Диссертация (Повышение энергоэффективности электротехнологических комплексов вакуумно-высокочастотной сушки древесины), страница 9

Если исходное сырье распиливается секторным тангенциальным способом, то оси анизотропии совпадают с координатными осями, ауравнение Лапласа имеет вид:εx φ 2 (x, y) φ 2 (x, y)()  εy()0xxyy(2.5)где εx и εy – компоненты тензора диэлектрической проницаемости, причём εxсоответствует тангенциальному направлению свойств древесины, а εy – радиальному.Решение уравнений (2.4) и (2.5) должно удовлетворять следующимграничным условиям:46φ1 (0, y) = 0, y  [0; 2 b + B];(2.6)φ1 (2 a + A, y) = 0, y  [0; 2 b + B];(2.7)φ1 (x, 0) = 0, x  [0; 2 a + A];φ1 (x, 2 b + B) = 0, x  [0; 2 a + A];(2.8)(2.9)φ1,2 (a, y) = U к , y  [b; b + B];(2.10)φ1,2 (a+A, y) = 0, y  [b; b + B],(2.11)где a, A, b, B – геометрические размеры, обозначенные на рис.

2.3, м.Условия (2.6) – (2.9) и (2.11) задают нулевое значение потенциала на поверхности заземленного корпуса и низкопотенциального электрода. Источникомполя является высокопотенциальный электрод, который заряжен до потенциала, равного напряжению на конденсаторе (2.10).На границе раздела областей 1 и 2 с разными диэлектрическими свойствами нормальные составляющие вектора электрического смещения D итангенциальные составляющие вектора напряженности электрического поляE непрерывны:D1n  Dn2 ;(2.12)12E E .С учётом основных уравнений электростатики:D  ε E;(2.13)E   gradφ(2.14)47и совпадением осей анизотропии, единичных векторов n и  с координатными осями равенства (2.12) преобразуются к:φ1 (x; b)  φ2 (x; b), x  [a; a + A];(2.15)φ1 (x; b + B)  φ 2 (x; b + B), x  [a; a + A];(2.16)εвφ1 (x; b)φ (x; b) εy 2, x  [a; a + A];yy(2.17)εвφ1 (x; b + B)φ (x; b + B) εy 2, x  [a; a + A],yy(2.18)где εв – относительная диэлектрическая проницаемость воздуха, εв = 1.Решение краевой задачи (2.4)-(2.11), (2.15)-(2.18) выполнено методомконечных разностей, согласно которому первая и вторая производные некоторой функции f в i-том узле сетки аппроксимируются выражениями [67]:fi fi 1  fi;hfi(2.19)fi1  2f i  fi 1,h2(2.20)где h – шаг сетки.Использована двухмерная равномерная сетка с одинаковым числом узлов:i  j  1, N и шагами по координатным осям, равными:hx AB; hy ,z 1z 1(2.21)где z – результат целочисленного деления числа узлов N на отношение ширины камеры и ширины конденсатора (2a + A).A48После аппроксимации основное уравнение (2.5) приобретает следующую форму: εx εy εyεyεxεxφφ2φφφ i , j 1  0.i1,ji1,ji,ji,j122 h2 h2 h 2xh 2xhhy yy x(2.22)Конечно-разностная форма уравнения (2.4) аналогична (2.22), однако все коэффициенты имеют единичные числители.

В результате применения даннойпроцедуры ко всем узлам, за исключением тех, в которых значения потенциалов заданы граничными условиями, получаются квадратная матрица M,имеющая пятидиагональный вид размером N2 x N2, и матрица-столбец R, состоящая из N2 элементов правых частей уравнений. Искомые значения потенциалов в узлах сетки находятся умножением обращенной первой матрицына вторую ( φ = M 1  R ). Алгоритм расчета реализован в математической среде MathCad.На рис.

2.4 показан результат решения задачи (4)-(12), (16)-(19) приследующих параметрах: A = 1,2 м; a = 0,6 м; B = 1 м; b = 0,5 м; Uк = 6000 В;N = 40. Диэлектрические свойства в тангенциальном εx = 1,91 и радиальномεy = 1,98 направлениях взяты из [3] для ели в сухом состоянии. По полученной функции распределения потенциала φ = f(x, y) вычислен вектор напряженности электрического поля:E(x, y)  φ(x, y)φ(x, y)i jxyгде i и j - орты координатных осей.49(2.23)Рисунок 2.4 – Картина поля φ = f(x, y)Пример распределения модуля вектора E вдоль оси 0x на разных высотах штабеля приведен на рис.

2.5.Рисунок 2.5 – Распределение напряженности электрическогополя по ширине штабеля на разных высотах:1) y = b + B/2; 2) y = b + (5/6)·BПунктирными линиями обозначены положения электродов (рис. 2.5). Вих близи наблюдаются нехарактерные всплески напряженности E, обуслов50ленные погрешностью расчета из-за недостаточного числа узлов (слишкомбольшого шага по осям). Однако их увеличение невозможно по причине резкого роста количества вычисляемых элементов матрицы M, которое лимитируется объемом оперативной памяти ПК. Тем не менее, даже такого результата достаточно, чтобы проследить неравномерность распределения поля всечении штабеля: величины напряженностей в точках a и b (рис.

2.5) отличаются на 60 %. Повысить точность можно с использованием более экономичных алгоритмов решения уравнений эллиптического типа [68], таких какбыстрое преобразование Фурье, метод декомпозиции, итерационные методыи др. Данные методы лежат в основе современных пакетов прикладных программ для математического моделирования.Приведённый выше пример расчета является частным случаем и имеетместо на заключительном этапе сушки, когда влажность снижается до минимального значения, при котором электропроводностью среды можно пренебречь. Удельная электропроводность σ , См/м, зависит от диэлектрическихсвойств и частоты:σ  ω  ε  ε 0  tg .(2.24)В начале и середине процесса сушки значение tgδ может и превышатьединицу, т.е. древесину следует рассматривать как неидеальный диэлектрик.В таких средах следует учитывать токи проводимости, которые влияют нараспределение электрического поля.

Для математического описания этогоявления необходимо воспользоваться первым уравнением из системы (2.1)при условии отсутствия сторонних токов:rot H DJ.τ51(2.25)Вектор электрического смещения связан с вектором напряженности электрического поля следующим соотношением:D  εE .(2.26)Вектор плотности токов проводимости связан с вектором напряженностиэлектрического поля законом Ома:J  σE .(2.27)Подстановка (2.26) и (2.27) в (2.25) дает следующее:rot H  εE σE.τ(2.28)Далее к (22.28) следует применить оператор дивергенции: Ediv  rot H   div  ε σE. τ(2.29)По теореме о равенстве нулю дивергенции ротора: Ediv  ε+σE  0. τ(2.30)Выше отмечалось, что источником поля является электрод с потенциалом, равным напряжению на рабочем конденсаторе. Принято, что данноенапряжение, а следовательно, и все векторные величины изменяются по гармоническому закону:52u к (τ)  U m sin(ω τ  ψ) .(2.31)В связи с этим использован символический метод: U ei ω τ ; E  E ei ωτ ,Uкmm(2.32) и E – комплексные амплитуды соответствующих величин.где Umm (eiωτ )Так как i ω ei ω τ , то подстановка (2.32) в (2.30) приводит к:τdiv σ E m + i ωε E m  0 .(2.33)Чтобы упростить запись, введена комплексная проводимость среды:y  σ  i ωε ;div y  E m  0(2.34)(2.35)Как было показано выше, рассматриваемый электромагнитный процессявляется квазистационарным и может быть описан градиентом скалярногоэлектрического потенциала (2.14):E m  grad φ m .(2.36)Подстановкой (2.36) в (2.35) получена окончательная форма уравнения,описывающего распределение электрического поля в неидеальной диэлектрической среде:53div  y  grad φ m   0 .(2.37)Граничные условия (2.12) в случае, когда одна или обе диэлектрических среды обладают существенной проводимостью, должны быть записаныв виде:E 1τ  E τ2 ;(2.38)y 1  E  y 2  E .n1n2Граничные условия на поверхности высокопотенциального электрода: .φ   Uк(2.39)Граничные условия на поверхностях заземленных элементов конструкции рабочей камеры и низкопотенциального электрода:φ 0  0 .(2.40)Система уравнений (2.37) – (2.40) представляет собой математическуюмодель электромагнитного поля в поперечном сечении штабеля, изменяющегося по гармоническому закону.

Для решения такого класса задач пригоденмодуль «Электрическое поле переменных токов» программного комплексаELCUT [69]. Особенность последнего состоит в применении метода конечных элементов с геометрической декомпозицией, позволяющего значительносократить время и увеличить точность вычислений.

Другое его достоинствозаключается в простоте геометрического и физического описания объектаисследования и удобстве задания граничных условий. Благодаря этому гео-54метрическая модель была максимально приближена к реальной при исследовании неравномерности поля в поперечном сечении штабеля (рис. 3.1).2.2 Распределение электромагнитного поля вдоль штабеляДлина электродов ВЧ камер согласуется с максимальным размером пиломатериалов, подлежащих сушке, который составляет 6,5 м для внутреннегорынка и экспорта по ГОСТ 9302-83.

С допущением о подключении генератора к середине электродов условие квазистационарности не выполняется дажедля сухой древесины (рис. 2.1). Поэтому систему «электроды - штабель» впродольном направлении следует считать объектом с распределенными параметрами. Для такого классаобъектов пространственное распределениеэлектромагнитного поля обладает волновым характером.Задача исследования распределения поля вдоль штабеля не менее важна, чем в поперечном его сечении. Если технические и технологические мерыпо повышению равномерности поля в поперечном сечении не принимаются,то по завершении сушки разброс конечной влажности будет более существенным для разных досок, чем разброс влажности в пределах сечения одной доски.

В случае волнового распределения поля каждая доска будет иметьбольшой разброс конечной влажности по длине. После выгрузки из камерыпод действием сорбции и десорбции влажность постепенно выравнивается,но этот процесс сопровождается ростом сушильных напряжений и короблением, что не желательно с точки зрения качества сушки.Для математического описания волновых свойств поля также принятодопущение о монохромности, что дало основание использовать символический метод к первым двум уравнениям системы (2.1): = i ωε E ;rot Ha(2.41),rot E   i ωμ a H(2.42)55ε a  ε 0ε(1  i  tg )  i σ;ωμ a  μ 0μ(1  i  tg м ) ,(2.43)(2.44)где  м – угол магнитных потерь.Уравнение (2.43) объединяет параметры среды, определяющие плотности тока смещения и тока проводимости.Затем найден ротор от обеих частей уравнений (2.41) и (2.42): = i ωε rot E ;rot rot Ha(2.45).rot rot E   i ωμ a rot H(2.46) =  2H и rot rot E    2 E [62], то подстановка вместо роТак как rot rot Hторов в правых частях (2.45) и (2.46) их значений по (2.41) и (2.42) позволяетполучить уравнения отдельно для каждого вектора: = i ωε (i ωμ H) ; 2 Haa(2.47) . 2 E   i ωμ a (i ωε a E)(2.48)С учетом (2.3) последние выражения сводятся к однородным волновымуравнениям Гельмгольца:  k 2 H = 0;2H(2.49) 2 E  k 2 E = 0 .(2.50)56Их решение должно удовлетворять граничным условиям Неймана иДирихле на металлических стенках, условию непрерывности тангенциальныхсоставляющих поля, условию Леонтовича на границе раздела сред, поглощающим граничным условиям на открытых участках [70].