Диссертация (Брэгговская дифракция света на ультразвуке в средах с сильной оптической и акустической анизотропией), страница 11

Вместе с тем, для упрощения задачи можно воспользоваться условиеммедленного изменения амплитуды электромагнитной волны в пространстве и перейти кприближению геометрической оптики. При этом, вместо дифференциального уравнения вчастных производных второго порядка (1.14) получается дифференциальное уравнение вчастных производных первого порядка (1.15), что значительно упрощает вычисления. Важно,что такой переход может быть осуществлен не только в случае синхронного взаимодействия, нои при наличии расстройки.Постановка задачи для одномерного и двумерного уравнения связанных модсущественно отличаются друг от друга. Если дополнительным условием для одномерногоуравнения связанных мод является набор чисел, задающих амплитуды взаимодействующихплоских волн при входе в область взаимодействия, то для решения двумерной задачинеобходимо задать пространственное распределение амплитуды по сечению падающегосветового пучка.

Это позволяет описать такие режимы дифракции, в которых энергияпадающего светового пучка может перераспределяться в пространстве, что приводит кизменению сечений пучков дифракционных порядков. При этом изменяются сечения световыхпучков дифракционных порядков, а интенсивность света в отдельных точках пространстваможет превысить интенсивность света в падающем световом пучке [97, 98, 100, 101, 120].Можно доказать, что сумма полной энергии всех пучков, излучаемых из областивзаимодействия, остается равной энергии падающего пучка при любой геометрической формеобласти взаимодействия. Эффект перераспределения энергии по сечению световых пучков приих дифракции на ультразвуке не может быть описан в рамках существующей одномернойтеории акустооптического взаимодействия.Пренебрежение членами, содержащими вторые производные, при выводе уравнениясвязанных мод, приводит к частичной потере информации о фазе световой волныдифракционного порядка.

Реальная волновая поверхность электромагнитной волны в оптическиизотропной среде имеет сферическую форму, а в анизотропной − эллиптическую. При переходеот волнового уравнения (1.2) к параболическому уравнению (1.14) реальная волноваяповерхность приближенно заменяется параболической поверхностью, соприкасающейся среальной волновой поверхностью в одной точке. Дальнейший переход к геометрической оптикеи уравнению (1.15) приводит к тому, что реальная волновая поверхность приближенно− 42 −заменяется плоскостью, касательной к сфере или эллипсоиду. Точка касания реальной иприближенной волновой поверхности определяется волновым вектором, входящим в быстроосциллирующуючастьрешения(1.6).Заменареальнойволновойповерхностинаприближенную приводит к тому, что аргумент комплексной амплитуды, удовлетворяющейуравнению связанных мод, отличается от фазы соответствующей электромагнитной волны.Ошибка в определении фазы тем больше, чем дальше приближенная волновая поверхностьотстоит от реальной.

Поэтому двумерное уравнение связанных мод позволяет правильноопределить фазу центральной (осевой) пространственной компоненты волнового пучка. Дляостальных составляющих углового спектра возникает ошибка в определении фазы,возрастающая по мере удаления от оси пучка. Поэтому, несмотря на то, что двумерноеуравнение связанных мод, в принципе, может использоваться для определения фазы световыхволн [113], оно не позволяет описать точную фазовую структуру электромагнитного поля впространстве.Таким образом, двумерное уравнение связанных мод (1.14) не позволяет описатьэффекты, существенно определяемые фазой электромагнитной волны. Такие эффекты, впринципе, могут наблюдаться и в отсутствие ультразвука, как, например, дифракция световыхпучков на собственной апертуре.

Среди акустооптических эффектов, определяемых фазойэлектромагнитной волны, необходимо особо отметить эффект сканирования дифракционныхпорядков при перестройке частоты ультразвука. Эти и подобные эффекты не могут бытьописаны в приближении геометрической оптики, поскольку для их описания принципиальнотребуется учитывать кривизну волновой поверхности. Однако, как будет показано далее,приближение геометрической оптики позволяет правильно описать амплитудные, то естьэнергетические характеристики акустооптического взаимодействия, в том числе в условияхфазовой расстройки. Иными словами, оказывается возможным определить амплитудывзаимодействующих электромагнитных волн, несмотря на частичную потерю информации обих фазах.Очевидно, что параболическая поверхность является существенно более точнымприближением для описания реальной волновой поверхности, чем плоскость.

Таким образом,параболическое уравнение позволяет найти фазу электромагнитной волны значительно точнее,чем уравнение, записанное в приближении геометрической оптики, и позволяет описыватьфазовые эффекты. Поэтому параболическое приближение позволяет описать слабо сходящиесяили расходящиеся пучки (например, поле в фокусе линзы [158]), а приближениегеометрической оптики можно использовать лишь для хорошо коллимированных световыхпучков.

В данном случае, под хорошо коллимированным имеется в виду такой световой пучок,структура поперечного сечения которого не изменяется при его распространении на расстояние,− 43 −определяемое размерами области взаимодействия. Если фазовая структура светового пучкаоднородна, то характерный размер области взаимодействия в направлении светового лучадолжен удовлетворять условиюl хар <<2nbхарλ,(1.44)где bхар − характерная апертура пучка.

Следует отметить, что подобные пучки, важнымпримером которых является излучение лазера, достаточно часто применяются в практическойакустооптике. Важно подчеркнуть, что излучение, описываемое двумерным уравнениемсвязанных мод, должно удовлетворять требованиям геометрической оптики лишь в пределахобласти акустооптического взаимодействия. Дальнейшее распространение световых пучковдифракционных порядков после их выхода из области взаимодействия может описыватьсялюбым известным в теории волн способом, например параболическим уравнением [86, 87] илиметодами фурье-оптики [8]. В частности, если дифракционные порядки наблюдаются впределах зоны применимости геометрической оптики, то можно использовать те же уравнениясвязанных мод, что и в области взаимодействия, положив в нихкоэффициентыакустооптической связи равными нулю.В некоторых случаях электромагнитное поле в среде не может быть описано даже врамках параболического приближения.

В первую очередь, речь идет о полях со значительнойкривизной волновых поверхностей, таких как поле вблизи точечного источника света. Крометого, в некоторых случаях кривизна волновой поверхности, наоборот, может быть близка кнулю, как это бывает, например, в некоторых срезах оптически двухосных кристаллов.Перечисленные виды электромагнитных полей встречаются в акустооптике крайне редко, иневозможность их описания не является существенным ограничением разработанного метода.Еще одна важная особенность двумерного описания дифракции света на ультразвукезаключается в том, что при выводе двумерного уравнения связанных мод (1.15) или (1.29)rсохраняется свобода выбора направлений векторов расстроек η p . В этом заключаетсяпринципиальное отличие от одномерного случая, когда все векторы расстроек должны бытьнаправлены перпендикулярно границе области акустооптического взаимодействия [30, 34].

Вслучае бесконечного ультразвукового столба такая граница направлена вдоль оси z (см.рис 1.1а).При этом условие, определяющее направление векторов расстроек, следует из однородностизадачи вдоль оси z. В двумерном случае условие пространственной однородности задачи неналагается, так как область взаимодействия ограничена по двум координатам и может иметьпроизвольную форму. Поэтому направления векторов расстроек в уравнениях связанных модопределяются как геометрической конфигурацией области взаимодействия в целом, так ифазовой структурой взаимодействующих световых пучков. Их строгий расчет в общем случае− 44 −представляет собой сложную задачу.

Однако, как будет показано ниже, в важном частномслучае дифракции Брэгга решение проблемы нахождения векторов расстроек можнозначительно упростить. Как уже было отмечено, при переходе от уравнения (1.14) к (1.15)происходит потеря информации о фазе света, поэтому уравнение (1.15) в любом случае непозволяет правильно определить фазовую структуру светового поля. Вместе с тем, прирешении акустооптических задач чаще всего интересуются не столько фазой, а сколькоамплитудой световых пучков. Тогда условие, накладываемое на векторы расстроек,оказывается менее строгим, и удается правильно вычислить эффективность дифракции, вообщене конкретизируя направления этих векторов.Двумерное описание акустооптического взаимодействия может быть применено также ипри исследовании дифракции света на пространственно-неоднородных ультразвуковых полях.Такие поля весьма часто встречаются в кристаллических средах с сильной упругойанизотропией.

Дифракция света на неоднородном ультразвуковом поле может сопровождатьсярядом интересных эффектов [103, 105, 111, 117-119, 121-127]. Некоторые из таких эффектовмогут быть описаны и в рамках одномерной теории дифракции света на ультразвуке, однакодвумерное описание дифракции в данном случае также позволяет решить более широкий кругакустооптических задач.− 45 −Основные результаты главы 11) Рассмотрены возможные подходы к решению задачи дифракции света на ультразвукев средах, обладающих сильной анизотропией упругих свойств. Обоснована необходимостьразработки нового теоретического описания процесса акустооптического взаимодействия,позволяющего корректно описывать этот процесс при произвольных, в том числе больших,значениях углов дифракции.