Диссертация (Брэгговская дифракция света на ультразвуке в средах с сильной оптической и акустической анизотропией), страница 14

Приэтом, конкретный вид решения определяется величиной параметра N, описывающегогеометрическую конфигурацию задачи и равногоN=b cos θ1.l sin(θ1 − θ 0 )(2.15)В п. 2.6 будет показано, что данный параметр имеет важный физический смысл. Величинапараметра конфигурации взаимодействия N показывает, какой из факторов пространственногоограничения области взаимодействия оказывает определяющее влияние на процесс дифракции.Подставляя выражение (2.14) в (2.3), получим выражение для эффективности дифракциив зависимости от коэффициента акустооптической связи и параметра расстройки:cos θ1  A   sin 2 ( R / 2) 1I=+ cos θ 0  2   ( R / 2) 2N2sin( R / 2)  cos( R / 2) − cos( R / 2) ( R / 2) 2( R / 2)при N > 1,sin( R′ / 2)  cos( R′ / 2) − cos( R′ / 2) 22( R ′ / 2) cos θ1  A′   1 sin ( R′ / 2) I=+  22cos θ 0  2  N ( R′ / 2)( R ′ / 2)(2.16)при N < 1,где введены обозначения для безразмерных параметров A = ql / cosθ1 и A′ = qb / sin(θ1 − θ 0 ),характеризующихкоэффициентсвязи,атакжеR = η||l / cos θ1иR′ = η|| b / sin(θ1 − θ 0 ),определяющих расстройку.

В случае синхронного взаимодействия, то есть при отсутствиирасстройки, выражения (2.16) упрощаются и принимают вид2I=cos θ1  A  1   1 −cos θ 0  2   3 N при N > 1,(2.17)2cos θ1  A′   1 1 I=   − cos θ 0  2   N 3 при N < 1.Формулы (2.16) и (2.17) позволяют оценить величину эффективности дифракции при слабойакустооптической связи, когда можно пренебречь обратным переходом энергии изотклоненного светового пучка в проходящий. Поэтому эти формулы справедливы лишь в томслучае, когда определяемая по ним эффективность дифракции имеет величину, значительноменьшую единицы. При этом, как будет показано в п.

2.6, возможность использовать− 57 −w(z)а)lcos θ1N>1z0l tgθ 0 −b2 cosθ 0l tgθ1 −b2 cosθ 0l tgθ 0 +b2 cos θ 0l tgθ1 +b2 cos θ 0w(z)б)bsin(θ1 − θ 0 )0<N<1z0l tgθ 0 −b2 cosθ 0l tgθ 0 +b2 cos θ 0l tgθ1 −b2 cos θ 0l tgθ1 +b2 cos θ 0w(z)в)bsin(θ1 − θ 0 )−1 < N < 0z0−b2 cos θ 0b2 cos θ 0l tgθ 0 − l tgθ1 −−b2 cos θ 0l tgθ 0 − l tgθ1 ++b2 cos θ 0w(z)−г)lcos θ1N < −1z0−b2 cos θ 0l tgθ 0 − l tgθ1 −−b2 cosθ 0b2 cos θ 0l tgθ 0 − l tgθ1 ++Рис. 2.3.

Вид вспомогательной функции w(z).b2 cosθ 0− 58 −приближение малой эффективности дифракции очень сильно зависит от конкретнойконфигурации взаимодействия. В одних случаях такое приближение позволяет весьма точнооценить величину эффективности дифракции, достигающую 50%, а в других − приводит кзначительным ошибкам даже тогда, когда эта величина составляет всего лишь единицыпроцентов.2.4. Дифракция Брэгга в неоднородном ультразвуковом полеКак было указано в п.1.5, двумерное уравнение связанных мод позволяет рассматриватьдифракцию света на пространственно-неоднородных ультразвуковых полях.

В случаедифракции Брэгга уравнение (1.43) принимает вид∂C0∂Cq ( x, z )cos θ 0 + 0 sin θ 0 = −exp[i (η x x + η z z )] exp(iΦ( x, z ))C1 ,2∂x∂z∂C1∂Cq ( x, z )cos θ1 + 1 sin θ1 =exp[−i (η x x + η z z )] exp(−iΦ( x, z ))C0 .∂x∂z2(2.18)Граничные условия для данного уравнения сохраняют вид (2.2).Получить точное решение этой задачи в общей форме, аналогичное (2.9), в случаенеоднородности произвольного вида и при сильной акустооптической связи не удается.Следует отметить, что из литературы [105] известно использование подобного уравнения дляописания дифракции света на расходящейся ультразвуковой волне, то есть при наличиифазовой неоднородности акустического поля параболической формы.

Соответствующеерешение выражено через гипергеометрические функции и сводится к виду (2.9) приустремлении параметра неоднородности к нулю.В случае слабой акустооптической связи, то есть в приближении малой эффективностидифракции, система уравнений (2.18) принимает вид:∂C 0∂Ccos θ 0 + 0 sin θ 0 = 0,∂x∂z∂C1∂Cq ( x, z )cos θ1 + 1 sin θ1 =exp[−i (η x x + η z z )] exp(−iΦ ( x, z ))C0 .∂x∂z2(2.19)Решение уравнений связанных мод (2.19) с граничными условиями (2.2) может быть полученоописанным выше методом, и оно имеет вид:C 0 ( x, z ) = a ( z − xtgθ 0 ),C1 ( x, z ) =1 cos θ 0exp[−i (η x x + η z z )] ×2 sin(θ1 − θ 0 )h×∫ q( gxtgθ 01cos θ 0 , z − g 0 sin θ1 ) exp(iη|| g 0 ) exp(−iΦ ( g1 cos θ 0 , z − g 0 sin θ1 ))a ( z − ζ )dζ ,(2.20)− 59 −где h = x tg θ1 при θ1 < 90о и h = (x − l) tg θ1 + l tg θ0 при θ1 > 90о.Важно отметить, что модуль комплексной амплитуды C1 ( z ) характеризуется такой жеrзависимостью от вектора расстройки η , как и в рассмотренном выше случае однородногоакустического поля, вне зависимости от вида функции Ф(x,z).

Поэтому выражение (2.20), как и(2.9) или (2.13), может быть непосредственно использовано для вычисления частотногодиапазона акустооптического взаимодействия при дифракции света на неоднородныхультразвуковых полях. Важно, что в случае произвольной фазовой неоднородностиrультразвукового поля условию η = 0 не обязательно соответствует максимальнаяэффективность дифракции [123]. Это происходит потому, что в некоторых областяхпространства расстройка может компенсироваться фазовой неоднородностью.Важным частным случаем неоднородного ультразвукового поля, для которого удаетсяполучить точное решение двумерного уравнения связанных мод, является экспоненциальнозатухающая акустическая волна. Отметим, что упруго-анизотропные среды, которымиявляютсякристаллическиематериалы,чащевсегохарактеризуютсязначительнымпоглощением ультразвуковых волн.

Данное обстоятельство оказывает существенное влияние напроцесс акустооптического взаимодействия в подобных средах.Экспоненциальному затуханию ультразвука в общем случае соответствует амплитуднаянеоднородностьвидаq ( x, z ) = q0 exp(− (γ x x + γ z z ) ),гдеq0−значениекоэффициентаакустооптической связи в начале координат, а γ x и γ z − коэффициенты затухания акустическойволны по осям x и z, соответственно.

При этом считается, что фазовой неоднородностьюультразвукового поля (то есть, расходимостью пучка акустических волн) можно пренебречь, тоесть Ф(x,z) = 0. Также ограничимся рассмотрением дифракции Брэгга, поскольку именно этотрежим взаимодействия представляет наибольший практический интерес. С учетом сделанныхдопущений, двумерное уравнение связанных мод принимает вид∂C0∂Cqcos θ 0 + 0 sin θ 0 = − 0 exp[−(γ x x + γ z z )] exp[i (η x x + η z z )]C1 ,∂x∂z2q∂C1∂Ccosθ1 + 1 sin θ1 = 0 exp[−(γ x x + γ z z )] exp[−i (η x x + η z z )]C0 .∂x∂z2(2.21)В случае сильной акустооптической связи, то есть при произвольном значении q, задача (2.21),(2.2) может быть решена в квадратурах лишь при условии θ1 < 90о, и ее решение имеет вид− 60 −xtgθC0 ( x, z) = f ( z − xtgθ 0 ) −×1q0 cos θ 0exp[−(γ x x + γ z z )] ∫ exp(iη|| g 0 ) exp(γ n g1 )a ( z − ζ ) ×2 sin(θ1 − θ 0 )xtgθ 0(1 − exp(−2γ n g1 ))(1 − exp(−2γ || g 0 )) γ || 1 − exp(−2γ n g1 )  dζ ,J1 q0 exp[−γ z ( z − ζ )]γ n 1 − exp(−2γ || g 0 ) 4γ nγ ||xtgθ1qcos θ 0C1 ( x, z) = 0exp[−i(η x x + η z z )] exp[−(γ x x + γ z z )] ∫ exp(iη|| g 0 ) exp(γ || g 0 ) ×2 sin(θ1 − θ 0 )xtgθ 0(2.22)(1 − exp(−2γ n g1 ))(1 − exp(−2γ || g 0 ))  dζ ,× a( z − ζ ) J 0  q0 exp[−γ z ( z − ζ )]4γγn ||где введены обозначения γ n = γ x cos θ 0 + γ z sin θ 0 и γ || = γ x cos θ1 + γ z sin θ1 .Для упрощения задачи при слабой акустооптической связи можно использоватьприближение малой эффективности дифракции, в котором уравнения связанных мод (2.21)преобразуются к виду:∂C 0∂Ccos θ 0 + 0 sin θ 0 = 0,∂x∂zq∂C1∂C1cos θ1 +sin θ1 = 0 exp[−(γ x x + γ z z )] exp[−i (η x x + η z z )]C0 .∂x∂z2(2.23)Как и в случае однородного ультразвукового поля, приближение малой эффективностидифракции позволяет получить решение уравнений (2.23) с граничными условиями (2.2) припроизвольном значении угла θ1:C0 ( x, z ) = a ( z − xtgθ 0 ),h(2.24)q0 cos θ 0exp[−i (η x x + η z z )] exp[−(γ x x + γ z z )] ∫ exp(iη|| g 0 ) exp(γ || g 0 )a ( z − ζ )dζ ,C1 ( x, z ) =2 sin(θ1 − θ 0 )xtgθ 0где h = xtgθ1 при θ1 < 90о и h = ( x − l ) tgθ1 + l tgθ 0 при θ1 > 90о.2.5.

Метод последовательных приближений и численное решениеРассмотренные решения двумерного уравнения связанных мод являются точными идопускают относительно наглядную качественную интерпретацию и анализ, однако при этомони весьма неудобны для практических расчетов. Как видно, эти решения получены лишь привыполнении ряда дополнительных условий, налагаемых на углы дифракции, значениякоэффициента связи, форму неоднородности ультразвукового поля и т.п. Кроме того,полученные решения не выражаются через элементарные функции, а входящие в нихинтегралы не допускают аналитического вычисления. Нахождение значений комплексныхамплитуд взаимодействующих волн непосредственно из представленных выражений требуетзначительных затрат машинного времени ЭВМ и не может считаться целесообразным.