Замкнутые траектории гамильтоновых систем и приложение к планетно-спутниковой системе, страница 9

Òîãäà èíäåêñ êâàäðàòè÷íîé ôîðìû Q̃ ðàâåí ñóììå èíäåêñà êâàäðàòè÷íîé ôîðìû Q è èíäåêñà ãåññèàíà ôóíêöèè S â òî÷êå m. Ñòåïåíè âûðîæäåíèÿ ôîðìû Q̃ è ãåññèàíà ôóíêöèè S â òî÷êå m ñîâïàäàþò äðóã ñ äðóãîìè ñ ðàçìåðíîñòüþ ñîáñòâåííîãî ïîäïðîñòðàíñòâà îïåðàòîðà dÃ(m̃), îòâå÷àþùåãî ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ 1.Ýòà ëåììà áóäåò äîêàçàíà ⠟1.5.Èç óòâåðæäåíèÿ 6, ïðåäëîæåíèÿ 1 è ëåììû 4 íåòðóäíî âûâåñòè ñëåäóþùååÓòâåðæäåíèå 7. Ïóñòü, â óñëîâèÿõ óòâåðæäåíèÿ 6, ìíîæåñòâî Λ ⊂ Uíåïîäâèæíûõ òî÷åê ñèìïëåêòè÷åñêîãî îòîáðàæåíèÿ A : U → M ñèëüíîóñòîé÷èâî â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè. Òîãäà âëîæåíèå i : Λ ,→ U è ãëàäêàÿôóíêöèÿ S = Ψ̃ ◦ i èç óòâåðæäåíèÿ 6 îáëàäàþò ñëåäóþùèì äîïîëíèòåëüíûì ñâîéñòâîì:6◦ Ïóñòü m ∈ Λ ìîðñîâñêàÿ êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà (ëèáî ìàêñèìóìà èëè ìèíèìàêñà, â çàâèñèìîñòè îò ñèòóàöèèâ îïðåäåëåíèè 13) ôóíêöèè S = 1ε Ψ̃ ◦ i (ò.å. èìååò ìåñòî ñîãëàñîâàííàÿ çíàêîîïðåäåë¼ííîñòü). Òîãäà å¼ îáðàç i(m) ïðè âëîæåíèè i ÿâëÿåòñÿñòðóêòóðíî óñòîé÷èâîé â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè íåïîäâèæíîé òî÷êîéîòîáðàæåíèÿ Ã.Ñëåäñòâèå.

Ïóñòü ìíîæåñòâî Λ íåïîäâèæíûõ òî÷åê îòîáðàæåíèÿ Añèëüíî óñòîé÷èâî â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè. Ïóñòü âîçìóù¼ííîå ñèìïëåêòè÷åñêîå îòîáðàæåíèå à ãîìîëîãè÷íî îòîáðàæåíèþ A è ãëàäêî çàâèñèò îò ìàëîãî ïàðàìåòðà: à = A² , ε ≥ 0. Ðàññìîòðèì ãàìèëüòîíèàídAε |ε=0 . Ïóñòü m0 ∈ Λ ìîðñîâñêàÿ êðèòè÷åñêàÿF0 ïîëÿ ñêîðîñòåé dεòî÷êà ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà (ëèáî ìàêñèìóìà èëè ìèíèìàêñà, â çàâèñèìîñòè îò ñèòóàöèè â îïðåäåëåíèè 13) ôóíêöèè S = −F0 |Λ (ò.å. èìååòìåñòî ñîãëàñîâàííàÿ çíàêîîïðåäåë¼ííîñòü). Òîãäà âûæèâàþùàÿ ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 5 íåïîäâèæíàÿ òî÷êà mε âîçìóù¼ííîãî îòîáðàæåíèÿAε , ε > 0, ñòðóêòóðíî óñòîé÷èâà â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè.Çàìå÷àíèå 8. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ ëåììû 4, ò.å.−1 6∈ spec dA(m),m ∈ Λ.Ðàññìîòðèì ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè Ψ◦ è Ψ̃◦ îòîáðàæåíèé A è à ñîîòâåòñòâåííî (îïðåäåë¼ííûå íèæå â ï. 1.4.5). Òîãäà (ñì. äîêàçàòåëüñòâî óòâåðæäåíèé 6 è 7) âëîæåíèå i◦ è ôóíêöèþ S ◦ , àíàëîãè÷íûå âëîæåíèþ i èôóíêöèè S , ìîæíî îïðåäåëèòü ñëåäóþùèì åñòåñòâåííûì îáðàçîì.

Äåëî39â òîì, ÷òî Q = d2 Ψ◦ (m), è ïîýòîìó ëþáîå íåâûðîæäåííîå ïîäìíîãîîáðàçèåΛ ⊂ U , â êàæäîé òî÷êå m êîòîðîãî −1 6∈ spec dA(m), ÿâëÿåòñÿ áîòòîâñêèìêðèòè÷åñêèì ïîäìíîãîîáðàçèåì ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè Ψ◦ . Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïîäìíîãîîáðàçèÿ Λ̃ = i◦ (Λ) ïðîâåä¼ì ÷åðåç êàæäóþ òî÷êó m ∈ Λìàëåíüêóþ (íîðìàëüíóþ ê Λ) ïîâåðõíîñòü Nm (dim Nm + dim Λ = dim M ),òðàíñâåðñàëüíóþ ê Λ è ãëàäêî çàâèñÿùóþ îò òî÷êè m.

Òîãäà êàæäàÿ òî÷êàm0 , ëåæàùàÿ â äîñòàòî÷íî ìàëîé îêðåñòíîñòè U ïîäìíîãîîáðàçèÿ Λ â M ,ïðèíàäëåæèò ðîâíî îäíîé èç ïîâåðõíîñòåé Nm , êîòîðóþ áóäåì îáîçíà÷àòüòàêæå ÷åðåç Nm0 .Îïðåäåëèì ïîäìíîãîîáðàçèå Λ̃ êàê ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê m ∈ U , êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ êðèòè÷åñêèìè òî÷êàìè ñîîòâåòñòâóþùåé ôóíêöèè Ψ̃◦ |Nm :Λ̃ = i◦ (Λ) = {m ∈ U | dΨ̃◦ (m)|Tm Nm = 0}.(12)Ïî òåîðåìå î íåÿâíûõ ôóíêöèÿõ, ñ ó÷¼òîì êîìïàêòíîñòè Λ, ýòî ìíîæåñòâîäåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîãîîáðàçèåì âèäà Λ̃ = i◦ (Λ), ãäå i◦ : Λ ,→ U íåêîòîðîå âëîæåíèå, áëèçêîå ê òîæäåñòâåííîìó.Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî âëîæåíèå i◦ è ôóíêöèÿ S ◦ = 1ε Ψ̃◦ ◦ i◦ îáëàäàþò ïåðå÷èñëåííûìè ñâîéñòâàìè 1◦ 6◦ (ñì. óòâåðæäåíèÿ 6, 7 è ëåììó 4) èñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè, óòî÷íÿþùèìè ñâîéñòâî 5◦ èç ëåììû 4:7◦ Îáðàçû m̃ = i◦ (m) ïðè âëîæåíèè i◦ êðèòè÷åñêèõ òî÷åê m ∈ Λ ôóíêöèè S ◦ â òî÷íîñòè ñîâïàäàþò ñ êðèòè÷åñêèìè òî÷êàìè ôóíêöèè Ψ̃◦ (è ñíåïîäâèæíûìè òî÷êàìè îòîáðàæåíèÿ Ã).8◦ Ïóñòü m ∈ Λ ëþáàÿ êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà ôóíêöèè S ◦ , m̃ = i◦ (m) ñîîòâåòñòâóþùàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà îòîáðàæåíèÿ Ã.

Òîãäà â ýòîéòî÷êå êâàäðàòè÷íàÿ ÷àñòü ôóíêöèè Ψ̃◦ ñîâïàäàåò ñ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèåé Q̃ ñèìïëåêòè÷åñêîãî îïåðàòîðà dÃ(m) (ñì. îïðåäåëåíèå 5).1.4.5 Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ñèìïëåêòè÷åñêîãî îòîáðàæåíèÿÊàê ìû îòìå÷àëè â ï. 1.4.2 è 1.4.3, ëþáîå ñåìåéñòâî ãîìîëîãè÷íûõ ñèìïëåêòè÷åñêèõ îòîáðàæåíèé Aε , |ε| ≤ ε0 , ìîæíî îäíîçíà÷íî çàäàòü ïðè ïîìîùèïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè Φε ýòîãî ñåìåéñòâà, çàäàâ òàêæå îòîáðàæåíèå A0(ñì. çàìå÷àíèÿ 5, 4 è îïðåäåëåíèå 11).Çäåñü ìû îïðåäåëèì ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ îòäåëüíîãî ñèìïëåêòè÷åñêîãî îòîáðàæåíèÿ A, ãîìîëîãè÷íîãî òîæäåñòâåííîìó (ò.å.

íå îáÿçàòåëüíîâêëþ÷åííîãî â ñåìåéñòâî ñèìïëåêòè÷åñêèõ îòîáðàæåíèé).Ïðèìåðû ïðîèçâîäÿùèõ ôóíêöèé. Íåðåäêî ñèìïëåêòè÷åñêèå îòîá-ðàæåíèÿ çàäàþòñÿ ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäÿùèõ ôóíêöèé. Íàïðèìåð, ïóñòü40íà M èìåþòñÿ êàíîíè÷åñêèå êîîðäèíàòû(p, q) = (p1 , . . . , pn , q1 , . . . , qn ).Òîãäà ñèìïëåêòè÷åñêîå îòîáðàæåíèå A : (p, q) → (P, Q) êàê ïðàâèëî (òî÷íåå, ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ det( ∂P) 6= 0) ìîæíî çàäàòü íåÿâíûì îáðàçîì∂pñîîòíîøåíèÿìèP =p+∂Ψ(P, q),∂qQ=q−∂Ψ(P, q).∂P(13)Âåðíî è îáðàòíîå: åñëè ãëàäêîå îòîáðàæåíèå A óäîâëåòâîðÿåò òàêèì ñîîòíîøåíèÿì (òàêîå îòîáðàæåíèå ñóùåñòâóåò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà∂2Ψdet(I − ∂P) 6= 0), òî îíî àâòîìàòè÷åñêè ÿâëÿåòñÿ ñèìïëåêòè÷åñêèì äèô∂q2∂ Ψôåîìîðôèçìîì. Ïðè ýòîì îáå ìàòðèöû ∂Pè I − ∂Píåâûðîæäåíû è âçà∂p∂qèìíî îáðàòíû.Ôóíêöèþ Ψ(P, q) âèäà (13) íàçûâàþò ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèåé îòîáðàæåíèÿ A.

Ýòà ôóíêöèÿ îáëàäàåò ñëåäóþùèì âàæíûì ñâîéñòâîì: êðèòè÷åñêèå òî÷êè ôóíêöèè Ψ ñîâïàäàþò ñ íåïîäâèæíûìè òî÷êàìè îòîáðàæåíèÿ A, ïðè÷¼ì ìîðñîâñêèå êðèòè÷åñêèå òî÷êè ôóíêöèè Ψ ñîâïàäàþòñ íåâûðîæäåííûìè íåïîäâèæíûìè òî÷êàìè îòîáðàæåíèÿ A. ñâÿçè ñ ýòèì ñôîðìóëèðóåì äîñòàòî÷íîå óñëîâèå íåâûðîæäåííîñòèìíîæåñòâà Λ íåïîäâèæíûõ òî÷åê îòîáðàæåíèÿ A0 â òåðìèíàõ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè.Ïóñòü Λ íåêîòîðîå ïîäìíîãîîáðàçèå, âñå òî÷êè êîòîðîãî íåïîäâèæíû ïðè ñèìïëåêòè÷åñêîì îòîáðàæåíèè A. Ïóñòü îêðåñòíîñòè U íåêîòîðîéòî÷êè m ∈ Λ îòîáðàæåíèå A çàäàíî ñ ïîìîùüþ óêàçàííîé âûøå ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè Ψ(P, q) (îòíîñèòåëüíî íåêîòîðûõ êàíîíè÷åñêèõ ëîêàëüíûõêîîðäèíàò p, q â U ).

Òîãäà äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì íåâûðîæäåííîñòè ïîäìíîãîîáðàçèÿ Λ â îáëàñòè U ÿâëÿåòñÿ óñëîâèå áîòòîâîñòè Λ ïî îòíîøåíèþê ôóíêöèè Ψ(P, q), ò.å.dim ker d2 Ψ(m) = dim Λâ êàæäîé òî÷êå m ∈ Λ ∩ U .Ñóùåñòâóþò ðàçíûå òèïû ïðîèçâîäÿùèõ ôóíêöèé ñèìïëåêòè÷åñêîãîîòîáðàæåíèÿ, àíàëîãè÷íûå ôóíêöèè (13). Íàïðèìåð, ñèìïëåêòè÷åñêîå îòîáðàæåíèå A ìîæåò áûòü çàäàíî óêàçàííîé âûøå ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèåéΨ(P, q), åñëè det( ∂P) 6= 0 (ò.å. åñëè ôóíêöèè P , q ìîæíî âçÿòü â êà÷åñòâå∂pðåãóëÿðíûõ ëîêàëüíûõ êîîðäèíàò íà M ).

Åñëè det( ∂P) = 0, òî ýòî ïðå∂pïÿòñòâèå óñòðàíÿåòñÿ çàìåíîé íåêîòîðûõ ïåðåìåííûõ pik+1 , . . . , pin íà ñîîòâåòñòâóþùèå qik+1 , . . . , qin è îäíîâðåìåííîé çàìåíîé ýòèõ qik+1 , . . . , qin íà41ñîîòâåòñòâóþùèå −pik+1 , . . . , −pin ; è, çíà÷èò, îòîáðàæåíèå áóäåò çàäàâàòüñÿñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèèΨ = Ψ(Pi1 , . . . , Pik , Qik+1 , .

. . , Qin , qi1 , . . . , qik , −pik+1 , . . . , −pin ),òî÷íóþ ôîðìóëó ñì. â [1]. Ïðèíöèïèàëüíûõ ðàçëè÷èé â çàäàíèè îòîáðàæåíèé ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäÿùèõ ôóíêöèé ñ ðàçíûìè íàáîðàìè i1 , . . . , ikíåò, òàê êàê îíè ïîëó÷àþòñÿ äðóã èç äðóãà ïåðåîáîçíà÷åíèåì ÷àñòè p íà qè q íà −p, ïîýòîìó äëÿ ïðîñòîòû ìû ðàññìàòðèâàåì ëèøü ïðîèçâîäÿùóþôóíêöèþ Ψ(P, q) âèäà (13).Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî îòîáðàæåíèå A = A0 âêëþ÷åíî â îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ãîìîëîãè÷íûõ ñèìïëåêòè÷åñêèõ îòîáðàæåíèé Aε .Ïóñòü Ψε = Ψε (P, q) ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ îòîáðàæåíèÿ Aε .

Òàê êàêdAε îáëàäàåò ãëîáàëüíîé ôóíêöèåé ãàìèëüïðè ëþáîì ε ïîëå ñêîðîñòåé dεòîíà Fε , òî ìîæíî ðàññìîòðåòü ïðèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ Φ(m, ε) ñåìåéñòâàdîòîáðàæåíèé Aε , ãäå dεΦ(m, ε) + Fε (Aε (m)) = 0, Φ(m, 0) = 0 (ñì. îïðåäåëåíèå 11). Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ S = −F0 |Λ. Ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 6,S = Ψ0 |Λ + const,ãäå Ψ0 =dΨε| .dε ε=0Çàìå÷àíèå. Òàê êàê â îïðåäåëåíèè ôóíêöèè S êîîðäèíàòû íå èñïîëüçî-âàëèñü, òî îãðàíè÷åíèå ôóíêöèè Ψ0 íà ìíîæåñòâî Λ íåïîäâèæíûõ òî÷åêíåâîçìóù¼ííîãî îòîáðàæåíèÿ A íå çàâèñèò íè îò âûáîðà ëîêàëüíûõ êàíîíè÷åñêèõ êîîðäèíàò p, q , íè îò òèïà ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè Ψ.Îòìåòèì òàêæå, ÷òî àíàëîã ôóíêöèè Ψ èç (13) â äåéñòâèòåëüíîñòè ìîæíî îïðåäåëèòü äëÿ ëþáîãî îòîáðàæåíèÿ A, ãîìîëîãè÷íîãî òîæäåñòâåííîìó(ò.å.

îãðàíè÷åíèå det( ∂P) 6= 0 íåñóùåñòâåííî). Òàêàÿ ôóíêöèÿ áóäåò çàâè∂pñåòü îò ïåðåìåííûõ p, q è îïðåäåëÿòüñÿ ñëåäóþùèì ðàâåíñòâîì:dΨ(p, q) = (P − p)dq − (Q − q)dP.(14)Òàêàÿ ôóíêöèÿ Ψ ïî-ïðåæíåìó áóäåò îáëàäàòü íóæíûìè íàì ñâîéñòâàìè:1◦ Ëþáàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà îòîáðàæåíèÿ A ÿâëÿåòñÿ êðèòè÷åñêîéòî÷êîé ôóíêöèè Ψ.2◦ Êðèòè÷åñêèå òî÷êè îãðàíè÷åíèÿ ôóíêöèè Ψ̃ íà íåêîòîðîå ïîäìíîãîîáðàçèå Λ̃ áóäóò ñîâïàäàòü ñ íåïîäâèæíûìè òî÷êàìè îòîáðàæåíèÿ Ã.Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè ïîäìíîãîîáðàçèÿΛ çàäàíû ãëîáàëüíûå êàíîíè÷åñêèå êîîðäèíàòû p, q , è îòîáðàæåíèå Aε :(p, q) → (P, Q) çàäàíî ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèåé Ψε (P, q), óäîâëåòâîðÿþùåé) 6= 0 âî âñåé ýòîé îêðåñòíîñòè.

Ïóñòü ìíîæåñòâî Λ êðèóñëîâèþ det( ∂P∂pòè÷åñêèõ òî÷åê ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè Ψ0 ÿâëÿåòñÿ áîòòîâñêèì. Íåòðóäíî42äîêàçàòü, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ìíîæåñòâî íåïîäâèæíûõ òî÷åê îòîáðàæåíèÿAε â òî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ïðîèçâîäÿùåéôóíêöèè Ψε . È òîãäà òåîðåìà 4 è óòâåðæäåíèå 5 ÿâëÿþòñÿ î÷åâèäíûìèñëåäñòâèÿìè ñîîòâåòñòâóþùèõ òåîðåì î êðèòè÷åñêèõ òî÷êàõ ôóíêöèé, ÿâëÿþùèõñÿ âîçìóùåíèÿìè ôóíêöèé Áîòòà.Çàìå÷àíèå. Ñ òî÷êè çðåíèÿ ãðóïïû Ëè, äåéñòâóþùåé ñèìïëåêòè÷åñêè-ìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè íà ìíîãîîáðàçèè M (ñì. çàìå÷àíèå 4), ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ îòäåëüíîãî ñèìïëåêòè÷åñêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, ãîìîëîãè÷íîãî òîæäåñòâåííîìó, ÿâëÿåòñÿ îòäåëüíûì ýëåìåíòîì àëãåáðû Ëè C ∞ (M ), àíå ïóò¼ì â àëãåáðå Ëè. Ïðè ýòîì ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ îäíîçíà÷íî ñòðîèòñÿ ïî ñèìïëåêòè÷åñêîìó ïðåîáðàçîâàíèþ.