Диссертация (Моделирование пространственных течений в газовых трактах с использованием адаптивных сеток), страница 9

Параметры набегающего потока: температура – 300К,давление – 101325Па, числа Маха – 6 и 10.Рисунок 3.1 - Обтекание угла в полубесконечном пространстве. Размерырасчётной области и изолинии числа Маха для М набегающего потокаравного 6.Средняя температура на поверхности уступа, перпендикулярнойнабегающему потоку, приведена в таблице 4. Решение данной задачи сиспользованием термодинамической модели идеального газа с постояннымпоказателем адиабаты (1) даёт сильно завышенное значение температурыторможения.

Учёт переменности показателя адиабаты воздуха при решениизадачи Римана оказывает пренебрежимо малоевлияние при решенииметодом Годунова первого порядка точности в связи с размазываниемотошедшей ударной волны на большое число ячеек. При использованиисхемы повышенного порядка точности ударная волна размазывается наменьшее число ячеек.6(1)2350.9Схема Годунова(2)2046.8(3)2045.7(1)2351.164TVD схема(2)2134.4(3)2116.9106124.74782.04759.06096.74862.04761.6Таблица 4. Температуры на поверхности уступа.Рисунок 3.2. Канал с сужением в форме клина.

Изолинии числа М. 1 – зона запервой ударной волной, 2 – зона после течения Прандтля-Майера, x1 –положение точки отражения первой ударной волны от стенки, x2 –положение точки отражения второй ударной волны от стенки.Рассмотрим теперь сверхзвуковое течение в канале (рисунок 3.2).Сужающаяся часть выполнена в виде клина с углом 30 градусов, высотаканала перед клином 0.1м, длина клина от начала 0.05м.

В таком каналеобразуется сложное течение, состоящее из присоединённого скачкауплотнения, течения Прандтля-Майера и отражённых скачков. В результатерасчёта сохранялись параметры течения в областях 1 (за первой ударнойволной число Маха М1) и 2 (после поворота потока за течением ПрандтляМайера число маха М2) и средние число <M> на выходе из канала.Результаты расчётов приведены в таблице 5.X1X2<M>M1M2(1)0.140.323.762.613.98Схема Годунова(2)0.160.354.443.144.21(3)0.160.354.443.144.21(1)0.140.313.742.654.11TVD схема(2)0.160.354.413.124.30(3)0.160.354.413.134.30Таблица 5. Параметры течения в сужающемся канале.Таким образом, для рассмотренных течений учёт изменения показателяадиабаты газа при решении задачи Римана целесообразен при решенииуравнений газовой динамики методами высокого порядка точности длявысокоскоростногопотока(M>10)дляопределениятемпературыповерхности тела, обтекаемого высокоскоростным потоком.

При меньшихскоростях или использовании расчётной схемы первого порядка точности65целесообразнее использовать решение задачи Римана в приближении газа спостоянным показателем адиабаты в каждом полупространстве.В дальнейшем для решения задачи Римана будет использоватьсярешение, полученное в предположении разных теплофизических параметровсреды в правом и левом полупространствах, если не указано иное.3.1.5. Решение стационарной задачи и критерий установленияВ случае стационарной задачи выполняется соотношение:qi 0, i.t(3.67)Соответственно, правая часть системы уравнений Эйлера так же равнанулю. В связи с погрешности, появляющейся при расчёте и связанной смашинной точностью вычислений, критерием установления является малостьвеличины правой части уравнений Эйлера: F (q)   ,(3.68)iгде ε > 0 – малая величина.В этом случае решение получается методом установления.

При этомрешается нестационарная задача, в которой в качестве начальных условийвыбирается произвольное распределение параметров внутри расчётнойобласти. Для увеличения скорости сходимости возможно использованиепеременного по пространству значения шага по времени. При этом шаг повремени для каждой ячейки расчётной сетки определяется на основелокального применения критерия устойчивости внутри ячейки независимо отпараметров в соседних ячейках.Для ряда задач имеет место наличия гистерезисов, т.е. зависимостиполучаемого стационарного решения от предыдущего состояния системы.66Например, явление гистерезиса наблюдается в воздухозаборных устройствахи газодинамических трубах.

Для получения физически правильного решенияв этом случае в качестве начальных условий используются параметры,обоснованные физической задачей, а система уравнений решается содинаковым шагом по времени по всему пространству. Для большинствазадач при таком подходе достаточно первого порядка точности по времени.Для контроля достижения стационарного решения используетсязначение потока через границы каждой из ячеек: F (q)   .(3.69)iВ силу произвольности разбиения расчётной области на контрольныеобъёмы в качестве функции для вычисления невязки можно использоватьпроизвольную линейную функцию потоков через границы ячеек. Если вкачестве такой функции использовать сумму потоков через все ячейкирасчётной области, то в связи с попарным сокращением потоков черезграницы внутренних граней, функция невязки приобретает простойфизический смысл: поток величин через границы расчётной области. Впрактических задачах достаточно рассматривать только поток только какойнибудь одной величины, например поток массы.3.1.6.

Начальные и граничные условияВажной частью математической модели является аппроксимациядифференциальных уравнений на границе расчётной области. Рассмотримобласть D  R 3 c границей Г, представляющей собой кусочно-гладкуюповерхность. Решение задачи рассматривается в цилиндре Dx0  t  T . Дляполучения решения системы дифференциальных уравнений необходимопомимо самой системы уравнений задать начальные и граничные условия.67Выбор расчётной области D зависит от структуры течения. Расчётнаяобласть выбирается таким образом, чтобы на входной и выходной границахнебыловысокихзначенийградиентоввеличин,внаправленииперпендикулярном границе.Граничные условия в методах типа Годунова могут задаваться как припомощи потоков, проходящих через границы расчётной области, так и припомощи создания виртуальных ячеек. Целесообразность использования тогоили иного подхода определяется конкретным типом граничного условия.Граничные условия делятся на физические и численные.

Граничноеусловие является физическим, если на нём определено значение одной илинескольких физических величин. Численное или мягкое граничное условиереализуется в случае если не существует явных ограничений на значениевеличин на границе. В этом случае граничные условия могут быть полученыинтерполированием из расчётной области.Для определения граничных условий и необходимых на нихпараметровиспользуетсяметодхарактеристик.Числофизическихограничений равно числу пересекающих границу характеристик, исходящихиз-за границы расчётной области.

Собственными значениями системыуравнений Эйлера являются: u-c, u, u+c. Соответственно число физическихограничений определяется знаком собственных значений.Перейдём в систему координат, связанную с границей. В этой системекоординат значения величин в приграничных ячейках могут бытьопределены из соотношений:r1  re1  eu1  un x  vlx  wm x(3.70)v1  un y  vl y  wm yw1  un z  vlz  wm z681. Втекающий сверхзвуковой потокВ виртуальной ячейке задаются все параметры течения: γ0, P0,ρ0,u0, v0Если выполнено условие: u  u 02  v02  c0  0 P0, то втекающий0поток является сверхзвуковым и в граничной ячейке:γb=γ0, Pb=P0, ρ b=ρ0, ub=u0, vb=v02.

Вытекающий сверхзвуковой потокЗадание вытекающего сверхзвукового потока через границурасчётной области возможно как заданием в виртуальной ячейкепараметров, соответствующих параметрам внутри области:γb=γ1, Pb=P1, ρ b=ρ1, ub=u1, vb=v1Так же можно задать потоки на границе расчётной области, неприбегая к решению задачи Римана:Fx  1u nP1  1u n2 1u n u t Pu1  1  0.5r1 u n2  u t2 1 1Fy  1u t 1u n u tP1  1u t2 Pv1  1  0.5r1 u n2  u t2 1 1(3.71)3. Резервуар неограниченной ёмкостиГраничное условие с заданным давлением используется в томслучае, когда неизвестны ни скорости, ни потоки через границу.

В этомслучае в виртуальной ячейке задаётся плотность и давление. Скоростьгаза в виртуальной ячейка определяются по формуле:u  u1 Pb  P1, v  v1 , w  w1a1(3.72) 1   1г де a1  r1 Pb P1 2 2Часто на границе задаются не статические, а полные величиныдавления и температуры. В этом случае статическое давление можноопределить из уравнений:69  1 2 P0  P1 M 2  1 2 T0  T 1 M 2 /  1(3.73)для газа с постоянными теплофизическими параметрами.Параметры на границе расчётной области определяются изрешения задачи Римана.4. Неотражающее граничное условие с противодавлениемПараметры на границе с неотражающим граничным условием спротиводавлением можно получить из инвариантов Римана [56] дляодномерного течения, нормального границе.

Инварианты Римана,отвечающие за две характеристики, проходящие через границу:2c 1.2c1R1  u1  1R  u  (3.74)Записав эти инварианты на границе, и решив полученнуюсистему уравнений получим:1Ri  R 2. 1Ri  R c4u(3.75)Значения тангенциальной компоненты скорости на границеполучаются интерполяцией из внутренних ячеек расчётной области.Для увеличения устойчивости расчёта получаемые из (3.75)параметры задаются не на границе, а в виртуальной ячейке. ПараметрынаграницеопределяютсяизрешениязадачиРимана,какрекомендуется в работах [57-58].5.

Условие непротеканияВ случае жёсткой стенки требуется равенство нулю потока массычерез границу. Для правильного определения давления и температуры70на стенки необходимо задать в виртуальной граничной ячейкезначения,полученныезеркальнымотражениемпараметроввовнутренней ячейке:u  u1 ; v  v1 ; w  w1 ; P  P1 ;   1 .(3.76)Потоки определяются из решения задачи Римана на границерасчётной области и виртуальной ячейки.6. Неотражающее граничное условие для вытекающего сверхзвуковогопотокаВ ряде задач известно, что через некоторую поверхность вустановившемся режиме будет течь сверхзвуковой поток газа или чтогаз, при удалении на бесконечное расстояние от границы, имеетсверхзвуковую скорость. В этом случае для исключения нефизическихволн, получающихся в результате отражения от границы расчётнойобласти, можно предположить, что на границе расчётной областиобразуется волна разрежения [2].cb  12 u 0 c0  1 1  c , u  cbub   b 0u 0 , u 0  cbvb  v 0,(3.77)wb  w0c b   0  b c0гдевеличины2 /  1синдексом0–величины,получаемыеинтерполированием значений из внутренних ячеек расчётной области навнутреннюю сторону границы.