Отзыв оппонента 2 (Асимптотики в задачах о линейных волнах на мелкой воде, порожденных локализованными источниками)

Отзыв на диссертацию Ложникова Дмитрия Андреевича " АСИМПТОТИКИ В ЗАДАЧАХ О ЛИНЕЙНЫХ ВОЛНАХ НА МЕЛКОЙ ВОДЕ, ПОРОЖДЕННЫХ ЛОКАЛИЗОВАННЫМИ ИСТО'ЧНИКАМИ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, Специальность 01.01.03 - Математическая физика В работе исследуется асимптотическое решение задачи Коши для двумерного волнового уравнения с переменной скоростью и линеаризоваппой системы уравнений мелкой воды в бассейне с переменным дном с учетом имеющихся фокальных точек и пространственно-временных каустик.

Построено и исследовано асимптотическое решение в окрестности фокальных точек, исследована склейка асимптотического решения в окрестности фокальных точек с асимптотическим решением в окрестности регулярных точек фронта. Построено и исследовано асимптотическое решение при малых временах. Рассмотрено распространение длинных волн над вытянутыми подводн ыми банками и хребтами, показано, что над подводными хребтами могут образовываться захваченные волны и пространственно-временные каустики. Для гиперболических систем с постоянными коэффициентами асимптотикам решений посвящена статья В.П. Маслова и М.В. Федорюка.

На гиперболи |еские системы с переменными коэффициентами результаты этой статьи были обобщены С.Ю. Доброхотовым, П.Н. Живандровым, В.П. Масловым и А.И. Шефареви 1см. Асимптотические формулы, полученные в этих работах, были не очень эффективными, как с теоретической, так и с прикладной точек зрения. Подход к получению максимально эффективных формул для таких задач и основанный на обобщении канонического оператора Маслова был предложен в цикле работ С.Ю.

Доброхотова, А.И, Шафаревича, Б. Тироцци, С.Я. Сексрж-Зеньковича. Тем не менее, реализация этого подхода в конкретных ситуациях оставляет много возможностей и вопросов о способе выбора асимптотического представления в окрестности фокальных точек (не гладких точек фронтов), точек самопсрссечсния фронтов, представления решения при малых временах, ситуаций, когда фронты имеют достаточно сложный вид и т,д. Такие вопросы возникают при рассмотрении как общих гиперболических систем с переменными коэффициентами, так и при изучении конкретных гиперболических систем, связанных с приложениями.

Для двумерного волнового уравнения с переменной скоростью. а также для линсаризовапной системы уравнений мелкой воды рассмотренные задачи возникают, в частности, нри описании распространения длинных волн в океане (нанример, волн цунами). Однако, несмотря на большое число публикаций, здесь попрежнему остается много открытых вопросов, связанных, в том числе, с аналитическим описанием влияния донных неоднородностей на распространение волн и визуализацией соответствующих аналитических формул. Более тридцати лет назад в монографиях В.П.

Маслова была высказана идея, что сочетание асимптотических методов с компьютерным моделированием должно позволить сильно продвинуться в решении задач математической физики, особенно задач, связанных с приложениями. Эта возможность появилась в последние десятилетия благодаря успехам вычислительной техники и бурному развитию программирования в области визуализации результатов математического моделирования. По-существу в диссертации Д,А. Ложникова соображение В.П. Маслова реализовано в задачах о распространении длинных волн (порожденных локализованными источниками) в бассейнах с неровным дном, включая волны над подводными банками и хребтами.

Все результаты диссертации являются новыми. Основные результаты дисссрта- ции: 1) Во второй главы диссертации построен алгоритм нахождения фокальных точек на фронте, построение асимптотичсского решения в окрестности точек самонересечения фронта, построение решения в окрестности двух и более участков фронта, которые проходят близко друг от друга, а также сделано сравнение асимптотического решения в окрестности регулярных точек фронта с решением., полученным при численном решении конечно-разностпых аналогов уравнений мелкой воды.

Показано, что, в частности, в окрестности точки самопересечения фронта, сечения асимптотического и численного решения практически совпадают. 2) В третьей главе построено и исследовано асимптотическое решение в окрестности фокальных точек: исследована склейка асимптотического решения в окрестности фокальных точек с асимптотическим решением в окрестности регулярных точек фронта, исследовано качество склейки в зависимости от выбора локальной системы координат в окрестности фокальной точки и в зависимости от степени разложения по степеням малого параметра асимнтотического решения в окрестности фокальной точки, 3) Б четвертой главе построено и исследовано асимптотическое решение при ма- лых временах.

4) Б пятой главе подробно рассмотрено распространение длинных волн над вытянутыми подводными банками и хребтами, показано, что над подводными хребтами могут образовываться захваченные волны и пространственно-временные каустики. Все алгоритмы запрограммированы на языке С!'С+ — и в диссертации снабжены подробными иллюстрациями и примерами. Методика исследования основана на использовании квазиклассических асимптотик в виде модифицированного канонического оператора Маслова для построения асимптотических решений в задачах с локализованными начальными условиями и их последующей компьютерной визуализацией, Обычно квазиклассические асимптотики (и лучевые разложения) используются для построения осциллирующих решений.

При этом, канонический оператор Маслова позволяет учитывать явления, связанные с наличием фокальных точек и каустик. Для решения задач с локализованными начальными условиями прямое применение этих методов не годится, .поскольку решение определяется пе осциллирующими, а быстроубывающими функциями, локализованными в окрестности фронтов. Поэтому здесь используется подход, .предложенный в работах С.Ю. Доброхотова, А.И. Шафаревича, Б. Тирроци, С.Я. Секерж-Зеньковича, Т.Я.

Тудоровского, позволяющий в результате интегрирования по дополнительному параметру, перейти от быстро убывающих решений к быстро осциллирующим, для построения которых можно использовать канонический оператор Маслова, а затем упростить результаты, используя соображения типа погранслоя, и сделать реализацию полученных формул в виде компьютерных программ. Работа носит теорстический и практический характер. Составлен алгоритм численной реализации асимптотических формул. Были исследованы решения, описывающие, в частности, поведение волн над подводными хребтами.

Обнаружено явление образования цугов волн, порождаемых локализованными источниками в бсздисперсионных средах. В дальнейшем предполагается адаптировать полученные в данной работе алгоритмы для расчетов цунами на реальном дне. Полученные в ней результаты могут быть использованы при математическом моделировании процессов, описываемых гиперболическими системами с переменными коэффициентами. Основное содержание диссертации опубликовано в открытой печати, Автореферат правильно отражает содержание диссертации. Приятно отметить читаемость диссертации. Формулировки лаконичны и точны.

Предложенные конструкции, при всей их содержательности и новизне. продуманно просты. Несомненно, диссертация удовлетворяет всем требованиям Высшей аттестационной комиссии, предъявляемым к диссертациям на соискание ученой степени кандидата наук, а ее автор Ложников Дмитрий Андреевич заслуживает присуждения ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01,03 — математическая физика. 12 мая, 2014 Профессор, д, ф.-м. н. Е.

В. Радкевич : ф' ю~:Б~'~'.-44; ~~~~~~~ф,к; и~ф ~ к3~~ ;~ф~.'фф~~ ~~~ ~~) " 'Ям" ~,'.4ф~ ФК5"ф~'. р Ф".к ~ 'у"" ' -г. з - У~~~~„,Ф,.щ~ ~'г~г.„..~ .