Диссертация (Брэгговская дифракция света на ультразвуке в средах с сильной оптической и акустической анизотропией), страница 10

В двумерном случае такоеопределение ввести нельзя, поскольку двумерное описание дифракции света на ультразвукепринципиально требует рассмотрения ограниченных световых пучков, а не плоских волн. Какбыло отмечено выше, энергия падающего светового пучка может перераспределяться в− 37 −пространстве, что приводит к изменению сечений пучков дифракционных порядков. При этомсумма полной энергии всех пучков, излучаемых из области взаимодействия, остается равнойэнергии падающего пучка при любой геометрической форме области взаимодействия, то есть∑Ip= 1 . Данное соотношение является выражением закона сохранения энергии и следует изpсвойств уравнения (1.15) вне зависимости от формы области взаимодействия и направленийвекторов расстроек. Для его доказательства рассмотрим изменение энергии каждого изсветовых пучков при взаимодействии, даваемое выражением видаr r∫ C (m n ) dΓ2ppΓ, иΓпреобразуем его с учетом граничных условий (1.31) и выражения (1.35):∫ Cp2(mr nr )dΓ = ∫ C (mr nr )dΓ + ∫ C (mr nr )dΓ + ∫ C (mr nr )dΓ = II2p Γ2pΓpΓ pвхΓp2p ΓpΓ pвыхpΓΓ p0,p ≠ 0,(1.36)0 − 1, p = 0.pС другой стороны, переходя в систему координат, изображенную на рис.

1.1б, можно записать:r r∫ C (m n )dΓ = ∫ C2pΓpΓpr rC *p (m p nΓ )dΓ = ∫ C p C *p (n x cos θ p + n x sin θ p )dΓ =ΓΓ∂∂= ∫ − C p C sin θ p dx + C p C cos θ p dz = ∫∫  (C p C *p cos θ p ) + (C p C *p sin θ p ) dxdz ,∂zΓΣ  ∂x*p(1.37)*pгде в последнем тождественном преобразовании использована формула Грина. Раскрываяпроизводные и учитывая, что все амплитуды C p удовлетворяют уравнению связанных мод(1.15), получим с учетом (1.16):r rq∫ C (m n )dΓ = ∫∫ 2 (C2pΓpΓpr rr rC *p −1 exp(iη p −1r ) + C *p C p −1 exp(−iη p −1r ) dxdz −)Σr rr rq− ∫∫ C p C *p +1 exp(−iη p r ) + C *p C p +1 exp(iη p r ) dxdz.2Σ()∞Отсюда можно видеть, что справедливо равенство(1.38)r r∑ ∫ C (m n )dΓ = 0 , что и дает с учетом2ppΓp = −∞ Γсоотношения (1.36) искомое выражение∑Ip=1.pСледует отметить, что при реальном использовании метода связанных мод необходимоограничиваться рассмотрением конечного числа порядков дифракции, то есть иметь дело ссистемой из конечного числа уравнений вида (1.15) или (1.16) при p min ≤ p ≤ p max .

В этомслучае следует положить, что все комплексные амплитуды C p вне этого интервала значений рравны нулю. Тогда приведенное выше доказательство закона сохранения энергии для решенийуравнения связанных мод остается в силе.− 38 −Как было отмечено, приведенное рассмотрение относилось к оптически изотропнойсреде взаимодействия.

В случае анизотропной среды граничные условия к уравнениюсвязанных мод (1.29) ставятся аналогично условиям (1.32). Отличие заключается в том, что онизадаются уже для двух наборов комплексных амплитуд волн с различными поляризациями ( C p⊥и C ||p ). Принципиально важно, что разделение границы области взаимодействия, аналогичное(1.31), производится в данном случае в соответствии с направлениями лучевых, а не волновых,векторов световых пучков дифракционных порядков.Интенсивностисветавкаждомизвзаимодействующихпучковвоптическианизотропной среде даются выражением, аналогичным (1.34) для изотропной среды:rr rS p⊥ ( x, z ) = [ E × H ] =22ε0 2Eнорм C p⊥ ( x, z ) = S норм C p⊥ ( x, z ) ,µ0rr rS ||p ( x, z ) = [ E × H ] =22ε0 2Eнорм C ||p ( x, z ) = S норм C ||p ( x, z ) .µ0(1.39)Видно, что коэффициент пропорциональности S норм одинаков для волн с различнымиполяризациями, что удобно для практических расчетов.

Именно этим обстоятельствомобъясняется необходимость нормировки комплексных амплитуд на квадратные корни изпоказателей преломления в выражении (1.18). В работах [1, 6, 30, 31, 126-128] такая нормировкане сделана, в результате чего как уравнения связанных мод, так и выражения длякоэффициентов связи и интенсивностей света принимают менее симметричный и, тем самым,менее удобный вид.Решение уравнения связанных мод в оптически анизотропной среде, так же как и воптическиизотропной,подчиняетсязаконусохраненияэнергии.Соответствующеедоказательство аналогично представленному выше для изотропного случая, и здесь неприводится.Рассмотренная постановка задачи для уравнения связанных мод относилась к наиболееобщемуслучаюпроизвольнойгеометрическойформыобластиакустооптическоговзаимодействия.

Необходимо отдельно остановиться на простейшем, но практически важномчастном случае области взаимодействия, представляющей собой бесконечный ультразвуковойстолб. Отметим, что именно в такой области обычно решают одномерное уравнение связанныхмод. В этом случае область взаимодействия задается соотношением 0 < x < l, где l − ширинастолба, и граничные условия (1.32) принимают вид:С0 (0, z ) = a ( z ),C p (0, z ) = 0 при p ≠ 0, θ p < 90°,C p (l , z ) = 0 при p ≠ 0, θ p > 90°,(1.40)− 39 −гдефункцияa (z)удовлетворяетусловиюнормировки∫∞−∞2a( z ) cos θ 0 dz = 1.Тогдаэффективность дифракции в p-й порядок оказывается равной∞2I p = ∫ C p (l , z ) cosθ p dz при θ p < 90°,−∞∞2I p = ∫ C p (0, z ) cosθ p dz при θ p > 90°.(1.41)−∞Кроме бесконечного ультразвукового столба, практический интерес представляетрассмотрение ультразвукового столба ограниченной длины.

В этом случае областьвзаимодействия имеет форму трапеции с основаниями, параллельными оси z. Задача дифракциисвета на ультразвуке в области подобного вида может быть решена лишь при помощидвумерной теории акустооптического взаимодействия. Влияние длины ультразвукового столбана процесс взаимодействия обсуждается в главе 4.1.5. Уравнение связанных мод в неоднородном акустическом полеДвумерное описание акустооптического взаимодействия может быть применено также ипри исследовании дифракции света на пространственно-неоднородных ультразвуковых полях[97, 117-120].

Приведенный выше вывод уравнения связанных мод (1.15) остается практическинеизменным, если вместо выражения (1.5) записать диэлектрическую проницаемость среды ввиде:ε = n2 +q ( x, z )λ nπrrsin( Kr − Ωt − Φ ( x, z )) ,(1.42)где пространственное распределение амплитуд q(x,z) и фаз Ф(x,z) ультразвукового поляявляется заранее заданным. Уравнение связанных мод, аналогичное уравнению (1.15), в этомслучае принимает вид:r rr rr rq ( x, z )((m p ⋅ ∇)C p =C p−1 exp(−iη p−1r ) exp(−iΦ ( x, z )) − C p+1 exp(iη p r ) exp(iΦ( x, z )) ) .2(1.43)Практически важным примером амплитудной неоднородности ультразвукового поляявляется экспоненциальное затухание акустической волны.

Дополнительный учет фазовойнеоднородности позволяет рассматривать, например, расходящиеся ультразвуковые пучки,которые довольно часто встречаются в кристаллических средах [157]. Все замечания,представленные выше в ходе вывода двумерного уравнения связанных мод, остаютсясправедливыми также и при обобщении этого уравнения на неоднородные ультразвуковые поля.Постановка граничных условий и выражения для эффективности дифракции также неотличаются от рассмотренных выше.− 40 −Важно, что двумерное уравнение связанных мод в неоднородном ультразвуковом полеможет быть получено не только для оптически изотропной, но и оптически анизотропной среды.Соответствующие выражения, заменяющие собой (1.17) и (1.29), по форме аналогичнывыражениям (1.42) и (1.43), и поэтому здесь не приводятся.1.6.

Особенности двумерного описания дифракции по сравнению с одномернымРазработанный и представленный в настоящей работе метод описания дифракции светана ультразвуке, основанный на двумерном уравнении связанных мод, обладает рядомпринципиальных отличий от известного метода одномерного уравнения связанных мод. Какодномерное, так и двумерное уравнения связанных мод являются укороченными уравнениями,полученнымиприпомощиметодамедленноменяющихсяамплитуд.Поэтому,сматематической точки зрения, вывод двумерного уравнения связанных мод осуществляетсяаналогично выводу одномерного уравнения.

Тем не менее, по своему физическому смыслудвумерное описание дифракции света на ультразвуке существенно отличается от одномерногометода. Основной принцип двумерного описания − это переход от рассмотрения плоскихсветовых волн к рассмотрению волновых пучков. Иначе говоря, элементарным объектомрассмотрения становится не плоская волна, а волновой пучок.

В отличие от одномерногоописания, двумерное позволяет корректно решить дифракционную задачу при любыхзначениях углов падения и дифракции света. Кроме того, пространственная область, гдепроисходит акустооптическое взаимодействие, может быть ограничена в пространстве по двумкоординатам, а не только по одной, и иметь при этом произвольную форму. Таким образом,двумерное уравнение связанных мод позволяет описать ряд эффектов и режимов дифракциисвета на ультразвуке, которые не могут быть корректно описаны одномерным уравнением.Двумерное уравнение связанных мод может быть получено как для оптически изотропной, таки для оптически анизотропной среды, в том числе с учетом поляризационных эффектов,сопровождающих дифракцию света на ультразвуке.В связи с тем, что двумерное уравнение связанных мод является укороченнымуравнением метода медленно меняющихся амплитуд, оно описывает изменение комплексныхамплитуд электромагнитных волн вдоль направления лучевого вектора света.

Углы падения идифракции, входящие в уравнение, относятся не к волновым векторам взаимодействующихволн, а к их лучевым векторам, то есть к направлениям распространения реальных световыхпучков.Поэтому,вчастности,определяющим размером областиакустооптическоговзаимодействия является ее размер именно вдоль светового луча, а не вдоль волновой нормаликакого-либо дифракционного порядка, если только эти направления не совпадают.− 41 −Вдвумерномслучае,вотличиеотодномерного,комплекснаяамплитудаэлектромагнитной волны является функцией не одной координаты, а двух. Известноеодномерное уравнение связанных мод является обыкновенным дифференциальным уравнениемпервого порядка, в то время как двумерное описание приводит к дифференциальномууравнению в частных производных второго порядка, что делает математическую постановкузадачи более сложной.