Исследование электродинамических систем на основе метаматериалов аналитическими и численными методами, страница 3

Область, в которой рассматривается задача, может либо быть конечной сидеально проводящей ограничивающей поверхностью, либо представлять собойдополнение к идеально проводящему ограниченному телу.Рассматривается достаточно общая начально-краевая задача о возбужденииэлектромагнитных колебаний в области с кусочно-постоянным киральным заполнением.Пусть Ω - конечное или бесконечное множество в3.Если множество конечное, тобудем считать, что оно ограничено идеально проводящей поверхностью Γ .

Если жемножество Ω бесконечное, то будем считать, что Ω - дополнение к области Ω конечно, ограничено поверхностью Γ и представляет собой идеальный проводник.Пусть область Ω состоит из конечного числа подобластей:qΩ = ∪ Ωk ,k =0причём все из них, кроме, может, подобласти Ω 0 , конечны, и общая для подобластейΩ k и Ω p граница Σ kp регулярна и ограниченна. В случае бесконечной области Ωподобласть Ω0 неограниченна (рис 2).15Рис.2. а) Первый случай: конечная область Ω в случае q = 2 ; б) второй случай: бесконечная областьΩ в случае q = 2 .

Здесь Ω 0 - бесконечная подобласть области Ω .Пусть подобласти Ω k имеют однородные киральные заполнения с параметрамиε = ε k , μ = μk , ξ = ξk , σ = σ kΩkв;ε k > 0, μ k > 0, ξ k ≥ 0, σ k ≥ 0;k = 0,1,..., q, причём ξ 0 = 0 и σ 0 = 0 , если подобласть Ω0 неограниченна. ВпоследнемслучаепроводникΩиограниченныекиральныевставкиΩ1 , Ω 2 , ..., Ω q помещены в обычную непроводящую среду, характеризующуюсядиэлектрической проницаемостьюε 0 и магнитной проницаемостью μ0 .Предположим, что в области Ω имеются сосредоточенные в некоторой конечнойподобласти сторонние токи плотности j.

При постановке начально-краевой задачиотносительно векторов Е и Н будем исходить из системы уравнений Максвелла,материальных уравнений (3), а также из того, что краевое условие для тангенциальнойсоставляющей вектора Е на границе между киральной средой и идеальным проводникомимеет такой же вид, как и в случае границы между обычной средой и проводником. Врезультатеприходимк{E, H} = {Ek , H k } в Ωk ,(следующейначально-краевойзадачедлявекторовk = 0,..., q :)∂Ek∂H k2+ iξ k μk− rot H k + σ k Ek = − j в Ω k × ( 0, T ] ,ε k + ξ k μk∂t∂t∂Ek∂H k−iζ k μk+ μk+ rot Ek = 0 в Ω k × ( 0, T ] ,∂t∂t16(24)(25)⎡ Ek , n kp ⎤ = ⎡ E p , n kp ⎤ ,⎣⎦ ⎣⎦[E, n] = 0⎡ H k , n kp ⎤ = ⎡ H p , n kp ⎤ на Σ kp × [0, T ],⎣⎦ ⎣⎦(26)на Γ × [0, T ](27)E t =0 = E 0 , H t =0 = H 0 в Ω ,где E 0 и H 0к поверхности(28)n kp– локальные функции,- нормаль к поверхностиΣkp , n- нормальΓ.Рассмотрим обобщенную постановку задачи (24)-(28).

Обозначим u = {E, H} .Пусть Φ = {ϕ ,ψ } , гдеϕиψ- произвольные гладкие трёхкомпонентные функции,обращающиеся в нуль при t = T , такие что они сами и их первые производныеквадратично интегрируемы в Ω . Умножим обе части уравнения (24) скалярно в( L ( Ω))23на функциюϕи обе части уравнения (25) на функциюψ, сложимполученные равенства и проинтегрируем результат по времени от 0 до Т:⎡ ⎛∂ϕ ⎞∫ ⎢⎣− ⎜⎝ (ε + ξ μ )E + iξμH, ∂t ⎟⎠T20T((Ω⎤∂ψ ⎞⎛− ⎜ μH − iξμE,⎟ + ( Au, Φ )K + (Mu, Φ )K ⎥ dt =∂t ⎠ Ω⎝⎦)= − ∫ ( j, ϕ )Ω dt + ε + ξ 2 μ E 0 + iξμH 0 , ϕ t =00) + (μHΩ0− iξμE 0 ,ψ)t =0 ΩВ формуле (29) использованы обозначения для скалярных произведений3( f ,g )Ω = ∑ ∫ fi gi dxиi =1 Ω( F, G ) K = ( f 1 , g1 )Ω + ( f 2 , g 2 )Ω ,гдеf = { fi } ∈ ( L2 ( Ω ) ) , g = { gi } ∈ ( L2 ( Ω ) )3{}F = f 1, f 2 ,{3(i = 1,2,3) ,}G = g1 , g 2 ,а также операторов A и M, определяемых равенствами:( Au,Φ ) K = − ( rot H,ϕ )Ω + ( rot E,ϕ )Ω ,( Mu,Φ ) K = (σ E,ϕ )Ω .17(29)(Введём гильбертово пространство K = L ( Ω )2) × ( L (Ω)) .323Если Φ = {ϕ ,ψ } ∈ K иΦ∗ = {ϕ∗ ,ψ ∗} ∈ K , то в качестве скалярного произведения в K положим( Φ, Φ∗ ) K = (ϕ ,ϕ∗ )Ω + (ψ ,ψ ∗ )ΩВсе выражения в равенстве (29) будут иметь смысл для любой функции∂Φ∈ L2 ( 0, T ; D ( A ) )∂tΦ ∈ L2 ( 0, T ; D ( A ) ) ,и функцииu ∈ L∞ ( 0, T ; D ( A) ) , u t =0 = u0 = {E0 , H 0 } ∈ D ( A) ,где множество D ( A ) имеет вид:{}D ( A ) = Φ Φ = {ϕ ,ψ } ∈ K , rot ϕ ∈ ( L2 ( Ω ) ) , rotψ ∈ ( L2 ( Ω ) ) , [n,ϕ ] = 0 на Γ ,3(3)а также при условии j ∈ L 0, T ; L ( Ω ) .22Операторы А и М, действующие на множестве D ( A ) , являются линейными инепрерывными.

Выражение[n,ϕ ]существует открытое множествона поверхности Γ имеет следующий смысл:Ω1 ⊂ Ω, такое, что Γ ⊂ ∂Ω1 и ϕ → [n,ϕ ](является линейным непрерывным отображением H ( rot ; Ω1 ) → H−1/2(Γ ))3.Лемма 3.1 Область D ( A ) плотна в пространстве K, а оператор А замкнут.Замечание.Функция Φ = {ϕ ,ψ } ∈ D ( A ) , если и только если выполняются условия:rot ϕ k , rotψ k ∈ ( L2 ( Ω k ) ) , ⎡⎣n kp ,ψ k ⎤⎦ = ⎡⎣n kp ,ψ p ⎤⎦3⎡⎣n kp ,ϕ k ⎤⎦ = ⎡⎣n kp ,ϕ p ⎤⎦на Σ kp ,1⎣⎡n,ϕ ⎦⎤ = 0на Σ kp ,наΓ.Лемма 3.2.

Пусть граница Γ области Ω регулярна и ограничена. Тогда любой элементΦ∗ ∈ K , такой, что форма( AΦ ,Φ ∗ ) Kобласти D ( A ) , и справедливо равенствоΦ ∈ D ( A).18непрерывна наD ( A ) , принадлежит( A Φ , Φ ∗ ) K = − ( Φ , AΦ ∗ ) Kдля любогоДоказанные леммы позволяют сформулировать обобщённую постановку исходнойзадачи следующим образом:Необходимо найти функцию u = {E, H} ∈ L∞( 0,T ; D ( A) ) ,удовлетворяющуюравенству()T⎡ ⎛⎤∂φ ⎞∂ψ ⎞⎛2∫ ⎢ − ⎜ ε + ξ μ E + iξμ H, ⎟ − ⎜ μ H − iξμ E,⎟ − ( u, AΦ ) K + ( Mu, Φ ) K ⎥dt =∂t ⎠Ω ⎝∂t ⎠Ω⎦0⎣ ⎝T(= − ∫ ( j,φ )Ω dt + ( ε + ξ 2 μ ) E0 + iξμ H 0 ,φ t =00) + ( μHΩ0− iξμ E0 ,ψ)(30)t =0 Ωпри любой функции Φ, такой что∂Φ∈ L2 ( 0, T ; D ( A ) )∂tΦ ∈ L2 ( 0, T ; D ( A ) ) ,()и обращающейся в нуль при t=T, где u 0 = {E0 , H 0 } ∈ D ( A ) и j ∈ L 0, T ; L ( Ω ) .22Наконец, опираясь на доказанные леммы, доказываются две основные теоремы,обеспечивающие существование и единственность обобщённого решения:Теорема 3.1.Решение задачи (30) существуетиТеорема 3.2.

Решение задачи (30) единственно.Таким образом, доказано, что задача о возбуждении сторонними источникамиэлектромагнитных колебаний в области с кусочно-постоянным киральным заполнением,ограниченной идеально проводящей поверхностью, либо являющейся дополнением кограниченному идеальному проводнику, имеет единственное обобщённое решение изпространстваL∞ ( 0,T ; D ( A) ) .Придоказательствесуществованиярешенияприменялся проекционный метод, который может быть использован в дальнейшем дляпостроения приближённого решения.

Полученные результаты являются обобщением наслучай киральной среды классических результатов о существовании и единственностирешения задач дифракции электромагнитных волн на неоднородностях в среде, котораяописывается обычными материальными уравнениями.19Четвертая глава диссертации посвящена рассмотрению применения численныхметодов к анализу конкретных волноведущих систем с киральным заполнением.Наиболее общая постановка задачи заключается в следующем.

Рассматриваетсятрехмерный волновод прямоугольного сечения с киральной вставкой. Стенки волноводапредполагаются идеально проводящими. Вставка представляет собой прямоугольныйпараллелепипед из кирального материала, расположенный строго внутри волновода.Граничные поверхности вставки параллельны боковым стенкам волновода илиперпендикулярны к ним, а ось симметрии вставки совпадает с осью волновода.Остальнаячастьволноводазаполненаобычной(некиральной)средой.Длямоделирования кирального волновода необходимо ограничить волновод по длине,получая ограниченную расчетную область.

Этоосуществляется с применениемэффективных граничных условий Мура.Для расчета волновода используется метод FDTD – конечно-разностный метод вовременной области и метод BI-FDTD. На основе этих методов построен алгоритм,состоящий из четырех блоков.В первом блоке с помощью стандартного конечно-разностного методаFDTDпроводится моделирование поля внутри волновода вне ставки, то есть в обычной(некиральной) среде.Во втором блоке на основе метода BI-FDTD проводится моделирование поля внутрикиральной вставки.В третьем блоке осуществляется сшивание решений, построенных в первом ивтором блоках, на граничных плоскостях раздела между киральной и некиральнойсредой.В четвертом блоке реализуются условия Мура, ограничивающие волновод по длинеи выделяющие расчетную область.В третьей главе при доказательстве существования решения задачи возбужденияволновода применялся проекционный метод, который может быть использован и дляпостроения приближённого решения.

В диссертации построен и численно реализован20алгоритманализараспространенияэлектромагнитныхволнвкиральномплоскопараллельном волноводе.Задача о дифракции электромагнитной волны в плоскопараллельном волноводе счастичным киральным заполнением ставится в частотной области, и для ее численногорешения используется метод смешанных конечных элементов. Рассматриваетсяплоскопараллельный волновод с бесконечными идеально проводящими стенками инеоднородностью, представляющей собой вставку из кирального вещества. Киральнаявставка имеет форму параллелепипеда, заполняющего волновод и характеризуетсяпараметрами: ε - диэлектрическая проницаемость, μ - магнитная проницаемость и χ параметр киральности. Материал заполнения волновода в области вне вставки являетсянекиральным и характеризуется материальными параметрами ε 0 и μ0 .

Возбуждениеволновода осуществляется падающей из бесконечности волной, представляющей собойодну из нормальных волн волновода, либо их линейную комбинацию. Предполагаетсятакже, что в волноводе отсутствуют заряды и токи. Учитывая симметрию задачи, врезультате для поля внутри вставки получаем двумерную задачу:χωχχ2 ⎞2⎛rot rotE + ω rot E +rotE − ω ⎜ ε −⎟ E = 0, x ∈ ( 0, a ) , z ∈ ( 0, z0 ) ,μμμμ ⎠⎝(31)[E, e x ] x=0,a = 0 ,(32)1[E, e z ] z =0 = ⎣⎡Eext , e z ⎦⎤ z =0 ,[ E, e z ] z = z0= ⎣⎡Eext , e z ⎦⎤z = z0,(33)где∞Eext = Eins + ∑ { Rne Een ,− + Rnm Emn ,− }, при z ≤ 0,n =1Eext∞= ∑ {T En =1enen ,++T Emnmn ,+},(34)при z ≥ z0 .Нормальные волны волновода в области вне вставки имеют вид:Een ,±Emn ,±= ±iγ n e± iγ n z= iωμ0eπn 2a± iγ n z⎛ π nx ⎞± iγ n z ⎛ π n ⎞cos ⎜⎟ ⋅ ex + e⎜⎟a⎝ a ⎠⎝ a ⎠πn 2a⎛ π nx ⎞sin ⎜⎟ ⋅ey.a⎝ a ⎠2122⎛ π nx ⎞sin ⎜⎟ ⋅ ez ,a⎝ a ⎠(35)2⎛πn ⎞Постоянные распространения определяются равенствами γ n = ω 2ε 0 μ0 − ⎜⎟ .⎝ a ⎠ΩОбозначимобластькиральнойвставкивволноводе:Ω = {( x, z ) : x ∈ ( 0, a ) , z ∈ ( 0, z0 )}.