Исследование электродинамических систем на основе метаматериалов аналитическими и численными методами, страница 2

В случае киральной среды,изготовленной при помощи произвольным образом ориентированных и равномернораспределенных в некиральном веществе проволочных пружинок, потерями в которыхможно пренебречь, материальные уравнения для гармонических по времени полей(зависимость от времени везде далее выбирается в виде e − iω t ) записываются следующимобразом:D = ε E + iξ B,(3)H = iξ E + μ −1B,гдеε ,μ–действительныепостоянные,переходящиевдиэлектрическуюпроницаемость и магнитную проницаемость, если киральный адмитансξ обращаетсяв нуль.

Киральный адмитанс ξ выражается через киральную постоянную χмагнитнуюпроницаемостьсреды.Этиматериальныеуравненияиостаютсясправедливыми для любой киральной среды без потерь, построенной из киральныхобъектов произвольной формы.Отметим также, что при рассмотрении электромагнитной модели обычной(некиральной) среды полагают, что она описывает свойства сплошной среды. Киральныеже свойства связаны с проявлением дискретной структуры среды.

Киральный параметр8χ пропорционален отношению a λ , где a - линейный размер частицы-элементасреды, λ - длина волны. При a λ → 0 киральные свойства среды исчезают. Такимобразом, учет киральных свойств означает учет влияния «крупинок» среды илипространственной дисперсии. В оптике естественных сред значение отношения a λоказывается порядка 10−3 − 10−4 , вследствие чего оптическая активность в естественныхсредах практически не нашла своего применения из-за малости эффекта. Исключениемможно считать лишь жидкие кристаллы. С развитием новых технологий в производствеискусственных электромагнитных сред величинуχ = C a λ удалось значительноувеличить.

В этом случае киральность уже не является малой поправкой, и свойствакиральной среды могут кардинально отличаться от свойств диэлектрика.Одним из наиболее рациональных способов анализа электромагнитных полей вбиизотропных и, в частности, киральных средах является введение новых векторов поля,для которых уравнения Максвелла распадаются на две независимые (для случаяоднородной среды) системы дифференциальных уравнений первого порядка. Этотподход основан на факторизации векторного волнового уравнения. В итоге задачанахождения собственных волн для неограниченной киральной среды сводится крешению двух несвязанных задач для обычных изотропных сред. Таким образом,собственные волны в неограниченных однородных киральных средах оказываютсяциркулярно поляризованными (право циркулярно поляризованная – RCPи левоциркулярно поляризованная – LCP) и имеют различные волновые числа k + и k− .

Этопозволяет использовать киральные структуры для изменения поляризации падающегоэлектромагнитного излучения. Например, периодическая система правовинтовыхспиралей, расположенных в одной плоскости, позволяет преобразовывать падающие RCPи LCP волны в линейно-поляризованные и наоборот, сохранять циркулярнуюполяризацию поступающего излучения. В многослойных кирально-диэлектрическихструктурах удаётся получить окна непрозрачности для RCP и LCP волн. Таким образом,полученные системы демонстрируют поляризационно-избирательные свойства и ихможно рассматривать в качестве поляризационных фильтров.9Далее в первой главе проанализированы основные методы исследования иматематического моделирования киральных сред и устройств на их основе.Из численных методов рассматриваются метод конечных разностей, метод конечныхэлементов и метод Бубнова-Галеркина.

Наряду с численными методами, былиразработаны и новые аналитические методы, которые позволяют моделировать рядэлектродинамических систем на основе метаматериалов. В диссертационной работекратко рассмотрены два аналитических метода: метод векторных цепей и метод диадныхфункций Грина.Втораяглавапосвященаисследованиюэлектромагнитныхэкранированныхрезонаторов с идеально проводящими стенками, заполненных однородным киральнымвеществом. В диссертации предложен алгоритм расчета таких систем. В качествепримера применения развитой методики исследован сферический киральный резонатор,для которого получено характеристическое уравнение и вид собственных полей.Показано, что в таком резонаторе могут формироваться только гибридные собственныеколебания, чистые E- и H- колебания не возбуждаются.Рассматривается достаточно общая спектральная задача.

Предположим, чтонекоторая область V с замкнутой поверхностью Σ заполнена однородным киральнымвеществом, которое характеризуется материальными уравнениями (3), где ε , μ и ξ –константы. Тогда уравнения Максвелла во внутренних точках области V будут иметьследующий вид:1∂E iξμ ∂H,ε + ξ 2μ )+(cc ∂t∂tμ ∂H iξμ ∂E,+rot E = −c ∂tc ∂trot H =μ div H − iξμ div E = 0 ,(ε + ξ μ ) div E + iξμ div H = 0 .2(4)(5)(6)(7)Пусть поверхность Σ является идеально проводящей, а n – единичный векторнормали к этой поверхности, направленный внутрь V. Тогда краевые условия на границеΣ имеют вид:[ n, H ] =4π indj surf ,c10[ n, E ] = 0 ,(8)H n − iξ En = 0 ,(9)(ε + ξ μ ) E2n+ iξμ H n = 4πρ ind surf ,где jind surf – плотность индуцированного поверхностного тока,ρ ind surf – плотностьиндуцированного поверхностного заряда, En и H n – нормальные составляющиевекторов E и H на поверхности Σ .Введем следующие линейные комбинации векторов Е и Н:U1 = −E ε + ξ 2 μ + iH μ ,U 2 = −i E ε + ξ 2 μ + H μ .Будемрассматриватьполя,гармоническизависящиеотвремени:E ( M , t ) = e ( M ) ⋅ e−iωt и H ( M , t ) = h ( M ) ⋅ e−iωt .

Тогда искомые векторы U1 и U 2 такжебудутгармоническимифункциямитогожевида:U1 ( M , t ) = u ( M ) ⋅ e−iωtиU 2 ( M , t ) = v ( M ) ⋅ e−iωt , а их комплексные амплитуды в области V будут удовлетворятьуравнениям(ξμ −ωrot v = (ξμ +crot u =ωc)μ ( ε + ξ μ ) ) v,μ ( ε + ξ 2 μ ) u,2(10)(11)div u = 0,(12)div v = 0.(13)Определённая сложность решения рассматриваемой спектральной задачи связана стем, что для векторов u и v нельзя получить на границе Σ условия, не содержащиенаведенных токов и зарядов. В диссертационной работе развит следующий алгоритмисследования собственных частот и собственных колебаний кирального резонатора.Сначала строится общее решение системы (10)-(13). Далее векторы e и h выражаютсячерез найденные векторы u и v, и результат подставляется в однородные граничныеусловия (8).

С помощью такого подхода получается характеристическое уравнение для11нахождения собственных частот ω . После нахождения собственных частот можнонайти неизвестные коэффициенты в выражениях для e и h и получить собственные поля.Предложенная методика применяется для исследования сферического резонатора скиральным заполнением. Пусть область V представляет собой шар радиуса R с идеальнопроводящей границей. Находим решение u, v системы уравнений (10)-(13), записанных всферических координатах. Векторы e и h связаны с векторами u и v следующим образом:e=12 ε + ξ 2μh=12 μ( iv − u ) ,( v − iu ) .В результате получаем общее решение видаeφnm =⎛⎞ d m⎧cos mφk2 rk1 r+cosθ+AJkrBJkrP()()()⎜⎟⎨1211nmnmn⎟ dθn+n+rr2 ε + ξ 2 μ ⎜⎝⎩ sin mφ22⎠i+eθnm =⎞⎧ sin mφm d ⎛Anm r J 1 ( k2 r ) − Bnm r J 1 ( k1r ) ⎟ Pnm ( cos θ ) ⎨;⎜n+n+2 ε + ξ 2 μ r sin θ dr ⎝⎩ − cos mφ⎠22iim r2 ε + ξ 2 μ r sin θ−ernm = −(14)⎛⎞ m⎧ sin mφ−⎜ Anm k2 J n + 1 ( k2 r ) + Bnm k1 J n + 1 ( k1r ) ⎟ Pn ( cos θ ) ⎨cosm−φ⎩⎝⎠22⎞ d m⎧cos mφ1 d ⎛Anm r J 1 ( k2 r ) − Bnm r J 1 ( k1r ) ⎟Pn ( cos θ ) ⎨;⎜n+n+2 ε + ξ 2 μ r dr ⎝⎩ sin mφ⎠ dθ22i⎛⎞n ( n + 1)⎧cos mφr ⎜ Anm J 1 ( k2 r ) − Bnm J 1 ( k1r ) ⎟ Pnm ( cos θ ) ⎨;2n+n+r2 ε +ξ μ⎩ sin mφ⎝⎠22i2(15)(16)иhφnm =⎞ d m⎧cos mφk2 rk r1 ⎛J 1 ( k2 r ) − Bnm 1J 1 ( k1r ) ⎟⎟Pn ( cos θ ) ⎨+⎜⎜ Anmn+n+sinmφrrdθ2 μ⎝⎩22⎠+hθnm =⎞ m⎧ sin mφm d ⎛;⎜ Anm r J n + 1 ( k2 r ) + Bnm r J n + 1 ( k1r ) ⎟ Pn ( cos θ ) ⎨2 μ r sin θ dr ⎝⎩− cos mφ22⎠1⎞ m⎧ sin mφm r ⎛−⎜ Anm k2 J n + 1 ( k2 r ) − Bnm k1 J n + 1 ( k1r ) ⎟ Pn ( cos θ ) ⎨2 μ r sin θ ⎝⎩− cos mφ22⎠112(17)−hrnm = −где k1 =⎞ d m⎧cos mφ1 1 d ⎛Pn ( cos θ ) ⎨;⎜ Anm r J n + 1 ( k2 r ) + Bnm r J n + 1 ( k1r ) ⎟2 μ r dr ⎝⎩ sin mφ22⎠ dθ(18)⎞n ( n + 1) ⎛⎧cos mφ;r ⎜ Anm J 1 ( k2 r ) + Bnm J 1 ( k1r ) ⎟ Pnm ( cos θ ) ⎨2n+n+r2 μ⎩ sin mφ22⎝⎠(19)1−ξμ +c(ωμ (ε + ξ 2 μ )) и k = ωc (ξμ +2)μ (ε + ξ 2 μ ) .Поскольку поверхность шара является идеальным проводником, то для вектора eдолжно выполняться граничное условие равенства нулю тангенциальной составляющей[r, e] r = R = 0 .

Потребуем, чтобы компонента eφnm обращалась в нуль при r = R . Для этогодолжна быть справедлива следующая однородная система уравнений:⎧Anm k2 J 1 ( k2 R ) + Bnm k1 J 1 ( k1 R ) = 0,n+n+⎪⎪22⎨d ⎛⎞⎪ ⎜ Anm RJ 1 ( k2 R ) − Bnm RJ 1 ( k1 R ) ⎟ = 0.n+n+⎪⎩ dR ⎝22⎠(20)Компонента eθnm также обращается в нуль при r = R . При этом автоматическивыполняется условие (9) на нормальные составляющие векторов e и h.Однородная система (20) имеет нетривиальное решение в том и только том случае,когда ее определитель равен нулю. Отсюда получается характеристическое уравнениедля нахождения собственных частот ωnp сферического кирального резонатора:α2 J1n+2⎛ω⎞ d ⎛⎛ω⎞⎞⎛ω⎞ d ⎛⎛ω⎞⎞⎜ RJ n + 1 ⎜ α1 R ⎟ ⎟ + α1 J n + 1 ⎜ α1 R ⎟⎜ RJ n + 1 ⎜ α 2 R ⎟ ⎟ = 0, (21)⎜ α2R ⎟⎝c⎠ dR ⎝⎠⎠⎠ dR ⎝⎠⎠2 ⎝ c2 ⎝ c2 ⎝ cгде α1 = −ξμ + μ ( ε + ξ 2 μ ) и α 2 = ξμ + μ ( ε + ξ 2 μ ) .Уравнение (21) решалось численно с помощью математического пакета MATLAB,и из анализа его решений следует, что с ростом параметра ξ значения собственныхчастот уменьшаются и происходит их сближение (рис 1).13Рис.

1. Зависимость собственных частот от кирального адмитансаотношения частот к значениюкиральности ( ξ= 0 ).ω 0Hξдляn = 1 . На графике приведены– наименьшей собственной частоте резонатора при отсутствииИндексы E и H у частот означают, что в пределе приξ =0они стремятся ксобственным частотам E- и H-колебаний соответственно.В случае обычной среды, когда ξ = 0 , характеристическое уравнение (21)вырождается в два уравнения⎞d ⎛⎜ RJ n + 1 ( k0 R ) ⎟ = 0,dR ⎝⎠2Jгде k0 =ωcn+12( k0 R ) = 0,(22)(23)εμ , так как при этом α1 = α 2 = εμ .Уравнения (22) и (23) – это характеристические уравнения для собственных частотE- и H-колебаний обычного сферического экранированного резонатора с идеальнопроводящей границей соответственно.На основании подготовительной теоремы Вейерштрасса можно показать, чторешения уравнения (21) непрерывно зависят от параметра киральности ξ .

Обозначимчерез ω Enp те из них, которые при равном нулю параметре киральности совпадают счастотами E-колебаний обычного сферического резонатора. Воспользуемся первымуравнением системы (20) для того, чтобы найти связь между коэффициентами Anm и14Bnm . В результате получим выражения для комплексных амплитуд собственныхколебаний кирального резонатора, которые в пределе при ξ = 0 с точностью донормировочного множителя совпадут с E-колебаниями обычного сферическогорезонатора.Аналогично получается еще одна серия решений для кирального сферическогорезонатора, которые в пределе при равном нулю параметре киральности ξ с точностьюдо нормировочного множителя совпадают с H-колебаниями обычного сферическогонекирального резонатора. Следовательно, можно сделать вывод о том, что в киральномрезонаторе поддерживаются только гибридные собственные колебания.В третьей главе исследуется задача о возбуждении электромагнитных колебанийзаданным распределением зарядов и токов в области с неоднородным киральнымзаполнением.