Диссертация (Исследование характеристик шумоподобных сигналов на многопозиционных поднесущих и разработка алгоритмов их обработки для спутниковых радионавигационных систем), страница 10

с учетом (3.7),   zTЭ .Члены матрицы Alm , суммы которых имеют модули, равные соответствующимвыбросам ПАКФ и АПАКФ, обозначены в табл.3.1 соответственнои. Накаждой из таких диагоналей содержится по N Э ( N пов  ( p  1)) символовиN Э  ( px  1) символовнаходящихсянаξx.

Поэтому суммы членов Alm , обозначенныхи–ойравныдиагонали( N пов  p)  ПАКФ ( ) cos  p  1 N Э  z  2 fTЭматрицыигде   zTЭ , p=px-1 , z определяется (3.7), асоответственно, АПАКФ ( ) cos  p  1 N Э  z  2 fTЭ  , ПАКФ ( )и АПАКФ ( )- значения вы-бросов ПАКФ и АПАКФ, соответствующие временным сдвигам ПСП τ.» Суммируя все члены матрицы, обозначенные символамии, и нормируя суммыотносительно N пов N Э , получаем аналитические выражения для компонентовСПМ, определяемых соответственно значениями выбросов ПАКФ и АПАКФ:N ï î â 12GÊ .

Ï . ( f )  2p 122GÊ . ÀÏ . ( f ) Nï î âN ï î â  p NÝ 1  Ï ÀÊÔ ( ) cos  ( p  1) N Ý  z  2 fTÝ  , (3.9)N ï î â z 1N ï î â N Ý 1ÀÏ ÊÔ( ) cos  ( p  1) N Ý  z  2 fTÝ .(3.10)p 1 z 165Суммируя значения найденных компонентов СПМ, получим аналитическоевыражение для СПМ ФМ СлС в периодическом режиме излучения в виде [5154,79]:G Ï ÅÐ ( f ) 1FÝ2 ( f ) 1  2G Ï Î Â ( f )  2 G Ê .

Ï . ( f )  2 G Ê . ÀÏ . ( f ) . (3.11)2TS N ï î â aСпектральная плотность мощности ФМ СлС в апериодическом режимеВ апериодическом режиме при Nпов =1 из (3.8)… (3.11) следует, что [51]G ÀÏ ( f ) 1TS N ï î â a2FÝ2 ( f ) 1  G Ê . À Ï . ( f )  ,(3.12)N Ý 1G Ê . ÀÏ . ( f )  ÀÏ Ê Ô ( ) cos(z 2 fTÝ ).(3.13)z 1Кроме периодического и апериодического могут возникать и другие режимыфункционирования радиосистем.Таким образом, в [43, 51-55, 79] разработанна методика анализа спектральныхплотностей мощности сигналов, позволяющая выразить их через значения АКФ применяемых ПСП.

Поскольку АКФ ПСП имеют случайные значения боковых пиков,зависящие от структуры ПСП, то и СПМ соответствующих сигналов являются случайными флуктуирующими функциями, функционально связанными со значениямипиков ПСП. Как следует из анализа (3.11)… (3.13), в случае, если средние значениябоковых пиков АКФ ПСП равны нулю, то усредненные по совокупности ПСП значения их СПМ имеют форму, соответствующую спектру элементарного импульса сигнала [43,79].3.2.

Спектральные свойства навигационных сигналов на многопозиционных поднесущихНавигационный сигнал рассмотрим в апериодическом режиме на длительности времени NN M TM , на которой заданы структуры ПСПМ и ПСПМ. Поэтому сигнал на данном этапе исследования можно считать детерминированным.

Тогда спектр его комплексной огибающей определим как [35,70]:F  f    S  t  exp   j2 ft  dt.(3.14)66Подставив выражение для комплексной огибающей многопозиционногосигнала из раздела 2 данной диссертации в (3.14), получим [43]:N 1 N M 1TMF  f   a  exp j jN M i exp( j 2 f ( jN M  i)TM )  S 2  x  exp( j 2 fx )dx (3.15)j 0 i 00Тогда, поменяв местами двойную сумму с интегралом и введя замену переменных x  t  ( jN M  i)TM перепишем (3.15) в виде:N 1NM 1TMF  f   a exp j jNMi exp( j2 f ( jNM  i)TM )  S2  x exp( j2 fx)dx.

(3.16)j 0 i 00Спектр прямоугольного импульса длительностью ТМFM(f), то естьобозначим какTMFM ( f )  a  S 2 ( x ) exp (  j 2 fx )dx. (3.17)0Тогда получим [43]:N1NM 1F  f   FM ( f ) exp jjNM i exp( j2 f ( jNM i)TM ). (3.18)j0 i0Спектральная плотность мощности (СПМ) сигнала (или его энергетическийспектр) определяется как [70]F  f  F*  f G f  .NN M TM(3.19)Введя обозначение для СПМ прямоугольного импульса GM  f  FM  f  FM*  f TMиподставляя (3.19) в (3.18), получим [43]:1G  f   GM ( f )NN MN 1 N M 1 NN M  jN M  i   2j 0 i  0exp( j jN M i ) z  ( jN M  i )(3.20) exp  j jN M i  z exp( j 2 fTM z ).C целью анализа (3.20) перепишем его как1G  f   GM ( f )NNMNNM 1NNM 1ml  A , (3.21)l 0m0где67GM  f   a2TM [sin  fTM  fTM]2 ,Alm  exp( j jN M i ) exp  j jN M  i  z exp   j 2 fTM z  ,(3.22)а l  jNM  i,m  jNM  i  z.Учитывая, что члены Аlm двойной суммы (3.21) образуют двумерный массив,представим их совокупность в виде двумерной матрицы, где l=0,…,(NNM-1) –номер строки матрицы, m=0,…,(NNM-1) – номер столбца.

Эта матрица представлена в виде табл.3.2. Член матрицы Аlm расположен на пересечении l –ой строкии m-го столбца таблицы, то есть в ее графе (l,m). Анализируя полученную матрицу, сгруппируем ее члены так, чтобы их суммы в каждой группе не зависелиот символов ПСПМ и ПСПМ, либо зависели только от символов ПСПМ, либотолько от ПСПМ или от символов двух ПСП. Для этого проведем анализ матрицы [43].mlТаблица 3.2…01NNM+10 ϧ001 ϧ11…ϧ1 2*1*ϧϧ NN M 101…ϧ 3* ϧ3 ϧ…2ϧ NN M  2 NN M  2ϧNNM-1*NN M 1…ϧ NN M  2 NN M 1ϧВведем обозначения: пусть(x=0,1,..,NNM-1) – номера диагоналей ис-следуемой матрицы (см. табл.3.2), отсчитываемые от ее главной диагонали,имеющей нулевой номер, а  y – номер члена  x -ой диагонали, отсчитываемыйот ее самого верхнего члена, имеющего также нулевой номер.

Анализ матрицыпоказывает, что на ее диагоналях, расположенных симметрично относительноглавной диагонали, находятся комплексно сопряженные члены Аlm , аргументы68которых одинаковы и определяются по номерам  x диагоналей. Части аргументов, зависящие от f равны  x 2 fTM у членов Аlm , расположенных выше 0-ой диагонали, и они равны  x 2 fTM у членов, расположенных ниже главной диагонали. Модули этих членов Аlm на каждой диагонали определяются по произведениям exp( jl ) exp   jm  , где l и m определяются по диагональным координатамчлена, то есть l   y , m   y   x . Из анализа последних выражений следует, что надиагоналях анализируемой матрицы с номерами, кратными NM, находятся члены Аlm , модули которых не зависят от значений символов ПСПМ. Эти члены помечены символом ϧ в табл.3.2.

Количество диагоналей матрицы с номерами  xили  x* ратными NM, равно N-1, а количество членов на каждой такой диагоналиравно NN M   x , из которых группы по NM членов повторяются. Таким образом,суммируя все члены матрицы, помеченные символом ϧ в табл.3.2, кроме членов, расположенных на 0 -ой диагонали, получим выражение для компонентаСПМ, не зависящего от значений символов ПСПМ [43]:G(M )2 N 1N k 1 f     cos(2 fN M TM k  i( M )  i(Mk ) ). (3.23)N k 1 i0При его записи учитывалась нормировка на NNM, введенная в (3.22).Кроме того, i( M ) 2Мai , и зависят только от символов ПСП .

Сумма членовpАlm находящихся на 0 -ой диагонали матрицы и нормированная относительноNNM, равна 1, и не зависит от структур ПСП.Между 0 ой диагональю матрицы и  N -ой диагональю находятся члеMны матрицы, зависящие только от символов ПСПМ. Общее количество такихдиагоналей равно NM-1, а количество членов на каждой из них, зависящих только от символов ПСПМ, равно N ( N M   x ) , где  x - номер диагонали. Причем блоки из N M   x членов на каждой диагонали повторяются по N раз.

Таким образом,выражение для компонента СПМ (3.21), зависящего только от структуры ПСПМ,после нормировки к NNM имеет вид:2G( M )  f  NMNM 1NM  k 1  cos(2 fTMk 1k   M i  M i k ) , (3.24)i 069где  M i 2bi . Остальные члены Аlm , находящиеся между 0 -ой и  N M -ой диаpгоналями, зависят от структур двух ПСП, их общее количество такое же, какчленов, зависящих только от ПСПМ, но они не образуют повторяющихся блоков, так как все символы отличаются друг от друга. Считая, что их значения являются случайными величинами, получим, что сумма этих членов будет приблизительно в N раз меньше G( M )  f  . Тогда учитывая, что N  N M , пренебрежем составляющей СПМ, образованной суммой этих членов анализируемойматрицы.

Сумму всех остальных членов матрицы обозначим как GMM  ( f ) . Такимобразом, выражение для СПМ сигнала имеет вид [43]:G f  GM  f  1G M  f  GM f  GMM  f   .(3.25)Энергетический спектр одиночного импульсаИз анализа (3.25) следует, что СПМ одиночного импульса навигационного сигнала длительностью N M TM соответствует выражению:GИ  f   GM  f  1  G M   f  .(3.26)Воспользуемся выражением (3.26), в которое подставим (3.24), после чего получим: 2 NM 1NM k1GИ  f  GM  f  1cos(2fTk)M Mi  Mik .NM k1 i0(3.27)Из (3.27) получаем для многопозиционных сигналов [43]:GИ  f   a 2TM 1[sin   fTM 1  fTM 1]2 N M 1 (3.28) 1  2   Re(  (k )  cos  2 fTM 1k   Im(  (k ))sin(2 fTM 1k )]  ,k 1где  (k ) - комплексная апериодическая автокорреляционная функция многопозиционной поднесущей в области высокой корреляции, то есть1Re  k  NMNM k 1i 01cos( M i  M ik ), Im  k  NMNM k 1 sin(M i  M ik ),i 070а TM 1 2TM, где а TM 1 , являясь длительностью импульса поднесущей при N M  3 ,NMвыражено через длительность импульса меандра ТМ при NM=2.

При этом считается, что длительность элементарного импульса ПСПМ остается постоянной[43].С целью подтверждения правильности (3.28) рассмотрим частный случай,соответствующий меандровым ПСП, выражения для СПМ которых получены в[1-3] по методике, отличной от используемой в данной диссертации. С этой целью, применив формулу сложения для косинусной функции в (3.27), и учитывая, что в случае меандровых ПСП разность  M i   M i  k может принимать только значения  или 0, подучим для меандровых ПСП:N M 1GИ  f   GM  f   1  2   (k )cos(2 fTM k )  , (3.29)k 1где (k ) - значения корреляционной функции меандровой ПСП вида 1-11-1…или -11-11…. Очевидно, что для таких ПСП [43]k  k 1  NM  k  ,NMk 0,,NM 1.(3.30)Подставляя (3.30) в (3.29), получим:2GИ  f   GM  f  1 NMNM 1  1kk 1(NM  k)cos(2 fTM k) .

(3.31)Выражение (3.31) не удалось привести общему виду энергетическогоспектра меандрового сигнала, полученного в [2], но, как показано ниже, в частных случаях при N M  2 и N M  4 оно совпадает с этим выражением.Энергетические спектры одиночных импульсов при N M  2Для меандрового сигнала при N M  2 из (3.31) получаем [43]:2sin   fTM   2GИ  f   2a2TM  sin ( fTM ),fTM(3.32)а для многопозиционного сигнала из (3.28) следует [43]:2 sin  fTM  2GИ  f   2a2TM  cos ( fTM  ( M 0   M 1 ) / 2).  fTM (3.33)71Отметим, что выражение (3.32) совпадает с (37) из [2], где для нормированного энергетического спектра меандрового сигнала при четном N M полученовыражение [43]: fsin f1G f   [  cffcfc tg   f ]2 , (3.34) NM fc где fc – тактовая частота ПСПМ, то есть в обозначениях данной диссертации приN M  2 значение f c  1/ 2TM . Тогда подставляя это значение fc в (3.34) и считая,что N M  2 , получаем [43]:G  f   2TM [sin  2 fTM 2 fTMtg  fTM ]2  2TM [sin  fTM  сos( fTM ) fTMtg  fTM ]2 2 sin  fTM  2 2TM  sin ( fTM ).  fTM Таким образом, вышеприведенными рассуждениями доказана правильность полученных в данной работе общих выражений (3.28), (3.29) для СПМ какмеандровых сигналов, так и сигналов с многопозиционными поднесущими.При этом (3.29) является общим выражением для СПМ меандровых сигналовпри четных и нечетных значениях N M .На рис.