Диссертация (Управление и контроль безопасного причаливания речных судов), страница 8

С целью обеспечения необходимой безопасности следует использоватьсигнал тревоги, сформированный в блоке контроля для выработки команды наснижение скорости поступательного движения вплоть до полной остановки.56Глава II. Синтез регуляторов автоматического управления движениемсудов при причаливании2.1.Анализ известных методов теории оптимального управления2.1.1.

Динамическое программированиеМетод динамического программирования, разработанный в 50-х годахамериканским математиком Р. Беллманом, представляет собой новый подходк решению вариационных задач[2]. Идея этого подхода состоит в том, чтооптимальное поведение рассматривается как функция состояния системы,описываемого с помощью значения фазовых координат xi (t ) в текущий моментвремени t. Беллман очень точно подметил связь между причинностью иоптимальностью для динамических систем в том смысле, что если изменениесостояния x(t ) любой динамической системы под воздействием входногоуправляющего сигнала u(t ) можно описать функциональным уравнением,характеризующим причинность:x (t )  f [ x (0), t   t ]  f [ f { x (0), t},  t ]то у оптимальной системы для описания изменения ее состояния,характеризуемого некоторой функциейS ( x, t )как степень достиженияподавленной цели, существует по аналогии такого же типа функциональнойуравнение лишь с той разницей, что достигается минимум или максимумцелевой функции при выборе управления u(t ) :S [ x (0), t   t ] (2.1)min [ S { x (0), t }, u ( t ),  t ]u (t )При этом выбор управления на отдельном шаге производится с точкизрения интересов не только данного шага, но и всего процесса в целом как натекущем, так и на всех последующих шагах.ИсходяизэтогоБеллманомбылсформулированпринципоптимальности: каковы бы ни были начальное состояние и начальное управление, последующие управления должны быть оптимальными относительносостояния, являющегося результатом применения первого управления.57Принцип оптимальности можно также сформулировать следующим образом:оптимальное поведение не зависит от предыстории системы, а определяетсятолько начальным (к данному моменту времени) условием и конечной целью,и текущее управление должно выбираться с учетом последствий в будущем.Классическим примером оптимального поведения является стратегия бегунана дальнюю дистанцию.

На старте бегун составляет график своего бега так,чтобы пройти дистанцию за минимальное время. Это не значит, что каждыйучасток он должен бежать как можно быстрее. Наоборот, находясь надистанции, он в каждый момент времени должен распределять свои силы так,чтобы с учетом своего состояния пробежать оставшийся участок заминимальное время, чему может соответствовать и бурный финиш в концедистанции.Динамическому программированию органически присуще решениезадач, дискретных по своей природе в силу рекуррентности последовательноговыбора управления в многошаговой процедуре оптимизации.

Заметим, чтопринципоптимальностисправедливкакдлянепрерывныхдетерминированных, так и для стохастических процессов управления,благодаря чему динамическое программирование может широко применятьсяв ряде кибернетических задач [1, 26, 50].Несмотря на кажущуюся простоту принципа оптимальности, из негоможно вывести ряд нетривиальных условий оптимальной траектории.А) Дискретная форма динамического программированияИзучение метода начнем с решения одномерной задачи, когда управляемый автономный одномерный объект описывается либо в дискретнойформе:xl 1 x   ( x , u ), l  0,1, ....kll lлибо в дифференциальной форме:x  f ( x, u ),которой соответствует разностное уравнение:58(2.2)xl 1 x  f ( x , u ) tll l(2.3)u – ограниченное в общем случае управление, т.е.

umin  u  umax ;1t – дискрет времени, равный ( tk  t0 ) .kПри заданном начальном состояний x(t0 ) объекта и свободном правомгдеконце необходимо за фиксированное время (tk  t0 ) обеспечить минимумзаданного функционала:tkJ kf0 ( x, u )dt f0 ( xl , u l ) tl0t0или в виде аддитивной целевой функции:kJ F ( xl , ul ) l0m in(2.4)u l , l  0 ,...., kТаким образом, J есть функция (к + 1) выбираемых переменных u l ,присутствующих в (к +1) уравнениях связи, т.е. можно попытаться решитьзадачу с помощью множителей Лагранжа.

Однако это сложно из-за большойразмерности задачи, поэтому применим иной подход [5, 25, 53].Выведем сначала функциональное уравнение Беллмана [2, 6, 15, 29],рассуждаяследующимобразом.Пустьминимизируемоезначениефункционала J в начальный момент времени определенным образом зависитот начального состояния системы, т.е.

от t0 и x(t0 ) . Обозначим эту зависимостьчерез S[ x(t0 ), t0 ] , называемую функцией Беллмана, понимая под этим не любоезначение функционала, а его минимум при оптимальном поведении системы.Представим теперь, что система функционировала некоторое время  t ,в результате чего к моменту t 1 она пришла в новое состояние x ( t1 ) .

Тогда,согласно принципу оптимальности, оставшееся значение минимизируемогофункционала:tkf0 ( x, u )dtt159как результат последующих оптимальных действий есть также функцияБеллмана S [ x (t1 ), t1 ] , но уже зависящая от новых значений x (t1 ) и t1 . Теперьосталось связать функции S ( x0 , t0 ) и S ( x1 , t1 ) , друг с другом, представивпоследствия от выбираемого управления u0 в промежуток времени t1  t0 в видедвух слагаемых – потерь Fo ( x0 , u0 ) внутри данного шага и потерь на всехпоследующих шагах вплоть до конца решения задачи, зависящих от и u 0 ,потому что последствия в будущем определяются новым состоянием x1 ,которое согласно формуле (2.2) описывается выражением:x1  x 0   ( x 0 , u 0 )Поэтому, преследуя цель минимизации суммарных потерь, как текущихтак и последующих, можно записать:S ( x0 , t0 )  min{F0 ( x0 , u0 )  S [ x0   ( x0 , u0 ), t0  t ]} u0 min{F0 ( x0 , u0 )  S ( x1 , t1 )}u0Рассуждая аналогичным образом при переходе к следующему шагу отмомента t 1 к моменту t 2 и т.д.

к моменту t l , можно записать следующеефункциональное уравнение:S ( x , t )  min{F ( x , u )  S [ x   ( x , u ), t  t ]}l lll l lul 1 l lРазвивая этот же подход применительно к многомерному неавтономному объекту, можно получить функциональное уравнение Беллмана:S [ x (t ), t ]  min { F [ x ( t ), u ( t )]  S [ x ( t, u ), t]}l llr ll 1 r l 1u r ( tl )(2.5)Пошаговый выбор управления с помощью уравнения (2.5) удобен длярасчетов на ЭВМ. В этом случае численное решение обычно осуществляют справого конца задари. Поскольку краевые условия на правом конце неопределены однозначно, то расчеты начинают, задавшись множествомзначений вектора xn (tk ) , разбивая, например, диапазон возможных значенийxi (tk ) на R - 1 участков. В результате для каждого из R60nвариантов конечногосостояния определяется единственное управление ur (tk ) на последнем шаге (впредположении, что управления на остальных шагах будут найдены позже),поскольку при заданном xn (tk ) только от него зависит последнее слагаемое вфункции (2.4):S k ( x n )  min{ F [ x (t k ), u r (t k )]}u r ( tk )(2.6)Эта операция проводится также численно, например путем разбиениякаждого из диапазонов возможных значений и u j на (М -1) участков, чтообразуетMrвариантов управления.

Результаты наилучшего вариантазапоминаются, а именно для каждого из Rn вариантов фиксируются тривеличины – вектор состояния xn (tk ) , оптимальное управление ur (tk ) и минимумцелевой функции S k . Таким образом, в памяти ЭВМ хранится (n  r 1)Rn чисел.На следующем шаге, являющемся уже типичным для расчетов, сноваформируются варианты состояния xn (tk 1 ) , а затем для каждого из них численноопределяется управление ur (tk 1 ) , но уже исходя из минимума суммы двухслагаемых, причем второе слагаемое отыскивается в памяти ЭВМ всоответствии с переходом из xn (tk 1 ) в xn (tk ) :S k 1[ x n (t k 1 )]  min { F [ x n (t k 1 ), u r (t k 1 )]  S k [ x n (t k )]}u r ( t k 1 )(2.7)где x n (tk )  xn (tk 1 )  [ xn (tk 1 ), u r (tk 1 )] .Результаты расчета для нового шага также запоминаются в ЭВМ.