Автореферат (Некоторые задачи эволюции движения деформируемого спутника в центральном гравитационном поле сил), страница 2

Основные результаты диссертации докладывались на научныхсеминарах и научных конференциях.Публикации: Научные результаты диссертации опубликованы в статьяхжурналов из списка ВАК [1-3].Результаты работы докладывались и обсуждались на:- Международной конференции по математической теории управления имеханике. Суздаль, 5-9 июля 2013 г.- Международной конференции по математической теории управления имеханике. Суздаль, 3-7 июля 2015 г.- Семинарах под руководством проф. Б.С.

Бардина и проф. П.С. Красильникована факультете "Прикладная математика и физика" Московского авиационногоинститута.Личный вклад автора: Содержание диссертации и основные положения,выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованныеработы, и получены либо лично автором, либо при его непосредственном участии.Подготовка к публикации проводилась совместно с соавторами, причем вкладдиссертанта был определяющим.Структура и объем диссертации: Диссертация состоит из введения, пяти глав,заключения и списка литературы. Она содержит 120 страниц машинописного текста,включающего 7 рисунков и список литературы из 59 наименований.7СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫВо введении обоснована актуальность темы диссертации, ее научная новизна ипрактическая значимость.

Определены цели и задачи исследований. Представленыосновные положения, выносимые на защиту. Показана структура и содержаниедиссертации. Приведена общая характеристика диссертационной работы.Первая глава является вспомогательной. В ней содержатся сведения,использующиеся в последующих главах. Приводится обобщение вариационныхпринциповГамильтона-ОстроградскогоиДаламбера-Лагранжанамеханикудеформируемого тела.

Принцип Даламбера-Лагранжа представляется в виде [1]:1 (r   E  f ) r dx   F rd  0(1)Далее уравнение (1) систематически применяется для получения уравнений дляупругих перемещений в большинстве задач данной диссертации.В данной главе изложен подход к построению функционалов внутреннихупругих и диссипативных сил в деформируемых телах. Здесь же рассматриваетсямодель линейной теории малых деформаций, а также модель линейной теориивязкоупругости. Кратко рассмотрен вопрос выбора связанной системы координат.

Вглаве рассмотрен модальный подход при получении уравнений динамики, когдавектор упругих перемещений представляется в виде ряда по собственным формамколебаний:u   qk (t )  Uk (r ) .(2)k 0Также в конце главы кратко приведены обобщения классических уравненийЛагранжа, Гамильтона и Рауса на механику деформируемых систем. Уравнения Раусадалее применяются в главах 2, 3 и 4 диссертации.Вторая глава посвящена исследованию задачи об эволюции вращательныхдвижений относительно центра масс спутника, движущегося по неизменяющейсяэллиптической орбите вокруг притягивающего центра. Спутник предполагаетсяосесимметричным, состоящим из абсолютно твердой и вязкоупругой частей.Вязкоупругая часть представляет собой полусферическую антенну, с осью симметрии8в недеформированном состоянии, совпадающей с осью симметрии твердой части(рис.1).В инерциальной системе координатO123 с началом в притягивающем центре Oорбита центра масс спутника лежит в плоскостиO12 .

Движение центра масс Сспутника задаётся его радиус-векторомR = R0 RR 0 = cos ξ10  sin ξ 02R0 (1  e cos  )2(3)(1  e2 )3/2a(1  e2 ).1  e cos Рис 1. Спутник с полусферической антеннойФункционал потенциальной энергии гравитационного поля представляется в виде:3U    R 3  [3(O 1R0 , r )(O 1R0 , u)  ( r , u)] 2dx   R 3  (O 1R0 , r )2  dx.2ΩΩ2При помощи принципа Даламбера-Лагранжа выводится система уравнений длямодальных переменных qk (t ), pk (t ) : k2 qk   b k2 qk  (ω [ω  r ],Vk )  (ω  r ,Vk ) R3 pk   b pk  (ω [ω  r ],Wk )  (ω  r ,Wk ) 2k2k(r ,Vk ) R33R3(r ,Wk ) ((O 1 R0 ,Vk )(O 1 R0 , r ))  03R311((O R ,Wk )(O R , r ))  0.00k=0,1,2,..

.(4)9Здесь Vk и Wk – ортонормированные собственные формы. В соответствие с методомразделения движений Вильке [1] в уравнениях (4) отброшены инерционные члены,т.к. используется квазистатическая постановка задачи определения деформаций.Формы, найденные Рэлеем [2] для тонкой полусферической оболочки можнопредставить в цилиндрических координатах в виде:Vk  Uk sin k ,Vk cos k ,Wk sin k  ,Wk  Uk cos k , Vk sin k ,Wk cos k  .(5)Формулы (5) позволяют упростить уравнения (4) и привести их к виду: 02q0   b 02q0  23b021 ,12q1   b12q1  [b123  b132 ](23  3 R3 2 3)  1[b123  b132 ] ,(6)12 p1   b12 p1  [b123  b132 ](13   R3 1 3 )  2[b123  b132 ] , 22q2   b 22q2  2(12  3 R31 2 )b212 , 22 p2   b 22 p2  [12  22  3 R3( 12   22 )]b212 , k2qk   b k2qk  0, k  3 , k2 pk   b k2 pk  0, k  3 .Система (6) имеет приближенное решение:q0  q00   bq00 , q00  2 023b021 ,p0  0 ,q1  q10   bq10 , q10  12 [[b123  b132 ](23  3 R3 2 3 )  1[b123  b132 ]] ,p1  p10   bp10 , p10  12[[b123  b132 ](13   R3 1 3 )  2[b123  b132 ]] ,(7)q2  q20   bq20 , q20  2 22 (12  3 R31 2 )b212 ,p2  p20   bp20 , p20   22[12  22  3 R3( 12   22 )]b212 ,qi  pi  0, i  3 .Для изучения движения системы как целого используются уравнения Рауса иканонические переменные Андуайе [1] I1, I2 , I3,1,2 ,3 (рис 2).10Рис 2.

Переменные АндуайеУравнения невозмущенного движения получаются при u=0 (спутник –твердый, деформаций нет):R 3 R 3 ( A  C ) 3 3 , i  1,2,3iiR1  10  3 R 3 ( A  C ) 3 3 ,10  I1 A1C 1 ( A  C )I1I1R2  20  3 R 3 ( A  C ) 3 3 ,20  A1I 2I 2I 2R3  3 R 3 ( A  C ) 3 3 .I3I3Ii  (8)Они описывают движение твердого спутника относительно центра масс какпрецессию оси симметрии вокруг вектора кинетического момента G, в свою очередьпрецессирующего вокруг нормали к плоскости орбиты [3].Уравнения Рауса, учитывающие возмущения от деформаций будут иметь вид:Ii   R*   R3{  3( (O 1R0 ), r )(O 1R0 , u)2dx   3(O 1R0 , r )( (O 1R0 ), u)2dx}iгдеiΩ21Ω21i(9)R*  (G, J G)  (G, J J J G)  (G, J Gu ) ,21021011100Gu   (r + u)  u dx ,J 0 - тензор инерции недеформированного спутника, J1[u] - линейная по uкомпонента тензора инерции.11Мы предполагаем спутник быстро закрученным.

В этом случае членывыражений (7), возникающие вследствие действия сил инерции, существеннопревосходят члены возникающие вследствие гравитации (приливные). Поэтомуэволюцию вращений можно разбить на два этапа – быструю и медленнуюприливную.Вначале, в § 5 рассматривается быстрая эволюция. Влиянием гравитационныхприливов на этом этапе пренебрегаем. Тогда получаем, чтоI 2  0,I3  0то есть переменные I 2 , I3 не эволюционируют. После усреднения по быстройпеременной 10  10t (угол прецессии оси симметрии спутника вокруг векторакинетического момента), получимI1   bA5C 12 (C  A)I1( I 22  I12 )[4( I 22  I12 )2  I121],(10)где1 12[b123  (2 AC 1 1)b132 ]2  0,22  22b212 0.Из уравнения (10) видно, что знак производной I1 определяется членом (С-A).

ЕслиС>A, то производная I1  0 и переменная I1 монотонно возрастает, в случае С<AпроизводнаяI1  0 и переменная I1 монотонно убывает. Стационарнымидвижениями уравнения (10) будутI1  I2 и I1  0 . Из уравнений в вариацияхследует, что первое стационарное движение I1  I2 асимптотически устойчиво приС>A и неустойчиво при С<A, а второе стационарное движение I1  0 асимптотическиустойчиво при С<A и неустойчиво при С>A.Итак, в результате быстрой эволюции вектор кинетического момента спутникаG будет либо при С>A стремиться занять положение вдоль оси симметрии Cx3 , либопри при С<A стремиться занять положение в экваториальной плоскости эллипсоидаинерции.12В § 6 рассматривается медленная эволюция под действием гравитационныхприливов. Быстрая эволюция считается закончившейся.

Изучается случай C>A,поэтому принято I1  I2 ,1  0 . Уравнения Рауса приводятся к виду:Ii   R3{  3(i (O 1R0 ), r )(O 1R0 , u)2dx   3(O 1R0 , r )(i (O 1R0 ), u)2dx}, i  2,3 ,Ω2Ω2и после подстановки решений уравнений для модальных переменных и отбрасываниявсех недиссипативных членов, принимают вид:Ii  3 b R32 31 [ R3 (1 3 )]32 [ R3 (12   22 )](1 3 )( 2 3 )  [ R3 2 3 )]ii (12   22 )(1 2 )  , 4[ R31 2 )]ii  i  2,3(11)Усредняя уравнения (11) по быстрым переменным 20  20t (угол 2 описываетпрецессию оси симметрии спутника вокруг вектора кинетического момента G),  0t , приведем уравнения (11) к видуI 2  k I 2 sin4 1( 1  42 )1 (e)  [1 sin2 1 cos2 1  42 cos4 1 1]2 (e) 423(e)  C0 cos1 sin2 1(42  1)4 (e)  425(e)  ,(12)I3  k C0 sin2 1 3sin2 1 ( 2  1)6 (e)   3  1 1  cos2 1( 2  1 )  0 (1  3sin2 1)  7 (e)  2 I 2 cos1 sin2 1(42  1)2 (e)  423 (e) C0 4sin4 1( 2  1)8 (e)  [cos2 1(42  1)  1]7 (e) ,где обозначено k  9 b 2 p62C 1 .Уравнения (12) позволяют изучать эволюцию вращений на временах порядкапериода прецессии вектора G вокруг нормали к плоскости орбиты центра масс.Однако, они все еще сложны для исследования.

Поэтому усредним их по переменной3 (углу прецессии кинетического момента относительно нормали к орбите).Предварительно выведем усредненное по   0t уравнение для угла 3 :133  3  p3(1  e2 )3/ 2 ( A  C ) I 21 cos1 .2Из данного уравнения видно, что переменная 3 изменяется гораздо быстрее угла 1 ,кроме того, угол 1 в течение одного оборота вектора G вокруг нормали к плоскостиорбиты совершает колебания с частотами 23 и 43 относительно некоторогосреднего значения 1 . Поэтому усредним уравнение (12) по 3 на периоде π.Усредненные уравнения примут видI2  k I 21(e)  1(1  2 x2  3x4 )  42 (3  2 x2  3x4 )  C04 (e) x 42 (1  x 2 )  1(1  x 2 ) ,I3  k 4 I 21(e) x (42  1)(1  x2 )  82  (13)C04 (e) ( 2  1)(1  x 2 )2  2 (42  1 ) x 2  1   ,x  cos1 .Впредположении малости орбитальной угловой скорости по сравнению сугловой скоростью вращения спутника, то есть1 C0 1,I2а следовательноC0  1I2 ,получим уравнение для x:x  k 41 x[42 (1  x2  2)  1 (1  x2 )] 1 x[42 (3  2 x2  3x4 )  1 (1  2 x2  3x4 )] 14 (1  x2 )2 (2  1 )  2  x2 (42  1 )  1   14 x2 42 ( x2 1)  1 (1  x2 ) Из вида уравнения (13) можно вывести, что I 2  0 и(14)I 2 убывает – осевоевращение спутника замедляется.

Из уравнения (14) следует, что знак x определяетсядвумя первыми слагаемыми (14). Выражение в квадратных скобках положительнопри -1<x<1, поэтому знак выражения определяется знакомx. Еслиx>0,следовательно, x  0 , и cos 1 убывает, то есть растет угол между G и нормалью кплоскости орбиты, вектор G наклоняется к плоскости орбиты. Если же x<0, то x  0 ,следовательно cos 1 возрастает и угол 1 уменьшается.

Поскольку угол 1 - тупой,то при убывании угла происходит переворот из обратного вращения в прямое.14Определим стационарные значения угла 1 , обозначив его через 10 . В этом случаев первом приближении получим:e)[1  2 ]x0  1 (4e()[4,  3 ]1210  arccos( x0 ).1Заметим, что уравнение (13) имеет еще два стационарных значенияx1  1, x2  1 . Из уравнений в вариациях следует, что оба они неустойчивы.Третьяглаварассматриваетзадачуобэволюциипоступательно-вращательного движения вязкоупругого спутника, имеющего форму шара идвижущегося вокруг притягивающего центра (рис 3).Движение точек шара задаётся векторным полем ξ = ξ (r, t)ξ(r, t) = R(t)+ O(t)(r + u(r, t)),R = 1  ξ  dx,MΩ(15) u dx =  rot udx = 0,ΩΩM=   dx, dx  dx1dx2dx3Рис 3.