Автореферат (Некоторые задачи эволюции движения деформируемого спутника в центральном гравитационном поле сил), страница 3

Инерциальная, Кёнигова и вмороженная системы координатСоотношения (15) однозначно определяют радиус-вектор R(t ) центра масс Cдеформированного шара и систему координат Сx1x2 x3 , относительно которой шар в15интегральном смысле не вращается. Матрица O(t) определяет переход от системыкоординат Сx1x2 x3 , связанной с шаром, к осям Кёнига С1'2'3' .Для описания поступательно-вращательного движения шара используютсяпеременные Делоне [4]:L  M a ;   M a(1 e2 );  cos i  H ;l  w  e sin w; g  ; h  ,и Андуайе – I1, I2 , I3,1,2 ,3 . Уравнения движения представляются в формеуравнений РаусаL  l R;   g R; H  h R;(16)l  L R; g   R; h  H R;Ii  i R; i  I R; i  1,2,3;i d (u R) u R u D  λ1   u  λ2rot  udx  0 , dt (17)причем уравнение (17) совпадает с вариационным принципом Даламбера-Лагранжа исодержит два неопределённых множителя Лагранжа λ1 и λ 2 , а функционал Раусаимеет вид:R 2 M 3  1 (G  G , J 1(G  G ))  1 u2  dx uu2222L+12 R3 [(r + u)2  3(R0 , O(r + u))2 ] dx  E[u] .(18)Далее в работе показано, что оба неопределенных множителя Лагранжа равны нулю,а уравнение, определяющее упругие перемещения можно преобразовать к виду:E[u1]  E[u1]  A2 I 22 e2 [e2  r]  2r 3 1 0 3 [O R [O 1R0  r]] .3RR(19)Уравнение (19) – линейно, поэтому его решение можно представить как суммучастных решенийu1(r, t)  u11(r)  u12 (r, t)  u13(r, t) ,удовлетворяющих уравнениямE[u11]  A2 I22[e2 [e2  r]];16E[u12 ]  E[u12 ]  E[u13]  E[u13]  2 r;R3(20)3 1 0[O R [O 1R0  r]] .R3Решения (20) приведены в работе [5]:u11(r)   I22 A2 3(1) 1(2 )u*( 1(2 ) 3(1)r) ,u12 (r, t )  2 R3 (1  )(1 2 ) r 2  3  r02  1  3 R l  r ,1   R l 10(1  ) u13(r, t )   (  )nn0n u130 (r, t ),t n(21)u130 (r, t )  3 R3O11(t )u*(O1(t )r) 1   3 R l  ,R l O1(t )    ( )1(i )3 (h)O(t ) ,103 01 0 1 00 0 1 ,1 0 0u*(r)  [( B1r, r)B2  ( B3r, r)B4  B5]r, B1  diag{b1, b2 , b3},B2  diag{1,1,0}, B3  diag{a1, a2 , a3}, B4  diag{0,0,1},B5  diag{c1, c2 , c3}, b1  (4  3  5 2 ) ( ),b2  (9  8  5 2 ) ( ), a1  2(3  ) ( ), a2  (1  3 ) ( ), ( ) 2231 , c1  r02 12  8 12 2 , c2  r02 3 18  3 102 .5(1 )(5  7)35 10  2535 10  25Функция u11(r) описывает осесимметричную деформацию вследствие действияцентробежных сил инерции; функция u12 (r, t) описывает сферически-симметричнуюдеформацию, а u13(r, t ) - нестационарную деформацию (вследствие гравитации).Вначале проведено исследование влияния только осесимметричной деформации наэволюцию движения шара.

Уравнение для угла g после усреднения по быстрым угламl и 3 приводится к видуg  3 2 I22 A21(1 e2 )3/2 p3[6D1  D2 ( 23 (3  4sin2 i)  4sin2 i 1)] .Смысл этого уравнения в том, что оно описывает вращение перицентра орбитышара, вследствие осесимметричных деформаций. Поскольку члены, определяющие17скорость изменения перицентра, не зависят от диссипативных сил, то эту эволюциюможно трактовать как быструю.Уравнение для угла h после усреднения по углам l и 3 также упрощаетсяh  32  2 I22 A21(1 e2 )3/2 p3D2 cos i[2  3sin2 1] .Данное уравнение показывает, что влияние деформаций обуславливают такжебыструю прецессию плоскости орбиты шара.Исследованиевлияниясферически-симметричнойдеформацииu12 (r )показывает, что она окажет влияние на угловую скорость вращения перицентраорбиты в ее плоскости.Четвертая глава продолжает исследования главы 3, в ней рассмотреновлияние на эволюцию третьего члена в выражении вектора упругих перемещенийu13(r ) , приведенного в главе 3 в (21), а именно, отвечающего за гравитационныеприливы.

В главе получены уравнения, учитывающие все виды деформаций, дляупрощения они усреднены по переменным l и 3 и имеют вид:I1 I1I2I2 ;1111I 2  nk  n A (1  e )2 3/2I 3  nk  n A I 3 (1  e )22 I 22  I 32I 2  3I 3I2 (e) 4 (e, g )sin i   3  2 (e) cos i  ;12I 2 2I 2 I22 3/ 21 (e)   4 (e, g ) sin 2 i    2 (e) cos i ;1  0;  nk  n11 (e) cos i   (e);2 3/ 2L  nk  n A I 3 2 (e) cos i  (1  e )11A I 3 (1  e )2 3/ 2 3 (e) ;1(22)2H   I3;1g  K  [6 D1  D2 ( 23 (3  4 sin i )  4 sin i  1)]hK22121D2  cos i[2  3sin 1 ]  k2 A I 3  (1  e )2-12 3/ 232e  14 e24.Из седьмого уравнения (22) следует, что проекция кинетического момента системы наось 3 Кёниговой системы координат С123 сохраняется:18H  I 3  H 0  const .Сохраняется также вектор кинетического момента системыΛ  G  const .Здесь через Λ обозначен вектор орбитального кинетического момента, а через G вращательного.

Из системы (22) видно, что угол 1 не эволюционирует, углы g и hбыстро меняются, а эволюция остальных переменных происходит медленно, так каких производные пропорциональны малому параметру χ). Это позволяет усреднитьсистему (22) еще раз по углу g, вследствие чего она приобретет вид:I1 I1I2I2 ; I 22  I 32 I 22  3I 32 2  I 3 1 12 3/ 2I 2  nk  n A (1  e ) 1 ( e) sin i    2 ( e) cos i  ;4I2 2I2 I2I 3  nk  n 1 A1I 3 (1  e2 )3/ 2 1 (e) 1  12 sin 2 i    2 (e) cos i ;1  0;  nk  n(23) ( e) cos i   ( e);L  nk  n 1 A1 I 3 2 (e) cos i  (1  e2 ) 3/ 2  3 (e) ;1A1 I 3 (1  e2 )3/ 212H  I 3  H 0  const .Будем искать стационарное решение (23). Из условия   0 выведем, что11n A I3  2 (e)(1  e )2 3/ 21 (e) cos i,(24)а из L  0 с учетом (24) получим  22 ( e)  1 ( e) 3 ( e)  0 , а потому e  0 что в своюочередь влечет L   . Это означает, что орбита центра масс шара в стационарномдвижении становится круговой.

Из (24) также следует I 3 A1 cos i  n , а это означает,что угловая скорость вращения шара совпадает с его орбитальной угловой скоростью,а вектор собственного кинетического момента шара ортогонален плоскости орбиты.Заметим, что эффекты долгопериодической эволюции непосредственно связаны19именно с диссипацией энергии в вязкоупругом материале шара, что отражается вналичии коэффициента χ, характеризующего вязкость в правых частях уравнений (22).Пятая глава.

Здесь ставится задача о вычислении частот приливов на ЗемлевследствиевлиянияЛуныиСолнца(рис4).Земляпредставляетсякакосесимметричное тело, состоящее из твердого ядра и вязкоупругой мантии. Навнутренней границе мантии перемещения отсутствуют, а внешняя границасвободна. Начало инерциальной системы координатO123 помещается впритягивающий центр (Солнце), с барицентром C системы Земля - Лунасвязываются оси Кёнига O1'2' 3' .Рис 4.

Барицентр системы Земли – Луна, движущийся по эллиптической орбитевокруг СолнцаЗадается движение барицентра:RC  RC0 RC ,RC  p(1  e cos ) 1 .Аналогично представим вектор R21  R210 R21 - от Луны к Земле, причем cos w1 cos 1  sin w1 sin 1 cos i 0R21   cos w1 sin 1  sin w1 cos 1 cos i  , w1  1  1 .sinwsini11Потенциальную энергию Земли представим в виде20  S  MS  fM [(O RC  O 1 R1  r  u) 2 ]1/ 2M  1fm2 [(O 1 R21  r  u) 2 ]1/ 2(25)dxdx .Здесь  S - потенциальная энергия Земли в гравитационном поле Солнца, а  M - вгравитационном поле Луны, Ω - область, занимаемая недеформированной Землей восях C1 x1x2 x3 , M – масса Солнца, m1 - масса Земли, m2 - масса Луны, O 1 (t ) - матрицаперехода от инерциальной системы координат с началом в центре масс Земли, ксистеме координат C1 x1x2 x3 , жестко связанной с твердым ядром Земли.Из принципа Даламбера – Лагранжа, применяя модальный подход, выводимквазистатические уравнения для модальных переменных: 202 q20   b 202 q20  2 203 p20 3 fm2 202 p20   b 202 p20  2 203q20 3 fm2321R321R( 1 2 )(b2021  b2012 ) (c2011 12  c2022 22 ) 3 fMR33 fMR3(1 2 )(b2021  b2012 )(26)(c201112  c2022 22 )В нашем случае, для получения качественного эффекта, мы ограниваемся толькодвумя модальными переменными q20 и p20 , которые описывают колебания наформах V20 и W20 , которые достаточно хорошо моделируют приливные горбы Земли.Опуская малые слагаемые, возникающие вследствие кориолисового ускорения,перепишем уравнения (26) в векторном виде 202 p   b 202 p  F ,гдеp  ( q20 , p20 )T , 3 fm2 (  )( b  b )  3 fM (  )( b  b ) 1 2202120121 2202120123 R3R21.F 3fM 3 fm22222 R 3 ( c2011 1  c2022 2 )  R 3 ( c2011 1  c2022 2 )  21(27)21Приближенное решение уравнения (27) может быть записано в видеp  p0   bp0(28)22где p0 - решение уравнения  20p0  F , то есть p0   20F.Разложим R21 и R в ряды по степеням эксцентриситета и ограничимсяслагаемыми не выше первого порядка.

Тогда справа в равенствах (28) получим рядыгармонических функций вида ( A cos ii Bi sin i ) ,(29)iимеющих аргументами  i комбинации углов  , w, w1, , w     . Эти комбинациии будут определять частоты приливных деформаций. В частности, имеютсякомбинации следующего вида2 , 2w1,  ,w1  w   ,2w   ,2w   ,определяющие периоды в половину суток, половину месяца, период нутации осиЗемли (чандлеровский период), два близких к месяцу, два близких к полугодию. Этипериоды согласуются с известными периодами океанических итвердотельныхприливов Земли. Кроме того, имеется также большое количество более сложныхкомбинаций, соответствующих периодам, близким к полусуточным, например2  2w1, 2   , 2  2 , 2  2w1   , 2  2w1  2 ,2  w  w1, 2  w  w1   , 2  w  w1  2 ,2  2w, 2   , 2  2 , 2  2w   , 2  2w  2 ,2  w1  1, 2  w1  1 2  3w1  1, 2  3w1  w1,2  w1  1   , 2  3w1  1   , 2  3w1  1   ,2  w1  1  2 , 2  3w1  1  2 , 2  3w1  1  2 ,2    w1, 2  2w    w1, 2  2w    w1,2  2w  w1  1   , 2  2w  w1  1   , 2  2w  w1  1   , …полумесячным2w1   , 2w1  w  , 2w1  w  , 2w1  w     , 2w1  w     ,2w1  w     , 2w1  w     ,22месячнымw1  2w  1   , w1  2w  1   ,и чандлеровским  w1  1,   w1  1,   w1  1,   w1  1 .Имеются также и комбинации с другими периодами, например:3w1  1, 3w1  1   ,  w  ,   w   .Хотя уравнения (28) позволяют также выписать формулы для амплитудприливов, соответствующих различным периодам, но эти коэффициенты требуютзнания собственных форм колебаний Земли, точной фигуры Земли, коэффициентовЛаме, диссипативного коэффициента, и поэтому, более просто, могут определяться изрезультатов наблюдений.