Диссертация (Брэгговская дифракция света на ультразвуке в средах с сильной оптической и акустической анизотропией), страница 9

При этом длядальнейшегорассмотренияпредставляетинтерестолькоодноизэтихуравнений,соответствующее дифракционному порядку с номером p*. Из формы соотношения (1.24)следует, что данное уравнение имеет более простой вид, чем уравнения для остальных значенийp. Для дальнейшего упрощения данного уравнения, как и в рассмотренном случае, применимrусловие ω p2 / c 2 ≈ ω 02 / c 2 = (2π / λ ) 2 . Также введем обозначение m ||p* для орта волнового вектораrrrk p|| * , при этом выполняется соотношение k p|| * = (2π / λ ) n ||p* m||p* . Проведя все описанныепреобразования, получим следующее уравнение связанных мод:rrr rrrrrn||p* [e p|| * × [m||p* × e p|| * ]∇C ||p* π  e p|| *∆εˆ e ⊥ ⊥e p|| *∆εˆ e p|| *−1r ⊥|| rr r=C p*−1 exp(−iη p*−1r ) +C ||p*−1 exp(−iη ||p*−1r ) −⊥||2λcos β p*nn p*−1 cos β p*−1(1.25)r ||r⊥r ||r ||e ∆εˆ ee p*∆εˆ e p*+1r rr r− p*C p⊥*+1 exp(iη p|| ⊥* r ) −C ||p* exp(iη ||p*r )  .n⊥n||p*+1 cos β p*+1Данное уравнение может быть получено для любого номера порядка p*.

Поэтому, неограничивая общности рассмотрения, обозначение p* можно заменить в нем на p.Как было отмечено выше, для волны, поляризованной в плоскости взаимодействия,направления луча и волнового вектора, в общем случае, могут не совпадать. Поэтому удобно− 32 −rввести обозначение s p|| для единичного вектора, направленного вдоль луча данной волны.Можно показать, что справедливо выражениеrr rr[e p|| × [m||p × e p|| ] = s p|| cos β p ,(1.26)которое следует из общих свойств бегущих электромагнитных волн [149], а именно изr rrrr rизвестных соотношений S = [ E × H ] и H = [k × E ] / ωµ 0 .

С использованием соотношения (1.26),уравнение (1.25) приводится к следующему окончательному виду:r ||r⊥rre p|| ∆εˆ e p|| −1r ⊥|| rr rr || r || 1 π  e p ∆εˆ e⊥n cos β p ( s p ⋅ ∇)C p =C p −1 exp(−iη p −1r ) +C ||p −1 exp(−iη ||p −1r ) −||⊥2λnn p −1 cos β p −1rrrre p|| ∆εˆ e ⊥ ⊥e p|| ∆εˆ e p|| +1r || ⊥ rr r −C p +1 exp(iη p r ) −C ||p exp(iη ||p r )  .n⊥n||p +1 cos β p +1||p(1.27)Уравнения (1.23) и (1.27) образуют пару уравнений связанных мод, описывающихизменение комплексных амплитуд взаимодействующих волн p-го порядка дифракции.Рассматривая форму этих выражений, можно ввести следующие обозначения для величин q,имеющих физический смысл коэффициентов связи:rrπ e ⊥ ∆εˆ e ⊥⊥q =,λ n⊥rre p|| ∆εˆ e p|| +1π||qp =,λ n||p cos β p ⋅ n||p +1 cos β p +1r⊥r ||π e ∆εˆ e pаqp =.λ n ⊥ n ||p cos β p(1.28)Величины коэффициентов связи с индексами ⊥ или || относятся к переходам с сохранениемплоскости поляризации, а с индексом "а" − к переходам с изменением плоскости поляризации.Следует отметить, что одномерное рассмотрение дифракции света на ультразвуке с учетомполяризации света приводит к тем же самым выражениям для коэффициентов связи [1, 6, 26,29-31, 126-128].

Важно, что обозначения (1.28) могут быть введены лишь в случае, если тензор∆εˆ является симметричным, и его умножение на вектор слева и справа дает одинаковыйрезультат.Окончательные уравнения связанных мод, представляющие собой уравнения (1.23) и(1.27) с обозначениями (1.28), имеют вид:Aq pA−1 ||r rr rr r q p+1 ||r rr rq⊥ ⊥(m ⊥p ⋅ ∇)C p⊥ =C p −1 exp(−iη p⊥−1r ) − C p⊥+1 exp(iη p⊥ r ) +C p −1 exp(−iη p||⊥−1r ) −C p +1 exp(iη p⊥|| r ),222(1.29)||||Arqqqrrrrr ||rrrrp−1pp( s p ⋅ ∇)C ||p =C ||p −1 exp(−iη p|| −1r ) − C ||p +1 exp(iη ||p r ) +C p⊥−1 exp(−iη p⊥−||1r ) − C p⊥+1 exp(iη ||p⊥ r ) .222()()− 33 −Видно, что двумерное уравнение связанных мод описывает изменение амплитудыименно вдоль лучевого, а не волнового вектора световой волны, как это и должно быть в методемедленно меняющихся амплитуд [87].

В связи с тем, что для волны, поляризованнойперпендикулярно плоскости взаимодействия, направления луча и волнового вектора совпадают,в первом уравнении (1.29) фигурирует орт волнового вектора. Правая часть выражений (1.29)по форме аналогична правой части соответствующего одномерного уравнения связанных мод[1, 6, 30, 31], но с тем важным отличием, что в двумерном случае направления вектороврасстройки не являются строго заданными, а определяются геометрической конфигурациейконкретной задачи.Выражения для коэффициентов связи (1.28) можно привести к форме, удобной дляпрактических расчетов. Для этого в них надо подставить равенство ∆εˆ = −εˆн ∆Bˆ εˆн , где ∆B̂ −амплитуда возмущения тензора непроницаемости Bˆ = εˆ −1 .

Кроме того, из соотношений (1.19) иrrrr22 rr(1.1) следует, что εˆн e ⊥ = −n ⊥ d ⊥ и εˆн e p|| = −n ||p cos β p ⋅ d ||p . Здесь d ⊥ и d ||p − единичные векторыполяризациивектораэлектрическойиндукциисоответствующихсветовыхволн,распространяющихся в невозмущенной среде. Следует отметить, что поскольку тензор εˆнявляется симметричным, его умножение на вектор слева и справа дает одинаковый результат.Наконец, необходимо учесть выражение ∆Bˆ = ∆Bˆ отн ⋅ 2 P / SρV 3 , где P − мощностьультразвуковой волны, S − площадь ее фронта, ρ − плотность материала, V − фазовая скоростьультразвука [156]. Окончательно получаются следующие выражения для коэффициентовакустооптической связи:πq =−λ62P r ⊥ ˆ r ⊥ n ⊥(d ∆Bотн d ),SρV 3πq =−λn ||p cos β p ⋅ n ||p +1 cos β p +12 P r || ˆ r ||(d p ∆Bотн d p +1 ),SρV 3⊥||p333(1.30)3⊥||2 P r ⊥ ˆ r || n n p cos β p(d ∆Bотн d p ).SρV 3rrКак будет показано в гл.

3, выражения вида (d∆Bˆ отн d ) определяют эффективную фотоупругуюπq =−λаpпостоянную соответствующего перехода [96].Форма выражений (1.30) удобна для практических расчетов, так как векторэлектрической индукции всегда перпендикулярен волновому вектору электромагнитной волны.Компоненты тензора ∆B̂отн также достаточно просто определяются исходя из параметровультразвуковой волны, на которой происходит дифракция света [156].− 34 −1.4.

Постановка задачи для уравнения связанных модДля решения задачи о дифракции света на ультразвуке в некоторой областипространства необходимо задать граничные условия к уравнениям связанных мод (1.15) или(1.29). Вид граничных условий существенно зависит от формы области взаимодействия. Дляпростоты рассмотрим вначале оптически изотропную среду.

В общем случае, уравнение (1.15)можно решать в любой выпуклой односвязной области пространства Σ, ограниченной кривой Г(см.рис. 1.1б). Граница области взаимодействия может быть представлена как объединениеотрезков кривых Γ = Γpвх + Γpвых + Γp0 , определяемых условиями:r r(m p nΓ U ) < 0 при U ∈ Γpвх ,r r(m p nΓ U ) > 0 при U ∈ Γpвых ,r r(m p nΓ U ) = 0 при U ∈ Γp0 ,(1.31)rгде nΓ U − внешняя нормаль к кривой Г в точке U ∈ Γ (см.рис. 1.3).

Видно, что волновой (азначит, и лучевой) вектор каждого из дифракционных порядков направлен внутрь областивзаимодействия в точках, принадлежащих кривой Γpвх и наружу − в точках, принадлежащихΓpвых . Граничные условия к уравнению связанных мод (1.15) задаются лишь на той частиграницы области взаимодействия, где энергия электромагнитных волн поступает в эту область,то есть на кривой Γpвх , и имеют следующий вид:С0 (U ) = a (U ) при U ∈ Γ0вх ,при U ∈ Γpвх , p ≠ 0.С p (U ) = 0(1.32)Данная форма граничных условий является математическим выражением тогофизического факта, что единственным источником электромагнитной энергии, поступающей вобласть взаимодействия, является падающий световой пучок (т.е. с частотой ω0 и волновымrвектором K 0 ). Внутри области взаимодействия именно этот пучок соответствует 0-му порядкудифракции.

При этом, световые пучки всех остальных дифракционных порядков, кроме 0-го,рождаются уже внутри области взаимодействия. Функция a (U) определяет профиль сеченияпадающего пучка света. Она должна удовлетворять условию нормировки, которое удобновыбрать в виде:−r r∫ a( x, z) (m n ) dΓ = 1 ,20 Γ(1.33)Γ0вхгде знак "минус" перед интегралом отражает тот факт, что энергия падающего света входитвнутрь области, а не выходит из нее. При этом размерность функции a (U), а также− 35 −rm0rnΓrnΓΓ0вхrnΓΓrm0Γ00Γ0выхΓΣrm0ΓΣΣrm000Γrm1ΓΓ1выхвх1ΓrnΓΣrnΓrnΓrnΓrm1rm101ΓΓ10ΣrnΓΣrm1ΓΓРис. 1.3. Разбиение границы области взаимодействия в соответствии с направлениями потоковэлектромагнитной энергии. Конфигурация области взаимодействия соответствует рис.

1.1а.Вверху − разбиение для 0-го порядка, внизу − для +1-го.− 36 −комплексных амплитуд C p оказывается равной м−1/2, а постоянная величина Eнорм , входящая ввыражения (1.6), (1.7) и (1.18), имеет размерность В/м1/2. Указанный выбор размерностинормировочных постоянных удобен тем, что интегралы по сечению светового пучка вида (1.33),пропорциональные энергии данного пучка, оказываются безразмерными величинами.

Длясравнения следует отметить, что в одномерном случае, то есть при рассмотрении дифракцииплоских световых волн, величины C p обычно выбираются безразмерными.В результате решения уравнения (1.15) с соответствующими граничными условиями(1.32) получается выражение для пространственного распределения комплексных амплитудC p ( x, z )взаимодействующих световых волн. Поскольку эти волны характеризуютсяразличными частотами, то интенсивность каждой из них может быть вычислена отдельно иравнаrr rS p ( x, z ) = [ E × H ] =22ε0 2Eнорм n C p ( x, z ) = nS норм C p ( x, z ) ,µ0(1.34)то есть она пропорциональна квадрату модуля величины C p с общим для всех волнrкоэффициентом пропорциональности, равным nS норм . Здесь S p − вектор потока энергиисветовой волны ( p)-го порядка дифракции, а S норм − нормировочная постоянная величина сразмерностью Вт/м.

При выводе соотношения (1.34) использовано известное соотношениемежду напряженностями электрического и магнитного полей в бегущей электромагнитнойr rrволне: H = [k × E ] / ωµ 0 .Практический интерес представляет вычисление эффективности дифракции, то естьотношения энергии светового пучка данного дифракционного порядка к энергии падающегопучка. Очевидно, что энергия каждого из световых пучков покидает область взаимодействиялишь через часть границы этой области Γpвых , где лучевой вектор направлен наружу области.Поэтому выражения для эффективности дифракции, справедливые при выполнении условиянормировки (1.33), имеют вид:Ip =∫Cp2 r r( x, z ) (m p nΓ ) dΓ .(1.35)Γ pвыхВажно отметить, что в одномерном случае эффективность дифракции обычноопределяется как отношение интенсивности плоской волны, рассеянной на ультразвуковомстолбе, к интенсивности плоской волны, падающей на данный столб.