Замкнутые траектории гамильтоновых систем и приложение к планетно-спутниковой системе, страница 13

Áîëåå òî÷íî, ìû äîêàæåì ñëåäóþùóþ ôîðìóëó, àíàëîãè÷íóþôîðìóëå (33):dΨ̃(m)η = ω 2 (ξ˜0 , η) + o(|ξ˜0 | · |η|),m ∈ Λ̃, η ∈ Tm Λ̃,(34)ïðè ε → 0.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà (34) çàìåòèì, ÷òî h(m, u) = m ïðè âñåõ m ∈ Λ,∂h0 ≤ u ≤ 1, îòêóäà ∂m(m, u)η = η ïðè âñåõ η ∈ Tm Λ, 0 ≤ u ≤ 1. Ïîýòîìó∂ h̃(m, u)η = η + o(|η|) = O(|η|) ïðè âñåõ m ∈ Λ̃, η ∈ Tm Λ̃.∂m57Îòîæäåñòâèì ìàëóþ îêðåñòíîñòü U 0 (êàðòó) òî÷êè m â M ñ ìàëîéîêðåñòíîñòüþ íóëÿ â êàñàòåëüíîì ïðîñòðàíñòâå Tm M â ýòîé òî÷êå, íàïðèìåð, ïðè ïîìîùè ýêñïîíåíöèàëüíîãî îòîáðàæåíèÿ expm : Tm M → M , îòâå÷àþùåãî äàííîé àôôèííîé ñâÿçíîñòè. Òàêîå îòîæäåñòâëåíèå ïîçâîëÿåòîòîæäåñòâëÿòü êàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî â ëþáîé òî÷êå U 0 ñ êàñàòåëüíûìïðîñòðàíñòâîì â òî÷êå m. Ýòî îòîæäåñòâëåíèå ãëàäêèì îáðàçîì çàâèñèò îòïàðû òî÷åê â U 0 .Òàê êàê g(m, m, u) = m, h̃(m, u) = g(m, Ã(m), u), òî∂ h̃∂g(m, u) =(m, Ã(m), u) = O(|ξ˜0 |).uuÑîãëàñíî äîêàçàííîìó, ïðè êàæäîì u èìååì:2ωh̃(m,u)(∂ h̃∂ h̃∂ h̃∂ h̃(m, u),(m, u)η) = ωm ( (m, u),(m, u)η) + o(|ξ˜0 | · |η|) =∂u∂m∂u∂m∂ h̃(m, u), η) + o(|ξ˜0 | · |η|), m ∈ Λ̃, η ∈ Tm Λ̃.∂uÈíòåãðèðóÿ ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ïî u íà îòðåçêå [0, 1] è çàìå÷àÿ, ÷òî âR ∂ h̃âûáðàííîé êàðòå 01 ∂u(m, u)du = ξ˜0 , ïîëó÷àåì òðåáóåìóþ ôîðìóëó (34).Òàêèì îáðàçîì, ôîðìóëà (34) ñïðàâåäëèâà äëÿ ëþáîé ïðîèçâîäÿùåéôóíêöèè Ψ âèäà (28) è ëþáîãî ïîäìíîãîîáðàçèÿ Λ̃, C r áëèçêîãî ê Λ è,â ÷àñòíîñòè, äëÿ ïîäìíîãîîáðàçèÿ, îïðåäåë¼ííîãî ïî ôîðìóëå (27).Øàã 5.

Òåïåðü âîçüì¼ì ëþáóþ êðèòè÷åñêóþ òî÷êó m ∈ Λ̃ ôóíêöèèΨ̃|Λ̃ è ïîêàæåì, ÷òî îíà ÿâëÿåòñÿ íåïîäâèæíîé ïðè îòîáðàæåíèè Ã, ò.å.÷òî âåêòîð ñìåùåíèÿ ξ˜0 = ∂ h̃(m,u)|u=0 ðàâåí íóëþ.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå∂u˜˜åäèíè÷íûé âåêòîð ξ0 /|ξ0 | áûë áû áëèçîê ê ïîäïðîñòðàíñòâó Tm θm (ïî ïîñòðîåíèþ ïîäìíîãîîáðàçèÿ Λ̃, ñì. (27)). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç ðàâåíñòâàíóëþ âûðàæåíèÿ (34) ñëåäóåò, ÷òî ýòîò åäèíè÷íûé âåêòîð áûë áû áëèçîê⊥ê êîñîîðòîãîíàëüíîìó äîïîëíåíèþ TmΛ̃ ê ïîäïðîñòðàíñòâó Tm Λ̃.

Ñëåäîâà⊥òåëüíî, ïîäïðîñòðàíñòâà Tm θm è Tm Λ̃ ñîäåðæàëè áû áëèçêèå äðóã ê äðóãóåäèíè÷íûå âåêòîðà. Íî ïîñëåäíåå ïðîòèâîðå÷èò ïîñòðîåíèþ ïîâåðõíîñòåéθm , m ∈ U , ïîñêîëüêó â êàæäîé òî÷êå m êîìïàêòíîãî ïîäìíîãîîáðàçèÿΛ ⊂ U ïîäïðîñòðàíñòâà Tm θm è Tm⊥ Λ = Im(dA(m) − I) òðàíñâåðñàëüíûäðóã ê äðóãó è èìåþò äîïîëíèòåëüíûå ðàçìåðíîñòè.Òàêèì îáðàçîì, êðèòè÷åñêèå òî÷êè ôóíêöèè Ψ̃|Λ̃ ñîâïàäàþò ñ íåïîäâèæíûìè òî÷êàìè îòîáðàæåíèÿ Ã. Ýòî äîêàçûâàåò ñâîéñòâî 1◦ äîêàçûâàåìîãîóòâåðæäåíèÿ.Äîêàæåì ñâîéñòâî 2◦ î íåâûðîæäåííûõ íåïîäâèæíûõ òî÷êàõ îòîáðàæåíèÿ Ã.2ωm(58Ïóñòü m ∈ Λ̃ ëþáàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà îòîáðàæåíèÿ Ã. Òîãäà∂ h̃h̃(m, u) = m, òàê ÷òî ∂u(m, u) = 0.

Îòñþäà è èç ôîðìóëû (29) äèôôåðåíöèàëà ôóíêöèè Ψ ïîëó÷àåì, ÷òî â òàêîé òî÷êå m êâàäðàòè÷íàÿ ÷àñòüôóíêöèè Ψ̃|Λ̃ èìååò ñëåäóþùèé âèä (êàê ñèììåòðè÷íàÿ áèëèíåéíàÿ ôîðìà):Z 1∂ 2 h̃∂ h̃2d Ψ̃(m)η1 η =ω2((m, u)η1 ,(m, u)η)du,(35)∂m∂u∂m0η1 , η ∈ Tm M .∂ h̃Êàê ìû óæå îòìåòèëè, ∂m(m, u)η = η + o(|η|) ïðè η ∈ Tm Λ̃. Òàê êàê∂g∂gg(m, m, u) = m, òî ∂m(m, m, u) + ∂m0 (m, m, u) ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííûì22∂ g∂ g∂ 2 h̃îïåðàòîðîì è ∂m∂u(m, m, u) + ∂m0 ∂u (m, m, u) = 0. Îòñþäà ∂m∂u (m, u)η1 =∂2g(m, m, u)(η1 − dÃ(m)η1 ) = O(|dÃ(m)η1 − η1 |) â ëþáîé íåïîäâèæíîé òî÷∂m∂uêå m îòîáðàæåíèÿ Ã, η1 ∈ Tm M .

Êðîìå òîãî, â ëþáîé íåïîäâèæíîé òî÷êåR ∂ 2 h̃m îòîáðàæåíèÿ à èìååì: 01 ∂m∂u(m, u)η1 du = dÃ(m)η1 − η1 .Ïîäñòàâëÿÿ ýòè ðàâåíñòâà â ôîðìóëó (35), èìååì:2d Ψ̃(m)η1 η =Z 10ω2(∂ 2 h̃(m, u)η1 , η + o(|η|))du =∂m∂uω 2 (dÃ(m)η1 − η1 , η) + o(|dÃ(m)η1 − η1 | · |η|)(36)ïðè ε → 0, η1 ∈ Tm M , η ∈ Tm Λ̃.Èç ïîñòðîåíèÿ ïîäìíîãîîáðàçèÿ Λ̃ ñëåäóåò, ÷òî âåêòîðû âèäà ξ1 =dÃ(m)η1 −η1 , ãäå η1 ∈ Tm Λ̃, êàñàòåëüíû ê ïîâåðõíîñòè θm . Îòñþäà, ñ ó÷¼òîìíåâûðîæäåííîñòè ñïàðèâàíèÿ íà ïîäïðîñòðàíñòâàõ θm è Tm Λ̃ ïðè ïîìîùèôîðìû ω 2 , ïîëó÷àåì, ÷òî íóëåâîå ïðîñòðàíñòâî ãåññèàíà d2 (Ψ̃|Λ̃ ) â òî÷êå mñîâïàäàåò ñ ÿäðîì îïåðàòîðàB : Tm Λ → Tm θm ,B(η1 ) = dÃ(m)η1 − η1 . ÷àñòíîñòè, íåâûðîæäåííîñòü ãåññèàíà d2 (Ψ̃|Λ̃ ) â òî÷êå m ýêâèâàëåíòíàòîìó, ÷òî îïåðàòîð B ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì.Îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî ÿäðî îïåðàòîðà B ñîâïàäàåò ñ ÿäðîì îïåðàòîðà dÃ(m) − I . Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî îïåðàòîð (dÃ(m) − I) : Tm M =(TNm → Tm M = (Tm θm ) ⊕ (Tm⊥ Λ) çàäà¼òñÿ áëî÷íîé ìàòðèöåé âèäàà m Λ̃) ⊕ !B ∗, ãäå Nm îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå ê Tm Λ̃ â M (îòíîñèòåëüíî0 Cêàêîé-ëèáî ôèêñèðîâàííîé ðèìàíîâîé ìåòðèêè), ìàòðèöà C íåâûðîæäåíàâ ñèëó óñëîâèÿ íåâûðîæäåííîñòè Λ.Òàêèì îáðàçîì, òî÷êà m ÿâëÿåòñÿ ìîðñîâñêîé êðèòè÷åñêîé òî÷êîé ôóíêöèè Ψ̃|Λ̃ â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà ýòà òî÷êà ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííîé íåïîäâèæíîé òî÷êîé îòîáðàæåíèÿ Ã.

Áîëåå òîãî, â ëþáîé êðèòè÷åñêîé59òî÷êå m ôóíêöèè Ψ̃|Λ̃ íóëåâîå ïðîñòðàíñòâî ãåññèàíà ýòîé ôóíêöèè ñîâïàäàåò ñ ÿäðîì îïåðàòîðà dÃ(m)−I . Ýòî äîêàçûâàåò ñâîéñòâî 2◦ óòâåðæäåíèÿ6.Èòàê, ñâîéñòâà 1◦ è 2◦ äîêàçàíû, à âìåñòå ñ íèìè äîêàçàíà òåîðåìà 4 îáîöåíêå ÷èñëà íåïîäâèæíûõ òî÷åê îòîáðàæåíèÿ Ã.Ðàñïîëîæåíèå íåïîäâèæíûõ òî÷åê.

Îñòàëîñü äîêàçàòü âòîðûå ÷àñòèñâîéñòâ 3◦ è 4◦ (î áëèçîñòè ôóíêöèè S = 1ε Ψ̃◦i ê îãðàíè÷åíèþ ïðîèçâîäÿùåéôóíêöèè íà Λ) óòâåðæäåíèÿ 6. Îòñþäà áóäåò ñëåäîâàòü óòâåðæäåíèå 5 îðàñïîëîæåíèè íåïîäâèæíûõ òî÷åê îòîáðàæåíèÿ Ã.Ïîêàæåì, ÷òî äëÿ ëþáîé äðóãîé ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè Ψ̃◦ âîçìóù¼ííîãî îòîáðàæåíèÿ ôóíêöèè Ψ̃ ◦ i è Ψ̃◦ |Λ îòëè÷àþòñÿ íà ìàëóþ ôóíêöèþïîðÿäêà ε2 (ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ñëàãàåìîãî).Ðàññìîòðèì ðàçíîñòü çíà÷åíèé ôóíêöèè Ψ̃◦ â äâóõ òî÷êàõ m0 è m1 ïîäìíîãîîáðàçèÿ Λ. Ñîåäèíèì ýòè òî÷êè êðèâîé γ = {mv | 0 ≤ v ≤ 1}, ëåæàùåéíà Λ. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ (28) ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè, ýòà ðàçíîñòü ðàâíà èíòåãðàëó ôîðìû ω 2 ïî äâóìåðíîé öåïè C̃ ◦ (m0 , m1 ), îòâå÷àþùåé êðèâîéγ .

À èìåííî, öåïü C̃ ◦ (m0 , m1 ) ñîñòàâëåíà èç êðèâûõγv◦ = {h̃◦ (mv , u) | 0 ≤ u ≤ 1},è å¼ ãðàíèöà ñîñòîèò èç ÷åòûð¼õ êðèâûõ γ0◦ , γ1◦ , γ è Ã(γ).Ñîåäèíèì òî÷êè m̃0 = i(m0 ) è m̃1 = i(m1 ) êðèâîé γ̃ = i(γ) = {m̃v | 0 ≤v ≤ 1}, íà Λ̃, ãäå m̃v = i(mv ), 0 ≤ v ≤ 1}. Äëÿ ðàçíîñòè Ψ̃(m̃1 ) − Ψ̃(m̃0 )ðàññìîòðèì àíàëîãè÷íóþ äâóìåðíóþ öåïü C̃(m0 , m1 ), îòâå÷àþùóþ êðèâîéγ̃ .Íàì íóæíî äîêàçàòü, ÷òî èíòåãðàëû ôîðìû ω 2 ïî öåïÿì C̃(m0 , m1 ) èC(m0 , m1 ) îòëè÷àþòñÿ íà âåëè÷èíó o(ε). Íî ýòè äâå öåïè ÿâëÿþòñÿ ïðîòèâîïîëîæíûìè ãðàíÿìè íåêîòîðîé 3öåïè D ⊂ U , êîòîðàÿ ñòðîèòñÿ òàê. Íàêàæäîé 2öåïè C̃(m0 , m1 ) è C(m0 , m1 ) åñòü åñòåñòâåííûå êîîðäèíàòû u, v ,0 ≤ u, v ≤ 1. Ñîåäèíèì òî÷êè, èìåþùèå îäíè è òå æå êîîðäèíàòû, îòðåçêîìãåîäåçè÷åñêîé.

Îáúåäèíåíèå òàêèõ îòðåçêîâ ïî âñåì u, v , ÿâëÿåòñÿ èñêîìîé3öåïüþ D. Îáîçíà÷èì å¼ òðåòüþ ãðàíü, ïðèìûêàþùóþ ê êðèâûì γ è γ̃ ,÷åðåç C , à ÷åòâ¼ðòóþ ãðàíü, ïðèìûêàþùóþ ê êðèâûì Ã(γ) è Ã(γ̃), ÷åðåçÃC . Äâå îñòàâøèåñÿ (ìàëåíüêèå) ãðàíè, ïðèìûêàþùèå ê òî÷êàì m0 è m1 ,îáîçíà÷èì ÷åðåç C0 è C1 ñîîòâåòñòâåííî. ñèëó çàìêíóòîñòè ôîðìû ω 2 , å¼ èíòåãðàë ïî ãðàíèöå öåïè D ðàâåííóëþ. Ñëåäîâàòåëüíî, èíòåðåñóþùàÿ íàñ ðàçíîñòü èìååò âèäZ(ZC̃(m0 ,m1 )−Z2C(m0 ,m1 ))ω = (ÃC60Z−Z2C)ω + (C0Z−C1)ω 2 .RRÏåðâàÿ ðàçíîñòü â ïîñëåäíåé ñóììå ε2 áëèçêà ê ðàçíîñòè ( Ã(C) − C )ω 2 ,êîòîðàÿ â ñâîþ î÷åðåäü ðàâíà íóëþ â ñèëó ñèìïëåêòè÷íîñòè îòîáðàæåíèÿÃ.

Âòîðàÿ ðàçíîñòü â ýòîé ñóììå ìàëà, òàê êàê ïëîùàäè öåïåé C0 è C1èìåþò ïîðÿäîê ε2 .Òàêèì îáðàçîì,Ψ̃(i(m1 )) − Ψ̃(i(m0 )) = Ψ̃◦ (m1 ) − Ψ̃◦ (m0 ) + O(ε2 ),m0 , m1 ∈ Λ,äëÿ ëþáûõ äâóõ ïðîèçâîäÿùèõ ôóíêöèé Ψ̃◦ è Ψ̃ îòîáðàæåíèÿ Ã.Ýòî äîêàçûâàåò âòîðóþ ÷àñòü ñâîéñòâà 3◦ óòâåðæäåíèÿ 6.Ïóñòü òåïåðü îòîáðàæåíèå à âêëþ÷åíî â îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ãîìîëîãè÷íûõ ñèìïëåêòè÷åñêèõ îòîáðàæåíèé: à = Aε .

Ðàññìîòðèìïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ Φε (m) = Φ(m, ε) ýòîãî ñåìåéñòâà (ñì. îïðåäåëåíèå11). ßñíî, ÷òî ïðèâåä¼ííîå äîêàçàòåëüñòâî äîñëîâíî ïåðåíîñèòñÿ íà ñëó÷àé ôóíêöèè Ψ̃◦ = Φε â êà÷åñòâå ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè îòîáðàæåíèÿ Ã.Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ S = 1ε Ψε ◦ iε εáëèçêà ê ôóíêöèè 1ε Φε |Λ . Òàê êàêΦ0 = 0, òî1∂Φε =Φε |ε=0 + o(ε) = −F0 + o(ε).ε∂εÇíà÷èò, ïðè ε → 0 ôóíêöèÿ S = 1ε Ψε ◦ iε ñòðåìèòñÿ ê ôóíêöèè −F0 |Λ = S .Ýòî äîêàçûâàåò âòîðóþ ÷àñòü ñâîéñòâà 4◦ óòâåðæäåíèÿ 6.Óòâåðæäåíèå 6 ïîëíîñòüþ äîêàçàíî.

Òåì ñàìûì, äîêàçàíû òàêæå òåîðåìà 4 è óòâåðæäåíèå 5.1.5.2 Óñòîé÷èâîñòü íåïîäâèæíûõ òî÷åêÇäåñü ìû äîêàæåì óòâåðæäåíèå 7 è âñïîìîãàòåëüíóþ ëåììó 4 èç ï. 1.4.4. ëþáîé òî÷êå m ∈ Λ ðàññìîòðèì îïåðàòîð ìîíîäðîìèè A = dA(m).Ðàññìîòðèì ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ Q = Q(m) ýòîãî îïåðàòîðà, ò.å.

êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó Qξ = ω 2 (Aξ, ξ).Ïîêàæåì, ÷òî êàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî ê Λ ñîäåðæèòñÿ â ÿäðå êâàäðàòè÷íîé ôîðìû Q. Äåéñòâèòåëüíî, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñèììåòðè÷íàÿ áèëèíåéíàÿ ôîðìà èìååò âèä Q(ξ, η) = 21 (ω 2 (Aξ, η)+ω 2 (Aη, ξ)).  ñèëó ñèìïëåêòè÷íîñòè îïåðàòîðà A è êîñîñèììåòðè÷íîñòè ôîðìû ω 2 , èìååì: ω 2 (Aη, ξ) =ω 2 (A2 η, Aξ) = −ω 2 (Aξ, A2 η), îòêóäà1Q(ξ, η) = ω 2 (Aξ, η − A2 η).(37)2Ïîñêîëüêó ëþáîé âåêòîð η ∈ Tm Λ íåïîäâèæåí ïðè îòîáðàæåíèè A, òî âñèëó (37) îí îðòîãîíàëåí ëþáîìó âåêòîðó ξ ∈ Tm M îòíîñèòåëüíî ôîðìûQ: Q(ξ, η) = 0.

Ýòî è çíà÷èò, ÷òîTm Λ ⊂ ker Q.61(38)Ïóñòü −1 6∈ spec A. Èç ôîðìóëû (37) è íåâûðîæäåííîñòè ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû ëåãêî ñëåäóåò, ÷òî ïðè óêàçàííîì ïðåäïîëîæåíèè â ëþáîéòî÷êå m ∈ Λ âëîæåíèå (38) íå ÿâëÿåòñÿ ñòðîãèì, ò.å. Tm Λ = ker Q. Äðóãèìèñëîâàìè, ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ Q = Q(m) íåâûðîæäåíà íà íîðìàëüíîìïîäïðîñòðàíñòâå ê Tm Λ â Tm M , ò.å. íà ïîäïðîñòðàíñòâå âèäà Nm ⊂ Tm M ,ãäå dim Nm +dim Λ = dim M .

Ñ ó÷¼òîì âòîðîé ÷àñòè ñâîéñòâà 8◦ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè âèäà Ψ◦ (ñì. çàìå÷àíèå 8, äîêàçàííîå íà øàãå 4, (32)), îòñþäàïîëó÷àåì, ÷òî ïîäìíîãîîáðàçèå Λ ÿâëÿåòñÿ áîòòîâñêèì ïîäìíîãîîáðàçèåìêðèòè÷åñêèõ òî÷åê ôóíêöèè Ψ◦ . Îòñþäà è òåîðåìû î íåÿâíîé ôóíêöèèëåãêî ñëåäóåò ñâîéñòâî 7◦ èç çàìå÷àíèÿ 8.Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 4. Íàïîìíèì óñëîâèå ýòîé ëåììû. ëåììå 4 ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî â êàæäîé òî÷êå m ∈ Λ ñïåêòð îïåðàòîðàìîíîäðîìèè A = dA(m) íå ñîäåðæèò -1.Ïóñòü òåïåðü m êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà ôóíêöèè Ψ̃|Λ̃ .

Òåì ñàìûì, ñîãëàñíîóòâåðæäåíèþ 6, îíà íåïîäâèæíà ïðè îòîáðàæåíèè Ã. Ðàññìîòðèì îïåðàòîðìîíîäðîìèè à = dÃ(m) â ýòîé òî÷êå è ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ Q̃ = Q̃(m)ýòîãî îïåðàòîðà, ò.å. êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó Q̃ξ = ω 2 (Ãξ, ξ).Ëåììà 4 óòâåðæäàåò, ÷òî â òî÷êå m èíäåêñ êâàäðàòè÷íîé ôîðìû Q̃ðàâåí ñóììå èíäåêñà êâàäðàòè÷íîé ôîðìû Q, è èíäåêñà ãåññèàíà ôóíêöèèΨ̃|Λ̃ .Íàïîìíèì (ñì.

øàã 2 èç ï. 1.5.1), ÷òî ïîäìíîãîîáðàçèå Λ̃ îïðåäåëÿëîñüêàê ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê â îêðåñòíîñòè U ⊃ Λ, â êîòîðûõ Ã(m) ∈ θ̃m (27).Ñëåäîâàòåëüíî, â ëþáîé íåïîäâèæíîé òî÷êå m îòîáðàæåíèÿ à êàñàòåëüíîåïîäïðîñòðàíñòâî Tm Λ̃ ê Λ̃ â ýòîé òî÷êå ñîñòîèò èç âñåõ âåêòîðîâ η ∈ Tm M ,äëÿ êîòîðûõ Ãη − η ∈ Tm θm , ò.å. èìååò âèäTm Λ̃ ⊂ {η ∈ Tm M | Ãη − η ∈ Tm θm }(39)(â äåéñòâèòåëüíîñòè, ýòî âëîæåíèå ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì). êàæäîé òî÷êå m ∈ Λ ðàññìîòðèì êîñîîðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå⊥ê ïîäïðîñòðàíñòâó Tm θm . Çàìåòèì, ÷òî ïîëó÷åííîå ïîäïðîñòðàíñòâî θmòðàíñâåðñàëüíî ê Tm Λ (ïîñêîëüêó êîñîîðòîãîíàëüíûå äîïîëíåíèÿ Tm θm⊥è TmΛ ê ýòèì ïîäïðîñòðàíñòâàì òðàíñâåðñàëüíû ïî ïîñòðîåíèþ ïîâåðõ⊥íîñòåé θm ).

Ïîýòîìó ìû åãî áóäåì îáîçíà÷àòü θm= Nm . Òàêèì îáðàçîì,êàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî (39) ê ïîäìíîãîîáðàçèþ Λ̃ èìååò âèäTm Λ̃ ⊂ {η ∈ Tm M | ω 2 (Ãη − η, ν) = 0, ν ∈ Nm }. ñèëó ñèìïëåêòè÷íîñòè îïåðàòîðà à èìååì: ω 2 (Ãη − η, ν) = ω 2 (η, Ã−1 ν) −ω 2 (η, ν) = ω 2 (η, Ã−1 ν − ν), òàê ÷òîTm Λ̃ ⊂ {η ∈ Tm M | ω 2 (η, Ã−1 ν − ν) = 0, ν ∈ Nm }.62(40)Òàê êàê îïåðàòîð à + I îáðàòèì, ãäå I òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð âTm M , òî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì âîçìóùåíèè îïðåäåëåíî ïîäïðîñòðàíñòâî◦Ñm= (à + I)−1 Nm .◦Ïîêàæåì, ÷òî ïîäïðîñòðàíñòâà Tm Λ̃ è Ñmîðòîãîíàëüíû îòíîñèòåëüíî◦ôîðìû Q̃.