Замкнутые траектории гамильтоновых систем и приложение к планетно-спутниковой системе

ÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒèì. Ì. Â. ËîìîíîñîâàÌåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåòÍà ïðàâàõ ðóêîïèñèÓÄÊ 517.925.42, 521.131Êóäðÿâöåâà Åëåíà ÀëåêñàíäðîâíàÇàìêíóòûå òðàåêòîðèèãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåìè ïðèëîæåíèåê ïëàíåòíî-ñïóòíèêîâîé ñèñòåìå01.01.02 äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿÄèññåðòàöèÿíà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíèêàíäèäàòà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÍàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü:êàíäèäàò ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêäîöåíò Í. Í. Íåõîðîøåâ.Ìîñêâà 1998Ðàññìîòðèì ãàìèëüòîíîâó ñèñòåìó, â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå êîòîðîéèìååòñÿ çàìêíóòîå ïîäìíîãîîáðàçèå Λ, ñïëîøü çàïîëíåííîå çàìêíóòûìèòðàåêòîðèÿìè. Èçó÷àåòñÿ âîïðîñ: ñêîëüêî è êàêèå èç ýòèõ òðàåêòîðèéñîõðàíÿòñÿ, ëèøü ñëåãêà ïðîäåôîðìèðîâàâøèñü, ïðè ìàëîì âîçìóùåíèèñèñòåìû, è áóäóò ëè ñîõðàíèâøèåñÿ ïåðèîäè÷åñêèå ðåøåíèÿ óñòîé÷èâûìè? Îäíèì èç îñíîâíûõ ðåçóëüòàòîâ ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ ýôôåêòèâíàÿ îöåíêà÷èñëà ñîõðàíèâøèõñÿ çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé â òåðìèíàõ òîïîëîãèè ïîäìíîãîîáðàçèÿ Λ.

À èìåííî, äîêàçàíî, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè åñòåñòâåííîãîóñëîâèÿ íåâûðîæäåííîñòè Λ ÷èñëî òàêèõ òðàåêòîðèé íå ìåíüøå ìèíèìàëüíîãî ÷èñëà êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ãëàäêîé ôóíêöèè íà ôàêòîð-ìíîãîîáðàçèèB = Λ/S 1 .Àíàëîãè÷íûå îöåíêè ïîëó÷åíû â íåêîòîðûõ áîëåå îáùèõ ñèòóàöèÿõ. Íàïðèìåð, â ñëó÷àå, êîãäà èçîýíåðãåòè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü ÿâëÿåòñÿ îñîáîéè å¼ ïîäìíîæåñòâî, çàïîëíåííîå ïåðèîäè÷åñêèìè òðàåêòîðèÿìè, ñîäåðæèòïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû, à òàêæå â ñëó÷àå ïðîèçâîëüíûõ, âîîáùåãîâîðÿ íå ãàìèëüòîíîâûõ, äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. êà÷åñòâå ïðèëîæåíèÿ èññëåäóåòñÿ ïëàíåòíî-ñïóòíèêîâàÿ ñèñòåìà, ÿâëÿþùàÿñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ïëîñêîé çàäà÷è N +1 òåë.

Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òîìàññà îäíîãî òåëà Ñîëíöà ìíîãî áîëüøå ìàññ îñòàëüíûõ òåë ïëàíåòè ñïóòíèêîâ, à ìàññà êàæäîé ïëàíåòû ìíîãî áîëüøå ñóììû ìàññ å¼ ñïóòíèêîâ. Êðîìå òîãî, ðàññòîÿíèÿ ìåæäó êàæäîé ïëàíåòîé è å¼ ñïóòíèêàìè ìíîãî ìåíüøå ðàññòîÿíèÿ îò Ñîëíöà äî ýòîé ïëàíåòû. Äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïðèåñòåñòâåííîì ñîîòíîøåíèè ìåæäó ìàëûìè ïàðàìåòðàìè çàäà÷è ñóùåñòâóåòáîëüøîå ÷èñëî ïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèé ïëàíåòíî-ñïóòíèêîâîé ñèñòåìû âîâðàùàþùåéñÿ ñèñòåìå êîîðäèíàò.2Ñîäåðæàíèå1 Ñîõðàíåíèå çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåìïðè âîçìóùåíèÿõ121.11.21.31.41.51.61.7Îöåíêà ÷èñëà çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé .

. . . . . . . .Ìåòîä óñðåäíåíèÿ íà ïîäìíîãîîáðàçèè . . . . . . . .Óñòîé÷èâîñòü çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé . . . . . . . . .Íåïîäâèæíûå òî÷êè ñèìïëåêòè÷åñêèõ îòîáðàæåíèéÄîêàçàòåëüñòâà òåîðåì î íåïîäâèæíûõ òî÷êàõ . . .Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì î çàìêíóòûõ òðàåêòîðèÿõ . .Íåêîòîðûå ÷àñòíûå ñëó÷àè . . . . . . . . . . . . . . ....................................2 Íåêîòîðûå îáîáùåíèÿ è äîïîëíåíèÿ2.12.22.312192227546791101Ðîëü ïîñòîÿíñòâà çíà÷åíèé ýíåðãèè, ôóíêöèè ïåðèîäà è ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108Íåãàìèëüòîíîâ ñëó÷àé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1323 Îòíîñèòåëüíî ïåðèîäè÷åñêèå äâèæåíèÿ ïëàíåòíî-ñïóòíèêîâîé ñèñòåìû1363.13.23.33.43.5Ôîðìóëèðîâêè òåîðåì . . . . . . . .

. . . . . .Âñïîìîãàòåëüíûå óòâåðæäåíèÿ . . . . . . . . . .Ïëàí äîêàçàòåëüñòâà . . . . . . . . . . . . . . .Äîêàçàòåëüñòâî âñïîìîãàòåëüíûõ óòâåðæäåíèéÎáîáùåíèÿ. Äâîéíûå ïëàíåòû . . . . . . . . . .3........................................136145160178194ÂâåäåíèåÄàííàÿ äèññåðòàöèîííàÿ ðàáîòà ïîñâÿùåíà èññëåäîâàíèþ ïåðèîäè÷åñêèõòðàåêòîðèé àâòîíîìíûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì è ñâÿçàííûì ñ ýòèì âîïðîñàì.Ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìîé íàçûâàåòñÿ äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà íà ñèìïëåêòè÷åñêîì ìíîãîîáðàçèè, îòâå÷àþùàÿ âåêòîðíîìó ïîëþ, çàäàííîìó íåêîòîðîé ãëàäêîé ôóíêöèåé H , êîòîðóþ íàçûâàþò ãàìèëüòîíèàíîì ñèñòåìû. íåêîòîðîé ëîêàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò (p, q) = (p1 , . .

. , pn , q1 , . . . , qn )ýòà äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà çàäà¼òñÿ ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìîé îáûêíîâåííûõäèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ò.å. ñèñòåìîé âèäàṗ = −∂H(p, q),∂qq̇ =∂H(p, q).∂q(1)Ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ôóíêöèÿ H íå çàâèñèò îò âðåìåíè t, ò.å. ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ àâòîíîìíîé.Íàïîìíèì, ÷òî ñèìïëåêòè÷åñêîå ìíîãîîáðàçèå ýòî ãëàäêîå ìíîãîîáðàçèå M , ñíàáæåííîå çàìêíóòîé íåâûðîæäåííîé äèôôåðåíöèàëüíîé 2ôîðìîé ω 2 , íàçûâàåìîé ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðîé. Êàíîíè÷åñêèìè êîîðäèíàòàìè íà M íàçûâàþòñÿ ëîêàëüíûå êîîðäèíàòû (p, q), â êîòîðûõ ñèìPïëåêòè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà èìååò âèä ω 2 = dp ∧ dq = ni=1 dpi ∧ dqi . Èçâåñòíî, ÷òî êàíîíè÷åñêèå êîîðäèíàòû ñóùåñòâóþò â îêðåñòíîñòè ëþáîé òî÷êèñèìïëåêòè÷åñêîãî ìíîãîîáðàçèÿ M ; óðàâíåíèÿ (1) îïðåäåëÿþò îäíó è òóæå ãàìèëüòîíîâó ñèñòåìó íåçàâèñèìî îò âûáîðà êàíîíè÷åñêèõ êîîðäèíàò.Ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëåäóþùàÿ ñèòóàöèÿ.

Èìååòñÿ ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà,íàçûâàåìàÿ äàëåå íåâîçìóù¼ííîé, ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî êîòîðîé ñîäåðæèò ãëàäêîå ïîäìíîãîîáðàçèå Λ ⊂ H −1 (h), ñïëîøü çàïîëíåííîå çàìêíóòûìè òðàåêòîðèÿìè ñèñòåìû. Ïðè ìàëîì âîçìóùåíèè ãàìèëüòîíèàíà H ,à òåì ñàìûì è ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû, ïîäìíîãîîáðàçèå çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé ðàñïàäàåòñÿ, íî íåêîòîðûå èç çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé âûæèâàþò.Öåëüþ äèññåðòàöèè ÿâëÿåòñÿ âûÿñíåíèå êàêèå, ñêîëüêî, ãäå ïîÿâëÿþòñÿýòè âûæèâøèå òðàåêòîðèè, êàêèå èç íèõ áûâàþò óñòîé÷èâû? Áîëåå òî÷íî,íóæíî îöåíèòü ÷èñëî ýòèõ òðàåêòîðèé, âûÿñíèòü èõ ðàñïîëîæåíèå, íàéòèóñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè ýòèõ òðàåêòîðèé è âûÿñíèòü äðóãèå âîïðîñû, êîòîðûå îáû÷íî ïðåäñòàâëÿþò èíòåðåñ äëÿ ïðèëîæåíèé.Îïèñàííàÿ ñèòóàöèÿ ÷àñòî âñòðå÷àåòñÿ â ïðèëîæåíèÿõ, â ÷àñòíîñòè, âçàäà÷àõ î ìåõàíè÷åñêèõ êîëåáàíèÿõ, çàäà÷àõ î äâèæåíèè çàðÿæåííûõ ÷àñòèö, à òàêæå â çàäà÷å î ïëàíåòíî-ñïóòíèêîâîé ñèñòåìå, êîòîðàÿ èññëåäîâàíà â äàííîé äèññåðòàöèè.

 äàííîé ðàáîòå äîêàçàíà ýôôåêòèâíàÿ îöåíêàäëÿ ÷èñëà ïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèé ïëàíåòíî-ñïóòíèêîâîé ñèñòåìû âî âðàùàþùåéñÿ ñèñòåìå êîîðäèíàò, ïðèâåäåíû óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè â ëèíåéíîì4ïðèáëèæåíèè äëÿ îäíîãî èç ýòèõ äâèæåíèé è îïèñàíû ïîðîæäàþùèå äâèæåíèÿ. Îáû÷íî âîïðîñû òàêîãî ñîðòà ðåøàþòñÿ äëÿ êàæäîé êîíêðåòíîéçàäà÷è îòäåëüíî.  äèññåðòàöèè äåëàåòñÿ ïîïûòêà ïîëó÷èòü îáùèå ïîäõîäû ê å¼ èññëåäîâàíèþ, ïåðå÷èñëèòü îáùèå ìåòîäû, êîòîðûå ãîäÿòñÿ â ýòîéñèòóàöèè.Äèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç òð¼õ ãëàâ.Ïåðâàÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà òðåì âîïðîñàì: ñóùåñòâîâàíèþ, ëîêàëèçàöèèâ ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå è óñòîé÷èâîñòè çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé âîçìóù¼ííûõ ñèñòåì. Ïðåæäå âñåãî ôîðìóëèðóåòñÿ åñòåñòâåííîå óñëîâèå íåâûðîæäåííîñòè ïîäìíîãîîáðàçèÿ Λ, ëåæàùåãî íà íåîñîáîé èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè H −1 (h) è çàïîëíåííîãî çàìêíóòûìè òðàåêòîðèÿìè íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû.

Äàëåå äà¼òñÿ ýôôåêòèâíàÿ îöåíêà äëÿ ÷èñëà çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû ÷åðåç òîïîëîãèþ ôàêòîð-ìíîãîîáðàçèÿ B =Λ/S 1 ïîäìíîãîîáðàçèÿ Λ ïî çàìêíóòûì òðàåêòîðèÿì íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû.Îñíîâíûì ðåçóëüòàòîì Ÿ1.1 ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿÒåîðåìà 1. Ïóñòü íà ñèìïëåêòè÷åñêîì ìíîãîîáðàçèè (M 2n , ω 2 ) çàäà-íà ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà ñ ãàìèëüòîíèàíîì H . Ïóñòü Λ ⊂ H −1 (h) êîìïàêòíîå íåâûðîæäåííîå ïîäìíîãîîáðàçèå (áåç êðàÿ), ñïëîøü çàïîëíåííîå çàìêíóòûìè òðàåêòîðèÿìè ýòîé ñèñòåìû, è ïóñòü íà Λ èìååòñÿãëàäêàÿ ôóíêöèÿ T ïåðèîäà ýòèõ òðàåêòîðèé.

Òîãäà äëÿ ëþáîé ôóíêöèèH̃ , C 2 áëèçêîé ê ôóíêöèè H , ñèñòåìà ñ ãàìèëüòîíèàíîì H̃ èìååò ïîìåíüøåé ìåðå îäíó çàìêíóòóþ òðàåêòîðèþ íà ïîâåðõíîñòè H̃ −1 (h). Áîëåå òîãî, ÷èñëî òàêèõ òðàåêòîðèé íå ìåíüøå, ÷åì ìèíèìàëüíîå ÷èñëîêðèòè÷åñêèõ òî÷åê ãëàäêîé ôóíêöèè íà ôàêòîð-ìíîãîîáðàçèè B = Λ/S 1 .Ñ ó÷¼òîì êðàòíîñòåé ÷èñëî òàêèõ òðàåêòîðèé íå ìåíüøå ìèíèìàëüíîãî÷èñëà êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ìîðñîâñêîé ôóíêöèè íà B .Òåîðåìà 1 îáîáùàåò ðåçóëüòàòû ðàáîò Ì. Áîòòêîëà [14] è Ï. Ë. Ãèíçáóðãà [4].  ðàáîòå Áîòòêîëà [14] íà Λ íàêëàäûâàåòñÿ áîëåå ñèëüíîå óñëîâèåíåâûðîæäåííîñòè, à òàêæå ïðåäïîëàãàþòñÿ îãðàíè÷åíèÿ íà ñèìïëåêòè÷åñêóþ ñòðóêòóðó (åå òî÷íîñòü) ëèáî íà òîïîëîãèþ ìíîãîîáðàçèÿ B (òðèâèàëüíîñòü ãðóïïû åãî îäíîìåðíûõ ãîìîëîãèé).

Îäíàêî ïîäõîä Áîòòêîëàî÷åíü áëèçîê ê ïîäõîäó, ïðåäëàãàåìîìó â äàííîé äèññåðòàöèè.  ðàáîòåÃèíçáóðãà [4] ðàññìàòðèâàåòñÿ ñèòóàöèÿ, êîãäà âñå òðàåêòîðèè íåâîçìóù¼ííîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû íà èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè çàìêíóòû, èäîêàçûâàåòñÿ áîëåå ñëàáàÿ îöåíêà äëÿ ÷èñëà çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû. À èìåííî, îöåíêà Ãèíçáóðãà ôîðìóëèðóåòñÿ â òåðìèíàõêðèòè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé ãëàäêèõ ôóíêöèé ñïåöèàëüíîãî âèäà íà âñ¼ìΛ, êîòîðûå âêëþ÷àþò â ñåáÿ ôóíêöèè, ÿâëÿþùèåñÿ ïîäúåìîì ãëàäêèõôóíêöèé íà B . Êðîìå òîãî, Ãèíçáóðã ðàññìàòðèâàë ëèøü ñëó÷àé, êîãäà5ïîäìíîãîîáðàçèå Λ ëîêàëüíî-òðèâèàëüíî ðàññëîåíî íà çàìêíóòûå òðàåêòîðèè íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû, à ðåçóëüòàòû äàííîé äèññåðòàöèè ïðèìåíèìûòàêæå â ñëó÷àå ðàññëîåíèé áîëåå îáùåãî âèäà, à èìåííî, äëÿ ìíîãîìåðíûõðàññëîåíèé Çåéôåðòà.

Òàêèå ðàññëîåíèÿ âîçíèêàþò, íàïðèìåð, ïðè èçó÷åíèè çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé âáëèçè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ íåâîçìóù¼ííîéçàäà÷è (ñì. ðàáîòû À. Âåéíñòåéíà [34, 35, 36] è Þ. Ìîçåðà [25]). äåéñòâèòåëüíîñòè, òåîðåìà 1 áûëà ïîëó÷åíà â ðàáîòå [37] Âåéíñòåéíà.Îäíàêî ïðåäëàãàåìîå â äèññåðòàöèè äîêàçàòåëüñòâî áîëåå ïðîñòîå, ãåîìåòðè÷åñêîå è êîíñòðóêòèâíîå. Ðàçâèâàÿ èäåè À. Ïóàíêàðå [28], ìû îïèðàåìñÿíà êëàññè÷åñêóþ òåîðåìó î íåÿâíîé ôóíêöèè.  ÷àñòíîñòè, ìû íå ðàññìàòðèâàåì áåñêîíå÷íîìåðíûå ïðîñòðàíñòâà ïåòåëü, èñïîëüçîâàâøèåñÿ â ðàáîòå[37].Òåîðåìó 1 ìîæíî ðàññìàòðèâàòü è êàê ÷àñòè÷íî ïîäòâåðæäàþùóþ èçâåñòíóþ ãèïîòåçó Â. È.

Àðíîëüäà î òîì, ÷òî ãåîìåòðè÷åñêàÿ òåîðåìà Ïóàíêàðå [28, 1, 7] äîïóñêàåò îáîáùåíèå íà ñëó÷àé ïðîèçâîëüíûõ ñèìïëåêòè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé è ïðîèçâîëüíûõ (íå îáÿçàòåëüíî ìàëûõ) âîçìóùåíèé.  ãåîìåòðè÷åñêîé òåîðåìå Ïóàíêàðå èçó÷àåòñÿ ñîõðàíÿþùåå ïëîùàäèîòîáðàæåíèå ïëîñêîãî êðóãîâîãî êîëüöà íà ñåáÿ, ãîìîòîïíîå òîæäåñòâåííîìó è ïîâîðà÷èâàþùåå ãðàíè÷íûå îêðóæíîñòè êîëüöà â ðàçíûå ñòîðîíû. Òåîðåìà Ïóàíêàðå óòâåðæäàåò, ÷òî ëþáîå òàêîå îòîáðàæåíèå èìååòïî ìåíüøåé ìåðå äâå íåïîäâèæíûå òî÷êè. Ýòà òåîðåìà áûëà äîêàçàíà Ïóàíêàðå êàê ðàç â ñèòóàöèè, ðàññìàòðèâàåìîé â äàííîé äèññåðòàöèè: êîãäàîòîáðàæåíèå ïîëó÷åíî ìàëûì âîçìóùåíèåì îòîáðàæåíèÿ, èìåþùåãî öåëóþîêðóæíîñòü íåïîäâèæíûõ òî÷åê. Äîêàçàòåëüñòâî áàçèðîâàëîñü íà èäåå îñîâïàäåíèè íåïîäâèæíûõ òî÷åê îòîáðàæåíèÿ ñ êðèòè÷åñêèìè òî÷êàìè åãîïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè, êîòîðàÿ ëåæèò è â îñíîâå èññëåäîâàíèé, ïðîâåä¼ííûõ â äàííîé äèññåðòàöèè.

(Ëèøü çàòåì ãåîìåòðè÷åñêàÿ òåîðåìà Ïóàíêàðåâ ïîëíîé ôîðìóëèðîâêå, ò.å. áåç òðåáîâàíèÿ áëèçîñòè ê èíòåãðèðóåìîìóîòîáðàæåíèþ, áûëà äîêàçàíà Áèðêãîôîì, îäíàêî ýòî äîêàçàòåëüñòâî áûëîíåïðîñòûì è èñïîëüçîâàëî ñîâñåì äðóãèå èäåè.)Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïîëó÷åííûé â äèññåðòàöèè ðåçóëüòàò íå ïðåòåíäóåò íà ïîëíîå îáîáùåíèå ãåîìåòðè÷åñêîé òåîðåìû Ïóàíêàðå íà ñëó÷àéïðîèçâîëüíûõ âîçìóùåíèé.

Îáîáùåíèå ýòîé òåîðåìû äîêàçàíî çäåñü ëèøüäëÿ ìàëûõ âîçìóùåíèé. Âîçìîæíî, íàø ðåçóëüòàò äîïóñêàåò óñèëåíèå, åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ òåõíèêîé ðàáîò [3, 4, 1517, 23, 24, 27, 3133, 37, 38].Ðåçóëüòàòîì Ÿ1.2 ÿâëÿåòñÿ ìåòîä óñðåäíåíèÿ íà ïîäìíîãîîáðàçèè. Èçó÷àåòñÿ âîïðîñ î òîì, ãäå èìåííî â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå ðàñïîëîæåíû ôàçîâûå òðàåêòîðèè âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû. Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ çàâèñèò îòêîíêðåòíîãî âîçìóùåíèÿ, è â ñëó÷àå âîçìóùåíèÿ îáùåãî ïîëîæåíèÿ îòâåòäà¼òñÿ â òåðìèíàõ óñðåäíåíèÿ ýòîãî âîçìóùåíèÿ ïî çàìêíóòûì òðàåêòîðè6ÿì èñõîäíîé ñèñòåìû.

 ÷àñòíîñòè, äîêàçàíà ñëåäóþùàÿÒåîðåìà 2 (ìåòîä óñðåäíåíèÿ íà ïîäìíîãîîáðàçèè). Ïóñòü, â óñëîâèÿõòåîðåìû 1, ïîäìíîãîîáðàçèå Λ íåâûðîæäåíî, íî íå îáÿçàòåëüíî êîìïàêòíî. Ïóñòü âîçìóù¼ííûé ãàìèëüòîíèàí ãëàäêî çàâèñèò îò ìàëîãî ïàðàìåòðà ε, ò.å. èìååò âèä H̃ = H + εH1 + o(ε). Ðàññìîòðèì íà ïîäìíîãîîáðàçèè Λ ãëàäêóþ ôóíêöèþH̄(m) =Z T (m)0H(γ(m, t)) dt,m ∈ Λ, óñðåäíåíèå âîçìóùåíèÿ H = H1 |Λ ïî çàìêíóòûì òðàåêòîðèÿì γ =γ(m, t) ⊂ Λ íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû, 0 ≤ t ≤ T (m). Ïóñòü òðàåêòîðèÿγ0 ⊂ Λ ÿâëÿåòñÿ áîòòîâñêèì êðèòè÷åñêèì ïîäìíîãîîáðàçèåì ôóíêöèèH̄.