Новые дифференциальные уравнения в канонических задачах дифракции

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова,физический факультетНа правах рукописиШанин Андрей ВладимировичНОВЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯВ КАНОНИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ ДИФРАКЦИИСпециальность 01.01.03 — математическая физикаАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степенидоктора физико-математических наукМосква 2010 г.Работа выполнена на физическом факультете Московского государственногоуниверситета им.

М.В. ЛомоносоваОфициальные оппоненты:доктор физико-математических наук, профессор, член-корр. РАНМиронов Валерий Леонидович (Институт физики им. Л.В. Киренского СОРАН)доктор физико-математических наук, профессорНефедов Евгений Иванович (Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН)доктор физико-математических наук, профессорЛялинов Михаил Анатольевич (СПБГУ)Ведущая организация:Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.

СтекловаРАНЗащита диссертации состоится"___"____________201___ г. в ____ часовна заседании диссертационного совета Д 501.002.10 при физическом факультете Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова по адресу:119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, дом 1, строение 2, физическийфакультет, аудитория.С диссертацией можно ознакомится в библиотеке физического факультета МГУим. М.В. Ломоносова.Автореферат разослан"___"_____________201___ г.Ученый секретарь диссертационного советад.ф.-м.н, профессорГрац Ю.В.Общая характеристика работыАктуальность работыЗадачи теории дифракции имеют как фундаментальное, так и прикладное значение.

С точки зрения фундаментальной науки это задачи математической физики, теоретической акустики и электродинамики. Прикладное значение теориидифракции заключается в ее использовании при синтезе антенн, расчете волновых полей в волноводах и резонаторах, изучении процесса рассеяния волнна различных препятствиях (например, для нужд акустодиагностики), решении обратных задач для дифракционной томографии и распознавания образов.Успешный анализ таких задач обычно возможен только в коротковолновом приближении. Однако существует узкий класс задач, называемых каноническимизадачами теории дифракции, аналитическое решение которых известно при любых длинах волн.

К каноническим относится, например, задача Зоммерфельдао дифракции на полуплоскости и задача о дифракции на клине с импедансными граничными условиями (решенная Г.Д. Малюжинцем). Точные решенияэтих и некоторых других задач используются для построения приближенныхрешений более сложных задач в рамках методов геометрической теории дифракции, физической теории дифракции или некоторых других. Каждая изэтих теорий основывается на том, что канонические элементы расположены набольшом расстоянии друг от друга, т. е.

процесс дифракции на них происходитнезависимо. Кроме того, предполагается, что достаточно учесть лишь несколько последовательных актов дифракции.Предмет настоящей работы — дифракционные задачи, лежащие на границемежду каноническими и “обычными”. С одной стороны, для этих задач не удается построить решения в замкнутой форме. С другой стороны, для этих задачудается вывести аналитические соотношения, справедливые при любых соотношениях длины волны и размера рассеивателя. Данные соотношения (уравнения) существенно расширяют возможности получения численных решений.Среди задач, рассматриваемых в работе, наиболее актуальны задачи, связанные с дифракцией на конусах.

Вклады конических точек необходимо учитывать, если область наблюдения не освещена геометрически отраженнымиволнами или волнами, рассеянными ребрами рассеивателя. Сложность такихзадач связана с тем, что задачи трехмерны, а рассеиватели полубесконечны.Это затрудняет применение метода граничных элементов. Наиболее современные методы вычисления дифракционного коэффициента для конических задачсвязаны с отделением радиальной переменной и построением интегральногопредставления поля с помощью преобразования Ватсона.

Однако даже применение столь развитой техники оставляет ряд вопросов открытыми. Достаточно3отметить, что за последние десять лет комиссия по полям и волнам Международного союза по радиофизике (URSI) дважды объявляла конкурс на решениезадач, связанных с дифракцией на конусах.Цель работыЦель работы заключается в построении новых методов решения дифракционных задач и в выводе новых аналитических соотношений для этих задач.Методы исследованияВ работе используются следующие подходы к дифракционным задачам.1.

Двумерные скалярные дифракционные задачи с кусочно-прямолинейнымиидеальными границами сводятся с помощью метода отражений к задачам распространения на разветвленных поверхностях.2. Для каждой задачи на разветвленной поверхности строятся краевые функцииГрина. Это поля источников, локализованных у точек ветвления.

С помощьюформул расщепления решение задачи о рассеянии плоской волны выражаетсячерез краевые функции Грина.3. Доказывается, что вектор, составленный из всех краевых функций Грина задачи, удовлетворяет системе координатных уравнений, представляющей собоймногомерное дифференциальное уравнение (или дифференциальное уравнениес многомерным временем). В качестве “многомерного времени” выступают пространственные координаты.4.

Доказывается, что вектор, составленный из диаграмм направленности краевых функций Грина, удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению. Данное уравнение в работе называется спектральным. Независимой переменной является угол рассеяния.5. Показано, что изменение геометрических параметров задачи соответствуетизомонодромии спектрального уравнения. В результате удается применить развитую технику исследования таких изомонодромий и построить эволюционныеуравнения для решений спектрального уравнения и для его коэффициентов.6. Координатные и спектральные уравнения эквивалентны. С помощью интегральных преобразований типа Зоммерфельда показано, что по решению спектрального уравнения удается построить решения соответсвующего координатного и наоборот.

Выводятся условия, накладываемые на асимптотики решенийспектрального уравнения, гарантирующие, что у соответствующего координат-4ного уравнения имеется набор решений, удовлетворяющих всем физическимограничениям.В результате применения данных методов дифракционная задача сводитсяк обыкновенному дифференциальному уравнению с рациональными коэффициентами, в которые входят неизвестные константы. Для нахождения константиспользуются априорные данные о связи асимптотик решения в различных особых точках, т.е.

формулируется обратная задача связи для данного уравнения.В простейших случаях предложены и реализованы эффективные численныеметоды решения обратной задачи связи и отыскания искомых диаграмм направленности.Практическая ценность работыРезультаты работы могут использоваться при расчетах дифракционных полей.Использование обыкновенных дифференциальных уравнений вместо традиционных для таких задач интегральных уравнений или уравнений в частных производных приводит к значительному снижению времени счета и потребности вмашинной памяти.Апробация работыРезультаты работы докладывались на следующих конференциях:Annual International Conference "Days on Diffraction"(S.Petersburg) 1999, 2000,2001, 2002, 2003, 2009;Workshop on mathematical aspects of diffraction by wedges, cones and other canonicalgeometries (Manchester, UK) 1999;International conference on Modern Group Analysis MOGRAN 9 (Moscow) 2002;Advanced research workshop "Surface waves in anisotropic and laminated bodiesand defect detection"(Moscow) 2002;The 8th International Conference on Mathematical and Numerical Aspects of Waves(Reading, UK) 2007.The 9th International Conference on Mathematical and Numerical Aspects of Waves(Pau, France) 2009.The 9th International Conference on Theoretical and Computational Acoustics,(Dresden, Germany) 2010.Кроме того, работа была представлена на семинаре “Электродинамика итехника СВЧ, КВЧ и оптических частот” Московского научно – технического общества радиотехники, электроники и связи им.

А.С.Попова, на семинаре“Дифракция и распространение волн” С.Петербургского отделения Математи-5ческого института РАН им. В.А.Стеклова, а также на семинаре “Граничные задачи электродинамики” на физическом факультете МГУ им. М.В.Ломоносова.ПубликацииСодержание диссертации опубликовано в восемнадцати работах. Примерное соответствие между главами диссертации и статьями следующее:первая глава — [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7];вторая глава — [8, 9, 10, 11];третья глава — [12];четвертая глава — [13, 14, 15];пятая глава — [16, 17];шестая глава — [18].Журналы, в которых опубликованы работы [1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 16, 17,18], включены в список Scientific Citation Index Expanded. Журнал, в которомопубликована работа [11], включен Перечень ВАКа.Журнал, в котором опубликованы работы [4, 10, 15, 21], удовлетворяет достаточному условию включения в Перечень ВАКа.Кроме того, материал диссертации существенным образом опирается на технику вывода функциональных уравнений, развитых автором ранее для клиновых задач: [19, 20, 21, 22, 23], три из которых включены в список ВАКа, а одна— в Scientific Citation Index Expanded.Работы [1, 2, 3, 5, 6, 7, 13, 23] выполнены с соавторами.Объем диссертацииДиссертация состоит из введения, шести глав, заключения, приложения и списка литературы из 173 наименований; содержит 291 страницу машинописноготекста, 77 рисунков и 3 таблицы.Содержание работыПримеры основных соотношений и уравнений, полученныхв работеВ качестве примера возьмем задачу о дифракции плоской волны на решеткеиз двух параллельных полос, расположенных в одной плоскости.