Замкнутые траектории гамильтоновых систем и приложение к планетно-спутниковой системе, страница 11

Êàê ìû óæå îòìå÷àëè, íåïîäâèæíûå òî÷êè îòîáðàæåíèÿ Ïóàíêàðå â òî÷íîñòè ñîâïàäàþòñ òî÷êàìè ïåðåñå÷åíèÿ çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé íà ïîâåðõíîñòè H̃ −1 (h) ñ ñå÷åíèåì Ïóàíêàðå σ̃ .Ñîãëàñíî ëåììå 3, îòîáðàæåíèÿ A è ϕ−1 ◦ Ã◦ϕ ãîìîëîãè÷íû, ãäå ϕ : σ →σ̃ åñòåñòâåííûé ñèìïëåêòè÷åñêèé äèôôåîìîðôèçì îáëàñòåé îïðåäåëåíèÿîòîáðàæåíèé A è Ã, ïîñòðîåííûé â ï. 1.4.2.47Ñëåäîâàòåëüíî, èç ëþáîãî óòâåðæäåíèÿ î íåïîäâèæíûõ òî÷êàõ ãîìîëîãè÷íûõ ñèìïëåêòè÷åñêèõ îòîáðàæåíèé, ëåãêî ïîëó÷èòü ñîîòâåòñòâóþùååóòâåðæäåíèå î çàìêíóòûõ òðàåêòîðèÿõ âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû.

Ïðè ýòîìâ ôîðìóëèðîâêå ïîëó÷àþùåãîñÿ óòâåðæäåíèÿ íóæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ òåì,÷òî ôóíêöèÿ 1ε Ψ̃|Λ̄ áëèçêà ê ôóíêöèè H̄|Λ̄ .  ÷àñòíîñòè, èç óòâåðæäåíèé 6,4 è ëåììû 1 ïîëó÷àåì ñëåäóþùååÓòâåðæäåíèå 9. Ïóñòü, â óñëîâèÿõ òåîðåìû 1, ðàññëîåíèå Λ íà çàìêíó-òûå òðàåêòîðèè òðèâèàëüíî. Òîãäà ïðè ëþáîì äîñòàòî÷íî ìàëîì ε > 0ñóùåñòâóþò âëîæåíèå i : B ,→ Σ ïîäìíîãîîáðàçèÿ B â Σ è ãëàäêèå ôóíêöèè T̃ è S íà ïîäìíîãîîáðàçèè B , îáëàäàþùèå ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè.1◦ Îáðàç B̃ = i(B) ïîäìíîãîîáðàçèÿ B ïðè âëîæåíèè i ëåæèò íà ïîâåðõíîñòè σ̃ = Σ ∩ H̃ −1 (h).2◦ Îáðàçû ïðè âëîæåíèè i âñåõ êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ôóíêöèè S â òî÷íîñòè ñîâïàäàþò ñ òî÷êàìè ïåðåñå÷åíèÿ ñ ïîâåðõíîñòüþ σ̃ çàìêíóòûõòðàåêòîðèé ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì H̃ , ëåæàùèõ íà ïîâåðõíîñòèH̃ −1 (h).

 ÷àñòíîñòè, ïîäìíîãîîáðàçèå B̃ ñîäåðæèò òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿâñåõ çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû íà H̃ −1 (h) ñ ñå÷åíèåìσ̃ . Ïðè ýòîì äëÿ ëþáîé êðèòè÷åñêîé òî÷êè b ∈ B ôóíêöèè S ÷èñëî T̃ (b)ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäîì òðàåêòîðèè âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû, ïðîõîäÿùåé ÷åðåçòî÷êó i(b).3◦ Òî÷êà b ∈ B ÿâëÿåòñÿ ìîðñîâñêîé êðèòè÷åñêîé òî÷êîé ôóíêöèè Sâ òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà å¼ îáðàç i(b) ïðè âëîæåíèè i ïðèíàäëåæèò íåâûðîæäåííîé çàìêíóòîé òðàåêòîðèè ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì H̃ . Áîëåå òîãî, îáðàç ïðè êàñàòåëüíîì îòîáðàæåíèè di(b) íóëåâîãîïîäïðîñòðàíñòâà ãåññèàíà ôóíêöèè S â òî÷êå b â òî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñÿäðîì îïåðàòîðà dÃ(i(b)) − I , ãäå dÃ(i(b)) îïåðàòîð ìîíîäðîìèè â òî÷êåi(b), I òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð.4◦ Âëîæåíèå i áëèçêî ê òîæäåñòâåííîìó, ôóíêöèÿ T̃ áëèçêà ê ôóíêöèè T , à ôóíêöèÿ S áëèçêà ê ôóíêöèè −H̄, ïîëó÷åííîé óñðåäíåíèåì (6)âîçìóùåíèÿ (5) ïî çàìêíóòûì òðàåêòîðèÿì íà Λ.5◦ Åñëè âîçìóù¼ííûé ãàìèëüòîíèàí H̃ ãëàäêî çàâèñèò îò ìàëîãî ïàðàìåòðà, òî âëîæåíèå i : B ,→ Σ è ôóíêöèÿ S íà B òîæå ãëàäêî çàâèñÿòîò ýòîãî ïàðàìåòðà.6◦ Ïóñòü b ∈ B ëþáàÿ êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà ôóíêöèè S , b̃ = i(b) ñîîòâåòñòâóþùàÿ òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòè σ̃ ñ çàìêíóòîé òðàåêòîðèåé γ̃ âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû.

Ðàññìîòðèì ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè Q èQ̃ îïåðàòîðîâ ìîíîäðîìèè, îòâå÷àþùèõ çàìêíóòûì òðàåêòîðèÿì γ 3 bè γ̃ . Åñëè ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ Q îïåðàòîðà ìîíîäðîìèè íåâûðîæäåíàíà òðàíñâåðñàëè ê B = Λ ∩ σ â σ , òî èíäåêñ êâàäðàòè÷íîé ôîðìû Q̃ ðàâåí ñóììå èíäåêñà êâàäðàòè÷íîé ôîðìû Q è èíäåêñà ãåññèàíà ôóíêöèè S48â ëþáîé òî÷êå êðèâîé γ :ind Q̃ = ind Q + ind d2 S.7◦ Ïóñòü ïîäìíîãîîáðàçèå Λ ⊂ H −1 (h), ñèëüíî óñòîé÷èâî â ëèíåéíîìïðèáëèæåíèè, è ïóñòü òî÷êà b ∈ B ÿâëÿåòñÿ ìîðñîâñêîé òî÷êîé ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà (ëèáî ìàêñèìóìà èëè ìèíèìàêñà, â çàâèñèìîñòè îò ñèòóàöèè â îïðåäåëåíèè 8) ôóíêöèè S .

Òîãäà îáðàç b̃ = i(b) ýòîé òî÷êè ïðèâëîæåíèè i ïðèíàäëåæèò ñòðóêòóðíî óñòîé÷èâîé â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè çàìêíóòîé òðàåêòîðèè ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì H̃ .Çäåñü ïîä áëèçîñòüþ äâóõ îòîáðàæåíèé èëè ôóíêöèé ïîíèìàåòñÿ èõεáëèçîñòü â C r−1 ìåòðèêå.Îòìåòèì, ÷òî óòâåðæäåíèå 9 (î ëîêàëèçàöèè è óñòîé÷èâîñòè çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé) ïî÷òè ñîâïàäàåò ñ óòâåðæäåíèÿìè 3, 4 ñ åäèíñòâåííîéðàçíèöåé, ÷òî â óòâåðæäåíèè 9 âëîæåíèå i è ôóíêöèÿ S îïðåäåëåíû íå íàâñ¼ì ïîäìíîãîîáðàçèè Λ, à ëèøü íà åãî ïåðåñå÷åíèè ñ ñåêóùåé ïîâåðõíîñòüþ σ .

Êîíå÷íî, â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ìîæíî ðàññëîèòü îêðåñòíîñòüïîäìíîãîîáðàçèÿ Λ â H −1 (h) íà îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ñåêóùèõïîâåðõíîñòåé, àíàëîãè÷íûõ ïîâåðõíîñòè σ . Ïðè ýòîì íà êàæäîé òàêîé ïîâåðõíîñòè ìîæíî ðàññìîòðåòü îòîáðàæåíèå Ïóàíêàðå è åãî ïðîèçâîäÿùóþôóíêöèþ, ãëàäêî çàâèñÿùèå îò ñåêóùåé ïîâåðõíîñòè, à òàêæå ñîîòâåòñòâóþùåå âëîæåíèå â íå¼, àíàëîãè÷íîå âëîæåíèþ i.  ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èìíóæíûå âëîæåíèå è ôóíêöèþ, îïðåäåë¼ííûå íà âñ¼ì Λ. Îäíàêî ïîëó÷åííàÿ òàêèì îáðàçîì ôóíêöèÿ íà Λ íå áóäåò, âîîáùå ãîâîðÿ, ïîñòîÿííîé íàçàìêíóòûõ òðàåêòîðèÿõ íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû íà Λ.

 ýòîì è ñîñòîèò îòëè÷èå óòâåðæäåíèÿ 3 î çàìêíóòûõ òðàåêòîðèÿõ âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû îòíåìíîãî áîëåå ñëàáîãî (íî çàòî áîëåå ïðîñòîãî) óòâåðæäåíèÿ 9.Çàìåòèì, ÷òî óòâåðæäåíèå 9 íå îõâàòûâàåò ñëó÷àé ëþáîãî ðàññëîåíèÿ, èäàæå â ñëó÷àå òðèâèàëüíîãî ðàññëîåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ìåíåå îáùèì, ÷åì óòâåðæäåíèå 3. Òåì íå ìåíåå, äëÿ ïðèëîæåíèé ýòî óòâåðæäåíèå î÷åíü âàæíî,òàê êàê1.

â ïðèëîæåíèÿõ ñëó÷àé òðèâèàëüíîãî ðàññëîåíèÿ î÷åíü ðàñïðîñòðàíåí, è êðîìå òîãî,2. ñ òî÷êè çðåíèÿ ïðèëîæåíèé ðàçíèöà ìåæäó ñèëüíûìè è ñëàáûìè óòâåðæäåíèÿìè â ñëó÷àå òðèâèàëüíîãî ðàññëîåíèÿ ñîâåðøåííî íåïðèíöèïèàëüíà (ò.å. îíè ñîâåðøåííî ðàâíîöåííû); áîëåå òîãî, óäîáíååïîëüçîâàòüñÿ èìåííî ïîñëåäíèìè (áîëåå ñëàáûìè, íî çàòî áîëåå ïðîñòûìè) óòâåðæäåíèÿìè, òàê êàê â íèõ áîëåå ïðîñòî è ÿâíî ñòðîèòñÿïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ.49Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèÿ 8 ìû äîêàæåì åãî îáîáùåíèå, îòíîñÿùååñÿ ê ñåìåéñòâàì ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì.Ïóñòü Hu : M → IR îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ãëàäêèõ ôóíêöèé íà ñèìïëåêòè÷åñêîì ìíîãîîáðàçèè M , h ∈ IR ðåãóëÿðíîå çíà÷åíèåýòèõ ôóíêöèé, 0 ≤ u ≤ u0 .

Ðàññìîòðèì ñåìåéñòâî ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ñãàìèëüòîíèàíàìè Hu , 0 ≤ u ≤ u0 . Ïóñòü Σ ⊂ M ëþáàÿ ãèïåðïîâåðõíîñòü(íå îáÿçàòåëüíî ñâÿçíàÿ), òðàíñâåðñàëüíî ïåðåñåêàþùàÿ ôàçîâûå òðàåêòîðèè ýòèõ ñèñòåì. Ðàññìîòðèì ñå÷åíèÿ Ïóàíêàðå σu = Σ ∩ Hu−1 (h) è ñîîòâåòñòâóþùèå ñèìïëåêòè÷åñêèå äèôôåîìîðôèçìû ϕu : σ0 → σu , 0 ≤ u ≤ u0(ñì.

ëåììó 3). Ïóñòü Σ0 ⊂ Σ òàêàÿ îáëàñòü, ÷òî â êàæäîé îáëàñòè σu0 =Σ0 ∩Hu−1 (h) ⊂ σu êîððåêòíî îïðåäåëåíî îòîáðàæåíèå Ïóàíêàðå Au : σu0 → σu ,îòâå÷àþùåå ñèñòåìå ñ ãàìèëüòîíèàíîì Hu , 0 ≤ u ≤ u0 .Îïðåäåëèì âîçìóùåíèå ôóíêöèè H0 íà ìíîãîîáðàçèè M êàê ñåìåéñòâîôóíêöèé∂HuHu =, 0 ≤ u ≤ u0 .(20)∂uÂåðíà ñëåäóþùàÿ ëåììà, óòî÷íÿþùàÿ (è îáîáùàþùàÿ) óòâåðæäåíèå 8.Ëåììà 5 (Îá óñðåäí¼ííîì âîçìóùåíèè). Ðàññìîòðèì íà ñèìïëåêòè÷åñêîì ìíîãîîáðàçèè M ñåìåéñòâî ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ñ ãàìèëüòîíèàíàìè Hu , 0 ≤ u ≤ u0 .

Ïðè êàæäîì çíà÷åíèè u ðàññìîòðèì âîçìóùåíèå Hu ôóíêöèè Hu , 0 ≤ u ≤ u0 , ò.å. ãëàäêóþ ôóíêöèþ (20) íà M . Âîáëàñòè σu0 ⊂ σu ðàññìîòðèì ôóíêöèþ H̄u óñðåäíåíèå (19)) âîçìóùåíèÿHu ïî ôàçîâûì òðàåêòîðèÿì ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì Hu , 0 ≤ u ≤ u0 .Ïóñòü Au : σu0 → σu îòîáðàæåíèå Ïóàíêàðå, îòâå÷àþùåå ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìå ñ ãàìèëüòîíèàíîì Hu , ϕu : σ0 → σu åñòåñòâåííûéñèìïëåêòè÷åñêèé äèôôåîìîðôèçì ñå÷åíèé Ïóàíêàðå, 0 ≤ u ≤ u0 . ÏóñòüΦ(m, u) ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ñåìåéñòâà ãîìîëîãè÷íûõ ñèìïëåêòè÷åñêèõ îòîáðàæåíèé Pu = ϕ−1u ◦ Au ◦ ϕu íà ïîâåðõíîñòè σ0 (ñì. îïðåäåëåíèå11).

Òîãäà ôóíêöèè Φ(m, u) è H̄u óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ Ãàìèëüòîíàßêîáè∂Φ(m, u) + H̄u (ϕu (m)) = 0,∂u0 ≤ u ≤ u0 , m ∈ σ00 (ñð. ñ (9)).Äðóãèìè ñëîâàìè, ñåìåéñòâî ãîìîëîãè÷íûõ ñèìïëåêòè÷åñêèõ îòîáðàæåíèé Pu , 0 ≤ u ≤ u0 (îòâå÷àþùèõ îòîáðàæåíèÿì Ïóàíêàðå), íà ïîâåðõíîñòèσ0 ñîâïàäàåò ñ êîìïîçèöèåé îòîáðàæåíèÿ A0 è ôàçîâîãî ïîòîêà gFu íåàâòîíîìíîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì F = Fu : Pu = gFu ◦ A0 ,ãäå Fu = H̄u ◦ A−1u ◦ ϕ u , 0 ≤ u ≤ u0 .Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ëåììû íàì íóæíî ïîêàçàòü, ÷òîïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ Φ(m, u) ñåìåéñòâà ãîìîëîãè÷íûõ îòîáðàæåíèé Pu50èìååò âèäΦ(m, u) = −Z u0H̄u0 (ϕu0 (m)) du0 ,0 ≤ u ≤ u0 .(21)Ðàññìîòðèì ðàñøèðåííîå ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî M 2n × IR2tu ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà M 2n íà âåùåñòâåííóþ ïëîñêîñòüIR2 ñ êîîðäèíàòàìè t, u.  ýòîì ïðîñòðàíñòâå ðàññìîòðèì ñåêóùóþ ãèïåðïîâåðõíîñòü Σ × IR2 è ãëàäêóþ ôóíêöèþ H , îïðåäåë¼ííóþ ðàâåíñòâîìH(m, t, u) = Hu (m).

Ðàññìîòðèì òàêæå äâå 2ôîðìû â ïðîñòðàíñòâå M 2n ×IR2 : ω 2 è Ω2 = ω 2 − dHu ∧ dt, ãäå 1ôîðìà dHu îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóuëå dHu = dH − ∂Hdu = dH − Hu du (ñì. (20)). ( ëîêàëüíûõ êîîðäè∂uíàòàõ (m, t, u) = (m1 , . . . , m2n , t, u) íà M 2n × IR2tu ôîðìà dHu èìååò âèäudHu = ∂H(m1 , . . . , m2n )dmi .)∂miÍà ïîâåðõíîñòè (Σ×IR2 )∩H −1 (h) â ðàñøèðåííîì ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâåðàññìîòðèì òðè ñåìåéñòâà îòîáðàæåíèé:P0u = ϕu : σ0 × (0, u) → σu × (0, u),P1u = Au ◦ ϕu : σ00 × (0, u) → σu × (Tu , u),0P2u = Pu = ϕ−1u ◦ Au ◦ ϕu : σ0 × (Tu , u) → σ0 × (Tu , u),(22)0 ≤ u ≤ u0 , ãäå ÷åðåç Tu óñëîâíî îáîçíà÷åíî âðåìÿ äâèæåíèÿ Tu (m) ïîôàçîâîé òðàåêòîðèè ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì Hu äî ñëåäóþùåãî ïåðåñå÷åíèÿ ñ ñåêóùåé ïîâåðõíîñòüþ σu (ýòî âðåìÿ çàâèñèò îò íà÷àëüíîé òî÷êèm ∈ σu0 ðàññìàòðèâàåìîé òðàåêòîðèè).Ïóñòü m, m0 ëþáûå äâå òî÷êè îáëàñòè σ00 ; γ = γ(v), 0 ≤ v ≤ 1, ëþáàÿãëàäêàÿ êðèâàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ ýòè òî÷êè, γ(0) = m, γ(1) = m0 .

Äëÿ ëþáîãîçíà÷åíèÿ u îáîçíà÷èì ÷åðåç Ciu (γ) 2öåïü â M × IR2tu ñ êîîðäèíàòàìè u0 , v(0 ≤ u0 ≤ u, 0 ≤ v ≤ 1), îáðàçîâàííóþ îáðàçàìè êðèâîé γ ïðè îòîáðàæåíèÿõ(22):Ciu (γ) = ∪0≤u0 ≤u Piu0 (γ), i = 0, 1, 2.Çàìåòèì, ÷òî öåïü C2u (γ) öåëèêîì ëåæèò â σ0 . Êðîìå òîãî, èíòåãðàë ôîðìûω 2 ïî öåïè C0u (γ) ðàâåí íóëþ, à èíòåãðàëû ôîðìû ω 2 ïî öåïÿì C1u (γ) èC2u (γ) ñîâïàäàþò:ZZZ2C0u (γ)ω = 0,2C1u (γ)ω =C2u (γ)ω2.(23)Èç îïðåäåëåíèÿ 11 ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè Φ ñåìåéñòâà îòîáðàæåíèéñëåäóåò, ÷òî ðàçíîñòü Φ(m0 , u) − Φ(m, u) ðàâíà èíòåãðàëó ôîðìû ω 2 ïî 2öåïè C2u (γ) ⊂ σ0 .