответствующими граничными условиями, R(ρ/ρs (z)) – радиальные функции. Для простогоpслучая нулевых граничных условий k 2 − β(z)2 ρs = ỹmq = ka = Tmq , где Tmq q-тый кореньфункции Бесселя Jm (Tmq ) = 0 и a радиус цилиндра.

Применяя этот метод для квартики,получим: 1/3 −1/3ℓℓ2p(a − b) + a3+++ α2q22b202! −2/3−1α3q + 10 (1 + 3µ)(2p + 1)2 a2ℓαq p ℓ+++ O(ℓ−4/3 ).+62140032b22ỹℓpq ≃ ℓ − αq(2)Для проверки воспользуемся аналитическим разложением корня характеристического уравнения Tℓ+1/2,q для сферы (2). Легко заметить, что пятый член, пропорциональный ℓ−2/3 ,неверен, так как собственные частоты мод с одинаковыми ℓ и q должны быть вырождены ине должны зависеть от p. Однако, первая часть шестого члена не зависит от p, что верно, ново второй части коэффициента есть проблемы с зависимостью от p, аналогичные проблемамв пятом члене.Второй метод, дающий требуемую точность — метод Эйконала. Это квазиклассическийметод, позволяющий найти асимптотическое решение уравнения Гельмгольца в случае, еслипоказатель преломления среды слабо меняется на масштабах длины волны.

Решение уравнения Гельмгольца ищется в виде плоских волн с медленно меняющимися в пространствеамплитудами и фазами. Для того, чтобы получить собственные частоты методом эйконала, воспользуемся модифицированным условием квантования Бора-Зоммерфельда. В методе~а при более точном расэйконала роль локального волнового вектора выполняет k~∗ = k0 ∇S,смотрении, полученном Келлером в [4], правая часть модифицируется и получаетсяk0I′′′~ ds~ = 2π q + q + q∇S24(3)где q ′ - количество отражений от границы с нулевым граничным условием и q ′′ - количествокасаний каустической поверхности.Как было показано в более ранних работах, [5, 6] метод эйконала и квазиклассическийметод Эйнштейна-Бриллюэна-Келлера (ЕБК) [4], могут давать достаточно хорошие асимптотические приближения для собственных частот сфероидов.

В предыдущих работах 6-ой член,−1пропорциональный (m/2), не рассматривался, так как он отличается от точного разложенияα3q +10 m −1для собственных частот сферы на 1400. Предполагалось, что для получения членов28010m = 50,-110p=0, q=1m = 500, p=0, q=1m = 50,p=1, q=1-210m = 500, p=1, q=1-310-410-510-610-710-810-9100,00,51,01,52,02,5b/aРис.

1: Относительная точность приближения для собственных частот (4)выше 5-ого, метод эйконала не пригоден. Однако, при a 6= b отличие170mнезначительно, идругая часть шестого коэффициента играет большую роль. Кроме того, член, содержащий(2p + 1)2 , является третьим в разложении ηc , а различие170mпоявляется из четвертого членаразложения ζc , что косвенно подтверждает достоверность коэффициента при (2p + 1)2 .Применяя метод для квартик получим: −1/3 −2/3 1/32p(a − b) + a 3βq2 ℓβq 2p(a3 − b3 ) + a3 ℓℓ+−+22b20 212b32! −13βq + 10 (2p + 1)2 a2 (b2 (1 + 3µ) − a2 )ℓ+ O(ℓ−4/3 ).(4)+4140032b2ỹ = nk0 a ≃ ℓ − βq+Для данной аппроксимации в уравнении (4) нет проблем, появляющихся в (2). Пятый членкорректно зависит от ℓ и p.

Последний полученный шестой член может быть использован длярасчета дисперсии поперечных мод, полученной ранее в [7] в приближении b/a → ∞, ноимеющий правильную форму для случая сферы.Аналогичные вычисления методом ЕБК проводились для тороидального резонатора. Врезультате расчета выражение для собственной частоты получено в виде√3βq25βq (2p + 1)R3/2βq b 3 m (2p + 1)R√√√++−nk0 R =m − √31022/3 3 m212 3 2m2/3 r3/22 rR175(2p + 1)2 R(r − R) + 16βq3 r2+ O(m−4/3 )+11200mr2(5)Амплитуда поля в резонаторе для сфероида в первом приближении может быть найдена9из уравнения переноса [4]. Если размер резонатора значительно больше длины волны, можнополучить простое приближение: 2 ρ imφz mJm Tmqe,Eχ ≃ E0 exp −2abā 2 1a −√n2 −1k0 (ρ−a) imφz mEχ ≃ E0 exp −e,Jm Tm1eP2abāρ<aρ > a,(6)Аналитические результаты для собственных частот (4) достаточно хорошо соответствуютрезультатам численного моделирования методом конечных элементов (1). Негладкость этихграфиков вызвана в первую очередь переходом графиков через ноль и также недостаточнойточностью численного моделирования.

Как хорошо видно из графиков, приближение даетхорошие результаты для вытянутых сфероидов, а для сплюснутых сфероидов при a/b > m1/3становится мало пригодным. Причина этого в том, что для сильно сплюснутых сфероидовполе перестает быть сконцентрированным вблизи экватора. Как таковая каустическая поверхность распадается на две, выше и ниже экваториальной плоскости, что противоречитприближениям, сделанным при получении приближений.Для улучшения точности приближения была аппроксимирована ошибка, возникающаяпри сравнении приближения (4) с рассчитанными значениями собственных частот с помощьюпрограммы Comsol Multiphysics.

В результате было показано, что для фундаментальных модудается построить равномерную по l аппроксимацию, дающую прирост в точности околопорядка. При этом для нефундаментальных мод равномерной аппроксимации найдено небыло. Это косвенно означает, что рассмотренные методы не дадут дальнейшего увеличенияточности при увеличении числа членов.Эти результаты опубликованы в [A1], [A2].13.3Глава 3В этой главе представлено сравнение методов расчета сдвига собственных частот и добротности микрорезонаторов с модами шепчущей галереи при наличии тонкого однородного изотропного слоя на поверхности резонатора. Толщина слоя адсорбированного вещества на поверхности обычно не превышает нанометра [8–10].

Измерение сдвига резонансной частотыиграет ключевую роль в работе оптических сенсоров на резонаторах с модами шепчущейгалереи и определяет их предельную чувствительность. Как было показано в обзоре литературы, оптические сенсоры и биосенсоры крайне востребованы в последние десятилетия. Вотличие от химических методов, использование оптических сенсоров на основе микрорезонаторов позволяет при значительно меньших размерах устройств обеспечить меньшее времядетектирования и большую чувствительность.Для диэлектрических резонаторов на границе поле не обращается в 0, и необходимо учитывать различные граничные условия для компонент поля.

Вследствие изменения граничных10условий поле частично «выпадает» из резонатора, что приводит к сдвигу собственной частоты. Так как сдвиг мал по сравнению с собственными частотами мод ШГ, то будем называтьего поправкой.С помощью численного анализа характеристического уравнения вблизи корней функцииБесселя с q ≥ 1 было показано, что поправки очень слабо зависят от q.

Существенные отклонения для мод с q > 6 при m = 100 обусловлены быстрым ухудшением локализации и,соответственно, излучательной добротности мод [11].В работе рассматривается оптический сферический резонатор с тонким слоем пробногооптического материала на поверхности толщиной d ≪ λ (λ – длина волны) с другим показателем преломления np . Так как детектирование вещества может происходить не только ввоздухе [12] но и, например, в растворах [13], то окружающая резонатор среда выбирается споказателем преломления, отличным от 1.Для расчета поправки для собственной частоты воспользуемся условием сшивки для тангенциальных составляющих полей дважды: на границе между резонатором и слоем и междуслоем и окружающий средой.

Рассмотрим наиболее простой случай, допускающий аналитическое решение, когда резонатор имеет сферическую форму. Из граничных условий получимсистему уравнений на границе резонатора и слоя:11√ ψℓ (nk0 a) = p (αχℓ (np k0 a) + βχℓ (np k0 a)) ,np Ppn P√ ′pP ψℓ (nk0 a) = Pp (αψℓ′ (np k0 a) + βχ′ℓ (np k0 a))(7)(8)и аналогично на границе слоя и среды11p (αψℓ (np k0 (a + d)) + βχℓ (np k0 (a + d))) = √ γχℓ (ne k0 (a + d),ne Penp PpppPp (αψℓ′ (np k0 (a + d)) + βχ′ℓ (np k0 (a + d))) = Pe γχ′ℓ (ne k0 (a + d)),(9)(10)где α, β и γ определяют отношение амплитуд поля в средах и Pp равно 1 для TE мод и 1/n2p дляTM мод. В общем виде эта система относительно k0 не разрешается, но ее удается разрешитьв допущении тонкого слоя, много меньшего радиуса резонатора и длины волны.