Автореферат (Математическое моделирование процессов нелинейного деформирования составных конструкций каркасного типа при комбинируемых воздействиях), страница 3

Дифференциальные операторы аппроксимируются разностными второго порядка. Для каждогоэлемента составной конструкции в области непрерывного изменения аргументаx (0≤x≤ l) вводится основная сетка с шагом x=const, узлы которой имеют целочисленные индексы i, а также вспомогательная сетка с дробными индексами(i1/2), узлы которой лежат посередине между узлами основной. В узлах основной сетки функциям обобщенных перемещений uk(x), скоростей u k (x) инагрузок qk(x) сопоставляются сеточные функции uk(i), u k (i) и qk(i).

С узламивспомогательной сетки сопоставляются сеточные функции параметров НДС.При решении физически нелинейных задач для определения состояния армирующих элементов (упругое, пластическое, нагрузка, разгрузка) вводятся сеточные функции интенсивности деформаций для нижнего (ei)a1(i1/2) и верхнего (ei)a2(i1/2) слоя арматуры при z=z1 и z=z2 соответственно (рис. 6).- 13 -z[ei]a2l=Lz=+h/2h2z2zli-1ii-1/2i+1hbxi+1/2z1h1l=1[ei]a1z=-h/2Рис. 6При вычислении напряжений в бетоне элемент разбивается на заданноечисло L слоев по толщине (рис.

6). Если нормальные напряжения в l-ом слоебетона с координатой z=zl превышают (  bz )l ≥Rbt, то полагается, что в слое рассматриваемого поперечного сечения балки возникла трещина. Сеточные функции усилий и моментов в поперечном сечении k-го элемента железобетоннойсоставной конструкции определяются численным интегрированием напряжений в арматуре и бетоне.Для построения разностных аналогов уравнений равновесия и движенияэлементов составных конструкций каркасного типа используется вариационноразностный метод, что позволяет получать консервативные разностные схемы.Вариационно-разностная схема получается при варьировании дискретизированного функционала Лагранжа, который для расчетной области элементасоставной конструкции 0≤x≤ l можно представляется в виде суммыЭ    (П i  A i ),(12)iгде Пi и Аi - потенциальная энергия деформации и работа внешних сил в сеточной области на элементе Fi=x.

При выполнении численного интегрированияв (12) вводятся весовые коэффициенты, учитывающие размеры области интегрирования при отображении соответствующей части элемента на сеточнуюобласть. Разностные аналоги уравнений равновесия (5), вытекающие из условий минимизации функционала (12)- 14 -Э  0;u iЭ 0;w iЭ 0, i(13)можно представить в операторном виде[Lx (u k ; q k )]i  0,(14)где [Lx (u k ; q k )]i - соответствующие конечно-разностные операторы для вектора сеточных функций перемещений и нагрузок.При численном решении нестационарных задач в области t0 вводитсяосновная сетка t(n)=tn (t=const, n0), с узлами которой соотносятся сеточныефункции перемещений uk(i). Сеточные функции скоростей u k (i) соотносятся сузлами вспомогательной сетки t(n1/2).

Конечно-разностные аналоги уравненийдвижения (6) вытекают из вариационно-разностных уравнений вида (13) I[u k ]i(n) 0,(15)где дискретная форма функционала I представляется суммированием по сеточной области t(n). После выполнения соответствующих преобразований конечно-разностные аналоги уравнений движения (6), аппроксимированные относительно узловой точки i, можно представить в операторной форме как{f *[Lx (u k ; q k )]}i(n) * ** *[f 22c m k u k ]i(n 1/2)  [f11c m k u k ]i(n 1/2),t(16)где через [Lx(uk;qk)] обозначены левые части разностных аналогов уравненийравновесия (14).

Для регулярной в сеточной области t(n) узловой точки с индек**сом n>0: f11= f 22= f*=1. Уравнения (28) позволяют описать переходные процес-сы при изменении во времени не только нагрузок, но и физико-механическиххарактеристик материалов, массовых характеристик и геометрических параметров элементов конструкций, что имеет существенное значение при расчетежелезобетонных каркасных конструкций с учетом процессов трещинообразования в бетоне и упруго-пластической работы арматуры.Рассмотрены особенности конечно-разностной аппроксимации условийсопряжения элементов монолитных и сборных каркасных конструкций, а такжеособенности аппроксимация начальных условий.- 15 -T**M**T2-1№2i=1iCQ**M2-1wQ2-1uq1Bq3BT3-1№3i=1iBq2BM3-1uwQ3-1№8№1i=1Рис.

7При построении дискретных моделей для составных конструкций (рис.2,4) полагается, что начальный (i=1) и конечный (i=N) узлы несущих горизонтальных элементов сопрягаются с соответствующими узлами основной сеткивертикальных элементов (рис. 7).Разработана дискретная модель для конструкции на амортизированномфундаменте. При расчете конструкций на сейсмические воздействия для общего случая, когда инструментальная сейсмограмма характеризуется функцией,имеющей сложный, высоко градиентный вид, разработана процедура аппроксимации сейсмограммы с помощью сплайн-интерполяции.

Для частного случаяпри моделировании сейсмического воздействия предложена методика, основанная на аппроксимации параметров сейсмических волн набором тригонометрических функций, заданных на соответствующих временных интервалах.В третьей главе разрабатываются и развиваются численные методы решения нелинейных начально-краевых задач для составных конструкций кар- 16 -касного типа. Для решения сеточных аналогов уравнений равновесия используется квазидинамическая форма метода установления, для которой в сочетании с дискретизацией задачи МКР сеточные аналоги уравнений равновесия(14) заменяются на уравнения, совпадающие по форме с уравнениями движения элемента конструкции в вязкой среде вида[Lx (u k ; q k )]i  (c*m k u k )i  (c* k u k )i ,(17)где k(i)- параметры удельной вязкости искусственной среды (k=1,2,3). Аппроксимация нестационарных уравнений (17) для i-го узла на сетке с шагомt=cons приводит к итерационному процессу для определения скоростейu k i(n 1/2)на временном слое t(n+1/2) и сеточных функций u k i(n 1) на слое t(n+1) (n 1/2)u k i2t  L x (u k ; q k )i 2m   k t (n -1/2) ku;k ic*i  2m k   k t i 2m k   k t  i(n )u k i(n1)  u k i(n)  t  u k i(n1/2).(18)Таким образом, использование метода установления в форме (17) позволяет свести решение исходной нелинейной статической задачи (14) к решениюквазидинамической (17) посредством итерационного процесса (18), что значительно упрощает построение и реализацию вычислительного алгоритма решения статической задачи.

Параметры итерационного процесса определяются изусловия ускорения сходимости и устойчивости разностной схемы k  2 a  ,( k )m k 1,( k )  2,( k )1,( k )   2,( k );t k  2at,(k )mk,1,(k)   2,(k)(19)где 1,(k) и 2,(k) - наименьшие и наибольшие собственные числа для разностныхоператоров в уравнениях (14); a,(k) и at,(k) - близкие к единице поправочные коэффициенты. Шаг по времени t для всей РС в целом определяется из условиявида t=mintk. В рамках линейных упрощенных соотношений на основе спектрального признака получены оценки 1,(k) и 2,(k) как для конструкций из композитов, так и железобетонных конструкций. Разработан метод ускорения сходимости метода установления путем введения весовых коэффициентов ak в параметры массовых характеристик k=ak из условия tk=tmax.- 17 -Для численного решения конечно-разностных аналогов уравнений движения элементов составных конструкций используется явная двухслойная разностная схема по времени второго порядка аппроксимации.

Параметры вязкости k могут быть использованы для учета диссипации энергии и оценены как k  a  ,( k )km k 1,( k )  2,( k )1,( k )   2,( k )(20),где k- логарифмический декремент колебаний, a,(k) - поправочные коэффициенты. Построены численные решения статических и динамических задач длясоставных конструкций на амортизированном фундаменте и предложена методика оценки оптимальных значений параметров вязко-упругих АЭ. Интегральное значение жесткости cz определяется по заданному соотношению kf междучастотой ff свободных колебаний амортизированной фундаментной плиты ипреобладающей частотой fsw сейсмической волны как2c z  4 2  k 2f  f sw m f  k 2f 4 2  m f.2Tsw(21)Интегральное значение вязкой компоненты v определяется по отношению к величине вязкости для случая предельного апериодического движенияамортизированного фундамента, характеризуемому коэффициентом k0 v  2  k  cz mf ,(22)где k=1 соответствует случаю предельного апериодического движения.Применение квазидинамической формы метода установления для решения статических задач в сочетании с явной схемой решения нестационарныхзадач приводит к единой разностной схеме для решения как статических, так идинамических задач, что позволяет без перестройки вычислительного алгоритма эффективно исследовать особенности деформирования конструкций приразличных видах комбинированного нагружения.Четвертая глава посвящена исследованию нелинейных процессов деформирования составных конструкций каркасного типа при комбинированныхвидах нагружения.

Разработанные математические модели и численные методырешения нелинейных начально-краевых задач были практически реализованы в- 18 -прикладных программ на языке FORTRAN-IV применительно к персональнымЭВМ серии Pentium с 32-х и 64-х битовыми процессорами. Достоверность разработанных математических моделей подтверждена хорошей сходимостью иточностью численных решений в зависимости от параметров сетки при сопоставлении с известными аналитическими решениями тестовых задач. На примере решения задачи о поэтапном нагружении защемленной железобетоннойбалки равномерно распределенной нагрузкой до уровня возникновения пластических деформаций в арматуре и последующей разгрузкой с определениемостаточных деформаций и прогибов было проведено исследования влиянияучета физической нелинейности на особенности деформирования несущихэлементов каркасных конструкций.Исследовано влияние интегральных характеристик вязкоупругих амортизирующих элементов на особенности процессов нелинейного деформированиястатически нагруженной железобетонной каркасной конструкции при динамическом воздействии, моделирующем горизонтальную компоненту сейсмической волны.