Геометрические свойства локально минимальных сетей, страница 9

Таким образом, на сфере Яз, в отличие от Ег, существует бесконечно много топологичсски различных замкнутых локазьно минимальных сетей, и, кроме того, зти сети не явллются жесткими. Цели данной работы Систелгатическое ггсслсдование различных гсометрически естественных подходов к определению локально минимальных сетей. Доказательство 4. Краткое содоржание диссертации. существования минимальных сетей на полных римановых многообразиях во всех рассматриваемых классах. Изучение новых эффектов, возникающих при переходе от обычных геодезических к локально минимальным сетям. Описание локальной структуры минимальных сетей на римановых многообразиях. Поиск ограничений, накладываемых геометрией и топологией объемлющего многообразия и геометрическими свойствами граничного множества на глобальное устройство минимальных сетей.

Изучение глобааьных геометрических свойств плоских линейных деревьев. В частности, описание (взвешенных) локально минимальных деревьев на плоскости, затягивающих множество ЛХ с заданным количеством уровней выпуклости, Изучение геометрии множества всех линейных сетей в евклидовом пространстве И", параллельных данной линейной сети и имеющих фиксированную геометрическую границу. Описание структу.ры множества всех минимальных сетей в И', имеющих данную топологию и затлгивакьщих фиксированное множество точек. 4 КраткОЕ СОдЕржаниЕ диССЕртации Во введении рассказывается история вопроса и дается обзор классических и современных результатов, посвященных исследованию минимальных сетей.

В первой главе формулируются основные определения и доказывается ряд полезных в дальнейшем технических результатов. в|ы приведем здесь лишь те из них, которые необходимы для формулировки теорем. Конечный одномерный клеточный комплекс С будем называть тоиологическам графом. Одномерные клетки топологического графа С называются его ребрами, а нульмерные клетки вериьинами. Если в графе С выделено некоторое подмножество В множества его вершин, то такой граф С мы будем называть графом с границей дС = В. Подвижным иодграфом С графа С с границей дС назовем подграф, натянутый на множество всех вершин из С, не входящих в дС. Пусть С ..

произвольный граф с границей дС (возможно, пустой), и Р е С некоторая его точка. Доиустимой окрестностью Г с С пючки Р графа С называется замыкание связной окрестности этой точки, нс содержащее вершин графа С, отличных от Р, если Р вершина, и не содержащее петель из С. Наделим окрестность Г структурой графа, объявив вершинами все точки из дГ 0 уР), а ребрами отрезки в Г, соединяющие эти точки. Полученное дерево обозначим через Сп и будем называть локальным графом ьпочка Р. Опреде- Введение. 36 лим каноническую границу дСп локального графа Сп, положив дСп = (дС и П) О (С и дП) . Граф С, на множестве Е ребер которого задана положительная функция ы: Е -+ К, называется взвелавнным графом, а сама функцил весовой, функцпей взвпиенного графа С. Значение ы(е) весовой функции на произвольном ребре е графа С называется весом ребра е.

Определение. Подмножество Г многообразия И' назовем сетью, если существует некоторый связный топологический граф С и его непрерывное отображение у' в многообразие И'. такое что Г = Д(С). Непрерывное отображение у": С вЂ” ь И' в атом случае называется гщрамегаразоцией сети Г, а граф С -- параметризуюилим графом сети Г. Пусть Г . - произвольная сеть на многообразии И', Тогда, очевидно, существует бесконечно много различных параметризаций сети Г. Иногда, однако, бывает удобно зафиксировать некоторую конкретную параметризацию сети. Сеть Г вместе с некоторой фиксированной параметризацией ум С вЂ” ~ И' называется параметрической сетью типа С на многообразии И~. Так как параметризация ум С -+ И' однозначно задает, в частности, и саму сеть Г = р(С) С И', то естественно отождествлять параметрическую сеть (Г, р) с ее параметризацией ун С вЂ” ~ И', что мы и будем делать. Таким образом, можно дать другое эквивалентное определение параметрической сети, Определение.

Параметрической сетью типа С или топологии С на многообразии И' называется произвольное непрерывное отображение ьо: С вЂ” > Иг связного графа С в многообразие И'. Сеть Г на многообразии И', совпадающая с образом у(С) параметрической сети ум С вЂ” ь И', называется следом параметрической сети ум С вЂ” ~ И'. Про параметрическую сеть, следом которой является данная сеть Г, говорят, что она параметризует сеть Г. Пусть С граф с границей дС, и Ф: С вЂ” ь И' параметрическая сеть. Ограничение дФ отображения Ф на дС называется границей параметрической сети Ф, Говорят, что сеть Ф затягивает множество ЛХ точек многообразия И~, если Ф(дС) = ЛХ.

Параметрическую сеть Ф назовем замкнутой, если сс граница пуста. Пусть Иг произвольное многообразие, Ф: С вЂ” > Иг произвольнвл параметрическая сеть типа С на И'. Ограничения отображения Ф на вершины и ребра графа С называются соответственно вершинами и ребрами параметрической сети Ф. Ребро сети назовем вырожденны,и, если оно отображение в точку.

Параметрическую сеть Ф 4. Краткое содержание диссертации. 37 будем называть (кусочно-)гладкой, если каждое ее невырожденное ребро -- (кусочно-)гладкая регулярная кривая. Кусочно-гладкая параметрическая сеть Ф называется погруженной, если все ее ребра невырождены. Погруженная параметрическая сеть Ф называется вло:женной., если отображение Ф является вложением топологического пространства С в И~, т.е. если отображение Ф задает гомеоморфизм между параметризующим графом С и следом Г = Ф(С). Н дальнейшем все рассматриваемые сети предполагаютсл (кусочно-)гладкими. Пусть И' гладкое риманово многообразие, и Ф: С ь И' гладкая или кусочно-гладкая параметрическая сеть на нем. Тогда естественно определить длину К(Ф) сети Ф как сумму длин всех ее ребер.

Если С взвешенный граф с положительной весовой функцией ш, то определим взвешенную длину ь' (Ф) сети Ф как линейную комбинацию длин всех ее ребер с коэффициентами весами этих ребер. Пусть Ф: С вЂ” ь И' параметрическая сеть, и Р некоторое кмерное многообразие с краем или без, например й-мерный куб 1" С йь, где 1 = [ — 1, Ц стандартный отрезок. Пусть 0 некоторая точка в Р (если Р = 1ь, то в качестве 0 обычно выбирают точку, все координаты которой равны нулю). Определение.

Непрерывной И-параметрической деформацией Фь, 1 Е Р, параметрической сети Ф называется произвольное непрерывное отображение 0: Р х С вЂ” ь И', 0(г, д) = Фь(д), такое что 0(0, д) = Ф(д). Непрерывная деформация Ф~ называется гладкой (кусочно-гладкой) если, во-первых, каждая сеть Фь является (кусочно-)гладкой. и, вовторых, для каждого ребра е графа С ограничение отображения Фв на Р х е является гладким отображением. Амплитудой деформации Ф~ в точке я назовем точнукь верхнюю грань расстояний между точками Ф(к) и Ф~(я), взятую по всевозможным значениял1 параметра б Максимум амплитуды деформации Фп взятый по всем точкам я, назовем амплитудой деформации Фг Малой деформацией будем называть деформацию с достаточно малой амплитудой. Пусть М множество всех параметрических сетей на многообразии ИС Введем на М отношение эквивалентности, отнеся к одному классу параметрические сети, имеющие один и тот же след.

Соответствующее фактор-множество обозначим через Т, и пусть х: М вЂ” ь Т каноническая проекция. Элементы множества Т будем называть следами, а само Т пространством следов. Ясно, что между пространством следов и множеством всех сетей существует естественное взаимно однозначное соответствие. В дальнейшем мы будем отождествлять эти два множества, перенося на следы Введение. 38 всю введенную для сетей терминологию.

Например, если т е Т "- некоторый след, то про произвольную параметрическую сеть Ф: С вЂ” у И', такую что Ф Е т, будевс говорить, что Ф аараметризует след т. Пусть ЛХ С И' конечное множество точек, и Г Е Т некоторый след. Скажем, что след Г затягивает мнозкество ЛХ, если М содержится в Г. рассматриваемом как подмножество в И'. В этом случае множество Ы называется границей дГ следа Г. Каждый след, затягивающии некоторое граничное множество ЛХ, можно параметризовать сетью, затягивающей то же граничное множество ЛХ.

След назовем замкнутым, если его граница пуста. Определим теперь длину следа на римановом многообразии И". Для этого выберем произвольный след т из Т, рассмотрим всевозможные параметрические сети 1 Е т, у каждой из них вычислим длину 11с), и положим б,т) = шХсе, Х1с). 1исло д,т) будем называть длиной следа т. Вообще говоря, не для любого элемента т из Т можно выбрать такого представителя 1 Е т., длина которого равнялась бы Хст). Тевс не монсе, во многих случаях, и. в частности. если все ребра сети могут быть параметризованы отрезками геодезических, такого представителя выбрать можно.

Более того. среди таких представителей сушествует и единственен (с точностью до естественной эквивалентности) представитель,являющийся вложенной параметрической сетью. Этот представитель называется каноническим представителем следи Пусть Г сеть из пространства следов, Р произвольное Л- мерное многообразие с краем или без, и О Е Р некоторая точка.

Отображение У' из Р в пространство Т, при котором выделенная точка О переходит в сеть Г,. назовем деформацией следа 1". Ясно, что множество М всех параметрических сетей является дизъюнктным объединением множеств Мп параметрических сетей типа С по всевозможным конечным графам С. Рассмотрим множество к с (У(Р)) С М и обозначим через МД пересечение этого множества с Моь Образ множества Мои при проекции к состоит из всех следов из У(Р), которые могут быть парамстрнзованы сетями типа С. Этот образ мы обозначим через Уо.