Диссертация (Исследование характеристик шумоподобных сигналов на многопозиционных поднесущих и разработка алгоритмов их обработки для спутниковых радионавигационных систем), страница 14

Эти коэффициенты представляют собой степени W=ехр(j2/3). В частности, для рассматриваемого выше примера после соответствующей перестановки столбцовматрицы Х получаем преобразованную матрицу, компоненты которой будемописывать степенями W:910 0 1 1 1 2 2 2Xпр = .1 2 0 1 2 0 1 2В этом случае при преобразовании столбцов матрицы-циркулянта Хц, прикотором в первых т ее строках получаются строки матрицы Хпр, получим матрицу X пр m H X пр Xц.пр.

=  H 2m X пр  .  H NЭ / m X пр «Анализ структуры матрицы Н показывает, что ее умножение в любой простой степени на Хпр эквивалентно получению матрицы, строки которой представляют все возможные суммы по модулю р строк матрицы Хпр, т.е. представляют собой ФВК, поскольку матрица ФВК, упорядоченная по Кроненкеру,определяется как кронекеровская степень матрицы ДЭФ.

Причем эти ПСП будут различными, поскольку матрица Hm не может иметь одинаковых строк. Отсюда следует, что набор из первых Nэ=рт-1 строк матрицы Хц.пр образует полный ансамбль ФВК без первых элементарных символов и без первой ФВК»[63].Переставим столбцы матрицы-циркулянта МП по возрастанию значенийэлементов соответствующего поля Галуа. Тогда получим матрицу:Xц.пр.0122= 021002110120101220111101222112202101202110222110120222 02,1112 которая очевидно является матрицей ФВК, записанной символически с помощью степеней соответствующей экспоненты.«Таким образом, перестановка элементарных символов любого периодического сдвига любой МП в порядке возрастания значений элементов поля Галуа,представляющего собой полную систему вычетов по двойному модулю (fm(x),p)преобразует ее в ФВК без первого элементарного символа, где fm(x) - неприводимый примитивный полином, использовавшийся при формировании МП.92Причем существует однозначное соответствие между периодическим сдвигомпреобразуемой МП и структурой получаемой ФВК»[63].Алгоритмы перемножения матрицы Адамара или матрицы ФВК на векторахорошо известны, и описаны, например, в [78].

В [107] приводится структурнаясхема устройства ускоренного обнаружения МП с использованием быстрыхспектральных преобразований. Она приведена на рис. 4.3.Рис.4.3. Структурная схема УПС, сформированного на основе МП.С выхода АЦП поступает результирующая ПСП, структура которой определяется как значениями символов МП. Она записывается в ОЗУ. Номер ячейкипамяти ОЗУ, в которую записывается каждый символ МП, определяется значением элемента поля Галуа, генератор которых через коммутатор К1 подключается к адресным шинам ввода данных ОЗУ.

По окончании записи символовпринимаемой результирующей ПСП в ОЗУ ключ (Кл) запирается и одновременно через К1 к адресным шинам считывания данных из ОЗУ подключаетсясчетчик (СЧ). Одновременно коммутатор К2 к шине данных ОЗУ подключаетарифметическое устройство (АУ), попарно суммирующее и вычитающее элементы ПСП, считываемые из ОЗУ. Результаты этих суммирований и вычитанийвновь записываются в ОЗУ. Процедура повторяется т раз. По ее окончании ВОЗУ будут записана АКФ МП. Она поступает в решающее устройство, котороефиксирует номер ячейки памяти ОЗУ, в которой оказался записанным основнойпик АКФ.

Этому номеру циклический сдвиг МП, записанной в ОЗУ с выхода93приемника. Соответствие этого номера сдвигу записанной МП определяетсяправилом, выведенным в [110,111]. Там, в частности, записано: «ассмотримматрицу-циркулянт МП, строки которой представляют собой ее периодическиесдвиги, начинающиеся со значений Qi в порядке возрастания i, т.е. Q1=1,Q2=2,...,QN=N. Тогда первые т столбцов этой матрицы будут представлять собой ДЭФ без нулевого элементарного символа.

Остальные столбцы этой матрицы являются весовыми произведениями т ее первых столбцов, т.е. являютсяФВК. После перестановки столбцов этой матрицы по возрастанию элементовсоответствующего поля Галуа, получим матрицу ФВК без первой строки и первого столбца. Т.е. МП, начинающаяся с блока Qi, преобразуется в ФВК, номеркоторой в матрице ФВК, упорядоченной по Кронекеру, равен Qi». Частный случай этого правила будет соответствовать двоичным МП.4.4. Ускоренное обнаружение меандровых сигналов и сигналов с многопозиционными поднесущимиВышеописанные алгоритмы ускоренного перемножения матриц с отсчетами МП могут быть распространены на ВОС-сигналы сигналы и сигналы с многопозиционными поднесущими.

В качестве примера рассмотрим ускоренныйалгоритм обнаружения ВОС-сигнала с NM=2. Для его иллюстрации используемдвоичную МП длиной 7 в алфавите 1,-1: ПCП   1 1 1 1 1 1 1. ТогдаПСП для формирования ВОС(1,1), обозначаемая в дальнейшем как ПСПВОС, будетиметьследующийвид:П С П BOC  11 11 111 1 1111 1 1 .Еематрица-циркулянт94X ц .BOC 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 111111 Для ее преобразования в матрицу, составные части которой соответствовали бы матрице Адамара, пронумеруем ее столбцы в соответствии со значениями элементов поля Галуа по модулю неприводимого примитивного полинома,использовавшегося для формирования этой МП.

Причем номера будем повторять дважды, первый из которых будет нечетным (с индексом н), а второй четным (с индексом ч), то есть номера столбцов будут следующие:4н4ч2н2ч1н1ч6н6ч3н3ч7н7ч5н5ч.Столбцы этой матрицы (четные и нечетные) необходимо переставить так,чтобы порядок их следования соответствовал следующему правилу:01н2н3н4н5н6н7н01ч2ч3ч4ч5ч6ч7ч.В результате получим матрицу Хц.пр.BOC:95Xц .пр .B O C 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1 11111 Переставим строки этой матрицы так, чтобы в верхнем левом квадрантенаходилась матрица Адамара. Тогда в правом квадранте будет находиться инвертированная матрица Адамара, а в левом нижнем квадранте – опять инвертированная матрица Адамара.

В правом нижнем квадранте будет матрица Адамара со строками, переставленными в соответствии со структурой поля Галуа.Таким образом, вектор-столбец из отсчетов входного сигнала необходимо перемножить с матрицей, структура которой иллюстрируется на рис. 4.4, где символ«+» соответствует матрице Адамара, символ «–« инвертированной матрицеАдамара, «0» - нулевая матрица той же размерности, что и матрица Адамара;L(+) – оператор перестановки строк матрицы Адамара в соответствии с порядком следования элементов поля Галуа.Рис.4.4. Структура преобразованной матрицы-циркулянта BOC(1,1).Таким образом, алгоритм ускоренного перемножения матриц будет соответствовать параллельному перемножению отсчетов входного сигнала на матрицы,приведенные рис.

4.4 в соответствии с ускоренными алгоритмами перемножения. Ускоренное умножение на 4-ю матрицу в сумме матриц на рис. 4.4 соответствует умножению на матрицу Адамара, после которого нужно переставитьэлементы полученного вектора по правилу, заданному оператором L(+). Полученные вектора нужно сложить, в результате чего получим АКФ огибающей96ВОС(1,1). Вычислительная сложность этого алгоритма соответствует 2Nlog2Nоперациям сложения, где N – длина основного навигационного кода. В то жевремя при простом перемножении матрицы-циркулянта ВОС(1,1) с отсчетамисигнала на входе приемника вычислительная сложность соответствующего алгоритма равнялась бы 4N2 операциям перемножения.4.5.

Сопоставление вычислительной сложности алгоритмов ускоренногообнаружения навигационных сигналовНа рис.4.5 представлены графики сравнения скорости работы прямого ипредложенного ускоренного алгоритма. По горизонтальной оси приведены типовые длины ПСП, используемые в навигационных сигналах.

По вертикальнойоси представлена вычислительная сложность ускоренного алгоритма в процентах от алгоритма, соответствующего простому перемножению отсчетов входного полезного сигнала с матрицей-циркулянтом. Это позволяет провести сравнение и оценить преимущества разработанного алгоритма. Столбцы с разнымр=2,3,5,7 соответствуют двоичным и p-ичных МП. Таким образом, в случаебольших длин МП (больше 10000) выигрыш от использования разработанныхалгоритмов может составить более двух порядков. В случае использования меандровых сигналов сложность алгоритма дополнительно возрастает в зависимости от используемого меандра в 4,9,16 раз и т.д. Следовательно, применениеускоренного алгоритма еще более актуально.Таким образом, в диссертации показано, что для ускоренного поиска меандровых сигналов могут использоваться быстрые спектральные преобразования,обеспечивающие существенный выигрыш по скорости вычислений, по сравнению с традиционным алгоритмом вычисления корреляционных функций.

Новизна полученных результатов состоит в том, что разработанные модификацииэтих преобразований, пригодные только для обработки меандровых сигналов исигналов на многопозиционных поднесущих, ранее не были известны.97Рис.4.5. Сравнение скорости работы и ускоренного алгоритма вычисления АКФ.4.6. Характеристики ускоренного обнаружения сигнала в УПСРассмотрим случай обнаружения двоичного ФМн сигнала без меандровойподнесущей при известной его несущей частоте (с точностью до фазы).

В этомслучае вероятность правильного обнаружения сигнала в одном из интерваловобласти неопределенности по времени описывается выражением [111]:робн= (1-рлт0)N-1 робн0,(4.15)а приближенное значение вероятности ложной тревогирлт ≈ (N-1)рлт0,(4.16)где робн0 ;рлт0 – вероятность правильного обнаружения и ложной тревоги прибинарном обнаружении.С целью оценки вычислительной сложности алгоритма обнаруженияразличения СлС выявим зависимость N(кш) при типичных требованиях к робн ирлт, где кш – отношение сигнал/шум по мощности на входе приемника, т.е. до«сжатия» сигнала.

Задав требующиеся значения робн и допустимое значение рлт,вычислим робн0 и рлт0 в соответствии с (4.15), (4.16). Затем воспользуемся графиками зависимости робн0(q) при заданном рлт0, где q – отношение сигнал/шумпо мощности на входе решающего устройства (РУ) [73,82,83]. При гауссовскойаппроксимации взаимных помех в каналах связи со СлС, значение q представляет собой отношение энергии СлС, сформированного на основе ПСП длинойN, к сумме спектральных плотностей мощности шума и взаимных помех навходе РУ, то есть98q=N/[кш-1+D’АКФ],(4.40)где D’АКФ – дисперсия боковых пиков АКФ.Значения D’АКФ МП, их сегментов приводятся в разделе 3 данной диссертации.Искомые зависимости N(кш), аппроксимированные прямыми линиями, показаны на рис.4.6 для значений N=103;106 .