Диссертация (Моделирование пространственных течений в газовых трактах с использованием адаптивных сеток), страница 2

На текущий момент моделирование процессовгазовой динамики находит широкое применение как в моделировании полётакосмических кораблей и баллистических ракет, так и в таких областях какокеанология, астрофизика, метрология и др. Развитие вычислительныхметодов и компьютерной технике позволяет рассчитывать течение невязкогоидеального газа в областях произвольной формы, но расчёт вязких теченийили течений газа со сложной термодинамической моделью до сих пор невыполняется с необходимой точностью и является задачей исследования.В связи с усложнением решаемых задач и необходимостью повышенияточности моделирования течения газа, возросли требования к построению7расчётных сеток, используемых для дискретизации расчётной области.Первоначальновкачестверасчётныхсетокиспользовалисьструктурированные сетки, однако, с усложнением расчётной геометрииусложняется задача автоматического построения такого вида сеток.

Длясложных геометрий на данный момент не существует автоматическогоалгоритма построения структурированных сеток, из-за чего исходнуюгеометрию часто приходится разбивать на блоки с более простой геометрией,для каждого из которых строится своя расчётная сетка. В связи сосложностью такого разбиения в качестве альтернативного подхода развилосьпостроение неструктурированной расчётной сетки, которая может бытьавтоматически построения с использованием современных алгоритмов дляпрактически любой геометрии с минимальным вмешательством человека.На протяжении последних 40 лет появилось множество методов,применимых к решению уравнений газовой динамики, однако сложностьпроцессов не позволяет выделить один метод, подходящий ко всемпроцессам. К основным методом относятся метод конечных разностей, методконечных объёмов, спектральный метод, метод частиц и метод конечныхэлементов [5].Спектральные методы отличаются высокой точностью вычислений.

Вэтом классе методов решение представляется в виде суперпозиции базисныхфункций, удовлетворяющих краевым условиям и образующих базис. Данныйметод не является универсальным, так как сходимость к решениюгарантированно достигается только для самосопряжённых задач [6]. Ктакомуклассузадачотносятсязадачисвободнойконвекцииитеплопроводности. В то же время задачи о течении вязкого газа не являютсясамосопряжёнными, в связи с чем сходимость метода очень сильно зависитот выбора базисных функций.8Метод конечных объёмов был впервые описан в 70-х годах в работеJameson and Mavriplis[22]. Впервые он был использован для моделированиятечения невязкого газа, подчиняющегося системе уравнений Эйлера, наструктурированной сетке, состоящей из треугольных ячеек, полученных врезультате деления каждой из ячеек прямоугольной сетки на две.Дальнейшее развитие этого метода последовало после предложенияГодуновым использования задачи Римана о распаде произвольного разрывадля вычисления потоков между ячейками [12].

Позднее Jameson предложилулучшение метода контрольных объёмов для увеличения точности решениянестационарных процессов, при помощи использования метода Рунге-Кутты.Barth and Jesperson [23] предложили процедуру восстановления параметровна временном слое и двухстадийный метод, позволяющий увеличитьпространственную точность решения уравнений газовой динамики нанеструктурированной сетке.Основной идеей метода контрольных объёмов является разбитиерасчётной области на элементарные элементы (контрольные объёмы), длякаждого из которых записываются закон сохранения массы, энергии иимпульса в интегральной форме. Изменение значений консервативныхпеременных внутри контрольного объёма вычисляется интегрированиемпотоков через его границы.В связи с использованием консервативной формы записи системыдифференциальных уравнений при расчёте величины массы, моментовимпульса и энергии сохраняются. Так же, нет необходимости вычисленияматрицы преобразования при переходе из одной системы координат кдругой.

Возможность использования метода контрольных объёмов как наструктурированных сетках, так и на неструктурированных, позволяетиспользовать данный метод для расчёта течений со сложными геометриями9расчётной области. В связи с этими свойствами метод конечных объёмов наданный момент нашёл широкое применение в различных областях [7].1.3.2. Дискретизация расчётной областиБольшинствометодов,применяющихсядлярешениядифференциальных уравнений газовой динамики, требует построениерасчётной сетки дискретизации расчётной области. Построение расчётнойсетки является важной составляющей частью метода и влияет на точностьаппроксимации дифференциальных уравнений и получаемого решения.Расчётные сетки делятся по виду на две большие группы: структурированные(регулярные) и неструктурированные.Традиционно,использоватьвкачестверегулярныерасчётныхсетокструктурированныебылопредложенорасчётныесетки.Структурированными расчётными сетками называются сетки, элементыкоторых могут быть однозначно заданы набором индексов.

Построение такихсетокподробнорассматриваетсявработах[25-26].Системыдифференциальных уравнений наиболее просто записывается в случаеиспользованиясеток,состоящихизпрямоугольныхэлементовнаповерхности и параллелепипедов в пространстве. Такие сетки являютсянаиболее эффективными с точки зрения использования машинных ресурсов,простотой задания шаблона при использовании в конечно-разностныхметодах и возможностью построения разностных схем высокого порядкаточности внутри расчётной области.

Однако, невозможность построениярасчётной сетки, совпадающей с границами расчётной области дляпроизвольной геометрии, вызывает проблемы с заданием граничныхусловий. Для решения возникающих трудностей с заданием граничныхусловий используется метод погруженных границ или криволинейныесистемы координат. При использовании метода погруженных границвозникаютсложностикаксконсервативностью10решаемойсистемыуравнений, так и с заданием граничных условий с порядком точности вышепервого. При использовании криволинейной системы координат ищетсяпреобразование,отображающеепространствотакимобразом,чтобыкоординатные линии расчётной сетки совпали с границами расчётнойобласти.

Решаемая система дифференциальных уравнений в этом случаезаписывается в криволинейной системе координат. Данные уравнениянесколькоупрощаютсяприиспользованииортогональнойсеткииконформных отображений, в результате которых тензор преобразования(матрица Якоби) будет иметь только диагональные элементы. На данныймомент задача поиска преобразования пространства для произвольнойгеометрии расчётной области не решена.

Так же необходимо отметитьсложность локального перестроения сетки, требуемого для выделенияособенностей течения или изменения геометрии расчётной области. Вбольшинстве случаем необходимо полное перестроение всей расчётнойсетки.Неструктурированные сетки не имеют выраженных направлений имогут быть построены для любой произвольной области. Как правило,элементами таких сеток являются: треугольные и четырёхугольные ячейки наплоскости, тетраэдры, треугольные призмы и гексаэдры в пространстве.Неструктурированныесеткиобладаютспособностьюадаптациикособенностям решения, возможностью построения расчётной сетки вобластяхсложнойгеометрии.Кнедостаткамотноситсясложностьпостроения разностной схемы для таких сеток в связи со сложностьюпостроения расширенного шаблона.

На текущий момент данный подходполучает всё более широкое распространение, в связи с появлениемалгоритмов генерации неструктурированных сеток для произвольныхгеометрий.11Стоит отметить, что в ряде случаев используются гибридные сетки,состоящиеизотдельныхструктурированными,такиблоков,которыемогутнеструктурированными.Вбытьэтомкакслучаерасчётный метод может включать в себя различные методы расчёта дляразличных блоков, а наибольшей сложностью является проблема сшивкиполученных решений на границах между блоками.1.3.3. Моделирования турбулентностиОдним из подходов к моделированию турбулентных вязких теченийявляется прямое решение системы уравнений Навье-Стокса.

Основной идеейэтого метода является решение уравнений на вычислительной сетке,разрешение которой по пространству и времени позволяет разрешитьзавихренности турбулентного течения. Данный подход очень важен визучении газодинамических течений, так как позволяет узнать любыепараметры течения в любой точке потока, что зачастую проблематично иливовсе невозможно достигнуть экспериментальным путём. В том числе этотметод используется для тестирования моделей турбулентности, основанныхна осреднённых уравнениях Навье-Стокса. Однако, в связи с высокойвычислительной сложностью, данный подход ограничен в применении. Дляпространственного и временного разрешения всех масштабов турбулентногодвижения необходимо, чтобы расчётная сетка была меньше колмогоровскогомасштаба длины 3     1/ 4, а временной шаг должен быть меньшимколмогоровского масштаба времени  k    .1/ 2 Таким образом, возрастание сложности расчёта методом прямогомоделирования с увеличением числа Рейнольдса можно оценить как 9N ~ O Re 4  .12На текущий момент методом прямого численного решения уравненийНавье-Стокса возможно моделирование только газодинамических течений снизкими числами Рейнольдса (Re ~ 10 24 в зависимости от используемойтехники) и очень простой геометрией.