Диссертация (Брэгговская дифракция света на ультразвуке в средах с сильной оптической и акустической анизотропией), страница 13

Данноезамечание является математически строгим, что обеспечивается наличием функций единичногоскачка (Хевисайда) в выражении (2.8). Сказанное относится также и ко всем аналогичнымвыражениям для решений уравнения связанных мод, приведенным ниже в данной главе.Для практического решения акустооптической задачи необходимо подставлять во всеприведенные в данной главе выражения те значения углов θ0 и θ1, которые они принимают присинхронизме. Еще раз подчеркнем, что эти значения относятся не к волновым, а к лучевымвекторам света, то есть к направлениям распространения реальных световых пучков. Указанноеусловиеудобнопояснитьприпомощивекторнойдиаграммыакустооптическоговзаимодействия.

Принципиально важно отметить, что векторная диаграмма являетсяграфическим выражением соотношения (1.10), и она не содержит какой-либо дополнительнойинформации по сравнению с аналитическим решением дифракционной задачи. На рис. 2.2априведена для примера векторная диаграмма взаимодействия в изотропной среде; случайанизотропной среды рассматривается аналогично. Реальная волновая поверхность светапроведена штриховой линией, а сплошными линиями проведены приближенные волновыеповерхности, соответствующие уравнениям (2.1). Это − прямые, касательные к окружности(или,в анизотропнойсреде,кэллипсу) в точках, соответствующихсинхронномувзаимодействию.

На рис. 2.2б приведена часть векторной диаграммы в крупном масштабе.Видно, что при любом направлении вектора расстройки, лучевой вектор света +1-го порядкадифракции, ориентированный перпендикулярно волновой поверхности, будет сохранять своенаправление. Это происходит потому, что в приближении геометрической оптики реальнаяволновая поверхность заменяется на отрезок прямой. Как было показано в главе 1, в уравнениясвязанных мод всегда входят углы, задающие направление лучевого вектора световой волны.Поскольку в случае дифракции Брэгга в приближении геометрической оптики эти углы независят ни от величины, ни от направления вектора расстройки, в уравнения связанных мод (2.1)и во все его решения входят углы θ0 и θ1, определяемые векторной диаграммой синхронноговзаимодействия. Рассмотренная особенность уравнения связанных мод приводит к тому, чтоуравнение вида (1.15), (1.29) или (2.1) не может описывать такие фазовые эффекты, как− 52 −θ1rηrKη||rk1rKθ1rK синхрrk1rk1 синхрrk0ψθ0а)б)Рис.

2.2. Векторная диаграмма режима дифракции Брэгга.Штриховая линия − реальная волновая поверхность света, сплошные линии(касательные) − ее приближенное представление, определяемое уравнениями связанныхмод. Тонкие стрелки − волновые векторы взаимодействующих волн, жирные стрелки −лучевые векторы световых пучков.Слева (а) − синхронное взаимодействие. Справа (б) − изменение векторной диаграммыrrrпри нарушении синхронизма: k1 синхр и K синхр − волновые векторы при синхронизме, k1 иrK − при его нарушении. Направление вектора расстройки выбрано произвольно.− 53 −сканирование отклоненного пучка света при изменении расстройки или, например,расходимость светового пучка.

Для описания подобных эффектов необходимо учитыватькривизну волновой поверхности света, аппроксимируя ее не отрезком прямой, а параболой, какэто сделано в уравнении (1.14). По той же причине, уравнения (1.15) и (1.29) позволяют описатьлишь случаи взаимодействия, достаточно близкие к синхронному. Следует отметить, что чащевсего именно такие режимы взаимодействия и представляют практический интерес.Для нахождения интенсивности света во взаимодействующих световых пучках поформуле (1.34) или (1.39) необходимо знать пространственное распределение модулейкомплексных амплитуд C0,1. Из выражений (2.9) видно, что модули величин C0 и C1определяются не обеими составляющими вектора расстройки ηx и ηz по отдельности, а ихлинейной комбинацией η||.

Эта величина равна проекции вектора расстройки на направлениелуча света +1-го порядка дифракции (см. рис. 2.2б). Величина η|| не зависит от направлениявектора расстройки и равнаη|| =2π∆fsin(θ1 −ψ ) ,V(2.10)где ψ − угол между волновым вектором ультразвука и границей ультразвукового столба (уголсноса акустической энергии), ∆f − частотная расстройка ультразвука от синхронизма. Такимобразом, решение двумерного уравнения связанных мод позволяет определить энергетическиехарактеристики взаимодействующих световых волн в зависимости от частотной расстройки,которая является величиной, непосредственно измеряемой в эксперименте.

Тем самым, можнорешить задачу дифракции света на ультразвуке, не конкретизируя направление векторарасстройки.Следует отметить, что направление вектора расстройки существенно влияет на уголсканирования отклоненного светового пучка при изменении частоты ультразвуковой волны [34].Эффект сканирования является, в сущности, фазовым эффектом и принципиально обусловленкривизной волновой поверхности света. Таким образом, амплитуда отклоненного световогоrпучка определяется лишь одним параметром η||, а его фаза − обоими компонентами вектора η .Именно поэтому двумерное уравнение связанных мод, не учитывающее кривизну волновойповерхности, позволяет найти амплитуду волн дифракционных порядков, даже еслинаправление вектора расстройки не определено. Таким образом, конкретизировать данноенаправление целесообразно лишь в том случае, когда учитывается кривизна волновойповерхности света.В отличие от модулей C0,1 , аргументы этих комплексных величин зависят отнаправления вектора расстройки.

Однако, как было показано в п.1.6, они не несут полной− 54 −информации о фазе световых волн, и поэтому их вычисление не представляет интереса. Дляопределения фазовой структуры световых пучков необходимо решать уравнение вида (1.14) иконкретизировать направление вектора расстройки, исходя из вида получаемого решения. Втаком случае задача становится самосогласованной, и ее сложность значительно возрастает.При этом следует отметить, что в практической акустооптике задача нахождения энергииотклоненного светового пучка возникает значительно чаще, чем его фазы.Как было отмечено выше, уравнение связанных мод, полученное в приближениигеометрической оптики, не учитывает сканирования отклоненного пучка света при перестройкечастоты ультразвука.

Вместе с тем, представленный подход к вычислению расстройки можетприменяться лишь в том случае, когда преобладающий вклад в величину вектора расстройкивносит член, линейный по ∆f. Данное условие не выполняется, если волновой векторультразвуковой волны направлен по касательной к волновой поверхности или составляет с нейнебольшой угол. Такую конфигурацию акустооптического взаимодействия принято называть"широкополосной" [6] или "геометрией дефлектора" [1].

При этом, различие между проекциямивектора расстройки на параболу и прямую перестает быть пренебрежимо малым по сравнениюс величиной самой проекции в пределах частотной полосы дифракции. Для описания подобнойконфигурации взаимодействия необходимо учитывать кривизну волновой поверхности,переходя к параболическому приближению, и решать уравнение вида (1.14), чтобы учестьзависимость векторной расстройки от квадрата частотной расстройки ∆f.2.3. Решение задачи в приближении малой эффективности дифракцииРассмотрим решение уравнения связанных мод при слабой акустооптической связи, тоесть в приближении малой эффективности дифракции.

В этом случае учитывается лишьпереход энергии электромагнитной волны из 0-го в 1-й дифракционный порядок, но не обратно.Очевидно, что пренебречь обратным переходом энергии можно лишь в случае слабойакустооптической связи, когда амплитуда отклоненного света значительно меньше амплитудыпадающего. Подобная ситуация весьма часто встречается в практических приложенияхакустооптики. Кроме того, приближение малой эффективности дифракции позволяетзначительно упростить математические выражения для комплексных амплитуд и получитьаналитическое решение ряда задач, которые невозможно решить при произвольном значениикоэффициента связи.Для того, чтобы пренебречь обратным переходом энергии отклоненного светового пучкав проходящий, следует формально положить правую часть первого из уравнений связанных мод(2.1) равной нулю.

Второе уравнение при этом не изменяются, так что система принимает вид:− 55 −∂C 0∂Ccos θ 0 + 0 sin θ 0 = 0,∂z∂x∂C1∂Cqcos θ1 + 1 sin θ1 = exp[−i (η x x + η z z )]C 0 .∂x∂z2(2.11)Граничные условия к данной системе сохраняют вид (2.2). Оказывается, что аналитическоерешение задачи может быть получено при произвольном значении угла θ1. Применяяизложенный выше метод решения уравнения связанных мод, можно получить его решение сграничным условием в виде дельта-функции (2.6):~C0 ( x, z ) = δ ( z − z0 − x tg θ 0 ), ( z − z0 ) cosθ 0 − x sinθ 0 q cosθ 0~ ×C1 ( x, z ) =exp(− i(η x x + η z z )) exp iη||2 sin(θ1 − θ 0 )sin(θθ)−10(2.12)× σ ( z − z0 − x tg θ 0 )σ (h − ( z − z0 )),где h = x tg θ1 при θ1 < 90о и h = (x − l) tg θ1 + l tg θ0 при θ1 > 90о.

Отсюда и из выражения (2.7)получается решение задачи для произвольного вида падающего пучка:C0 ( x, z ) = a ( z − x tgθ 0 ),C1 ( x, z ) =hq cos θ 0exp[−i (η x x + η z z )] ∫ exp(iη|| g 0 )a ( z − ζ )dζ .2 sin(θ1 − θ 0 )x tgθ 0(2.13)Отметим, что в случае θ1 < 90о выражения (2.12) и (2.13) могут быть получены извыражений (2.8) и (2.9) соответственно, если разложить функции Бесселя в ряд по степенямаргумента и оставить лишь члены, пропорциональные первой степени коэффициента связи q.Однако следует подчеркнуть, что при θ1 > 90о точное решение уравнения связанных модудается получить лишь в приближении малой эффективности дифракции, но не припроизвольном значении коэффициента связи.

Необходимость рассматривать дифракцию наподобные большие углы возникает в средах с сильной упругой анизотропией, где угол θ1складывается из угла сноса ультразвуковой волны и угла Брэгга. Случай θ1 > 90о соответствуетфизической ситуации, когда пучок света +1-го порядка дифракции выходит из областивзаимодействия с той же стороны ультразвукового столба, с которой на нее падает исходныйсветовой пучок (см. далее п. 2.6). Данный режим дифракции не может быть реализован в упругоизотропной среде, так как его существование обусловлено наличием сноса энергииультразвуковой волны в сторону от направления ее фазовой скорости.Важная особенность приближения малой эффективности дифракции заключается в том,что оно позволяет найти явный вид решения дифракционной задачи в случае прямоугольногосветового пучка.

Подставляя выражение (2.4) в (2.13) и проводя несложное, но весьмагромоздкоеинтегрирование,можнополучитьследующеевыражение,определяющее− 56 −поперечный профиль сечения светового пучка +1-го порядка дифракции на выходе из областивзаимодействия:C1 ( z ) =1 q w( z ) sin (η|| w( z ) ),η|| w( z )b 2(2.14)где вспомогательная функция w(z) имеет кусочно-линейный вид, показанный на рис. 2.3.