Автореферат (Математическое и компьютерное моделирование динамики мобильных роботов с деформируемыми колесами), страница 2

Ðîáîò ñ äèôôåðåíöèàëüíûì ïðèâîäîì. êà÷åñòâå èññëåäóåìîãî îáúåêòà âûáðàí èçâåñòíûé ïî ðàáîòàì Å.À. Äåâÿíèíà, Þ.Ã. Ìàðòûíåíêî, Â.È. Êàëåíîâîé, Â.Ì. Ìîðîçîâà, Ì.À. Ñàëìèíîé,Â.Å. Ïàâëîâñêîãî ðîáîò ñ äèôôåðåíöèàëüíûì ïðèâîäîì. Ðàññìàòðèâàåìàÿìîäåëü (ðèñ. 1) ñîñòîèò èç ïëàòôîðìû è äâóõ íåçàâèñèìûõ âåäóùèõ êîëåñ,îñè êà÷åíèÿ êîòîðûõ ðàñïîëîæåíû íà îäíîé ïðÿìîé. Ïåðåäíèé êðàé ïëàò8ôîðìû îïèðàåòñÿ íà øàðèê, êîòîðûé ìîæåò êðóòèòüñÿ âî âñåõ íàïðàâëåíèÿõ.Óïðàâëÿþùèå ìîìåíòû ôîðìèðóþòñÿ ïîäà÷åé íàïðÿæåíèÿ íà ýëåêòðîäâèãàòåëè ïîñòîÿííîãî òîêà ñ íåçàâèñèìûì âîçáóæäåíèåì, íàõîäÿùèåñÿ ïî îäíîìóó êàæäîãî èç àêòèâíûõ êîëåñ. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî êà÷åíèå êîëåñ ïðîèñõîäèò áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ è ÷òî âëèÿíèåì øàðèêà íà äèíàìèêó ðîáîòàìîæíî ïðåíåáðå÷ü.Äâèæåíèå ðîáîòà îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèìè êîîðäèíàòàìè: êîîðäèíàòû(x, y) òî÷êè A, ÿâëÿþùåéñÿ ñåðåäèíîé îñè, ñîåäèíÿþùåé êîëåñà, óãëàìè ϕ1è ϕ2 ñîáñòâåííîãî âðàùåíèÿ ñîîòâåòñòâåííîãî ëåâîãî è ïðàâîãî êîëåñ, óãëîìψ ìåæäó îñüþ OX è îñüþ ñèììåòðèè ðîáîòà.

Ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèåâðàùåíèÿ êîëåñ ñîîòâåòñòâóåò äâèæåíèþ ðîáîòà âïåðåä. Ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå óãëà ψ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè. Îáîçíà÷èì ðàññòîÿíèå îò A äîöåíòðîâ êîëåñ l. Áóäåì ñ÷èòàòü ðàäèóñû è ìàññû îáîèõ êîëåñ îäèíàêîâûìèr = r1 = r2 , mk = m1 = m2 .Èç óñëîâèÿ îòñóòñòâèÿ ïðîñêàëüçûâàíèÿ êîëåñ ðîáîòà ïîëó÷èì êèíåìàòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ:ẋ = (rϕ˙1 + ψ̇(l − r sin χ1 ) cos ψẏ = (rϕ˙1 + ψ̇(l − r sin χ1 ) sin ψψ̇(2l − r(sin χ1 + sin χ2 ))ϕ˙2 = ϕ˙1 +r(1)Íà ïðàêòèêå íàêëîí êîëåñ ê îïîðíîé ïëîñêîñòè ìîæåò áûòü êîíñòðóêòèâíîçàëîæåí, à ìîæåò ïîÿâëÿòüñÿ âñëåäñòâèå ëþôòîâ íà íàãðóæåííîì êîëåñíîìýêèïàæå. Ïðèìåì äëÿ ìîäåëè ðîáîòà ñ òâåðäûìè êîëåñàìè çà ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå óãëîâ íàêëîíà χ1 , χ2 îòêëîíåíèå âåðõíèõ ÷àñòåé êîëåñ îòïëàòôîðìû íàðóæó.

Áóäåì ñ÷èòàòü χ1 , χ2 ïîñòîÿííûìè ïàðàìåòðàìè.Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå èç (1) ÿâëÿåòñÿ èíòåãðèðóåìîé ñâÿçüþ. Íî èñêëþ÷àòü ϕ2 èç ôàçîâûõ êîîðäèíàò è ïîíèæàòü ðàçìåðíîñòü ðàññìàòðèâàåìîéñèñòåìû íå áóäåì, ïîñêîëüêó ϕ2 , êðîìå òîãî, ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêîé êîîðäè9íàòîé. Êàê èçâåñòíî, ïðèëîæåíèå óïðàâëåíèÿ ïî öèêëè÷åñêèì êîîðäèíàòàìâî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ÿâëÿåòñÿ íàèáîëåå åñòåñòâåííûì è ëåãêîðåàëèçóåìûì ñïðàêòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ.

Òàêèì îáðàçîì, â ñëó÷àå òâåðäûõ êîëåñ ϕ2 ÿâëÿåòñÿ èçáûòî÷íîé êîîðäèíàòîé.  óðàâíåíèÿõ äâèæåíèÿ ÷ëåíû íåãîëîíîìíîñòè, ñîîòâåòñòâóþùèå ýòîé êîîðäèíàòå, áóäóò íóëÿìè.Ñîñòàâèì óðàâíåíèÿ âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ ñ âûäåëåííûì ïåðâûì ïðèáëèæåíèåì:ẇ = P w + Quu=u1 = Kwu2w=wψ̇ wϕ̇1 wψ wϕ1 wx wy wϕ2(2)Çäåñü w âåêòîð ôàçîâûõ ïåðåìåííûõ, u âåêòîð óïðàâëåíèÿ, P, Q ñòàöèîíàðíûå ìàòðèöû.Ïðè ÷èñëåííîì èíòåãðèðîâàíèè óðàâíåíèé âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ íà÷àëüíîå âîçìóùåíèå ïî ϕ2 îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ñîãëàñíî óðàâíåíèþ èíòåãðèðóåìîé ñâÿçè èç (1), ïîñêîëüêó ϕ2 ÿâëÿåòñÿ èçáûòî÷íîé êîîðäèíàòîé.Ïðîâåðêà óñëîâèÿ óïðàâëÿåìîñòè ñèñòåìû (2) ïîêàçàëà, ÷òî ïîëíàÿ ñèñòåìà íåóïðàâëÿåìà ïðè ó÷åòå êâàçèöèêëè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ ϕ1 , ϕ2 .rank[Q, P Q, . .

. , P d−1 Q] = d(3)Äëÿ ìîäåëåé ðîáîòà ñ òâåðäûìè êîëåñàìè ðåøåíà çàäà÷à ñòàáèëèçàöèèäî íåàñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ïî âñåì ïåðåìåííûì ïðè íåíóëåâûõ óãëàõ íàêëîíà. Åñëè ϕ1 , ϕ2 èñêëþ÷èòü èç ðàññìîòðåíèÿ, óñëîâèå óïðàâëÿåìîñòè(3) âûïîëíåíî, è â òàêèõ ìîäåëÿõ âîçìîæíî ïîëó÷åíèå óïðàâëåíèÿ ìåòîäîì10Í.Í. Êðàñîâñêîãî. Äëÿ îäíîçíà÷íîãî îïðåäåëåíèÿ ñòàáèëèçèðóþùåãî óïðàâëåíèÿ â ðàáîòå ââîäèòñÿ èíòåãðàëüíàÿ îöåíêà êà÷åñòâà óïðàâëåíèÿ (4), õàðàêòåðèçóþùàÿ âðåìÿ çàòóõàíèÿ ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ è çàòðàòû íà ôîðìèðîâàíèå óïðàâëÿþùèõ âîçäåéñòâèé.∞∫I= (d∑αij wi wj +0 i,j=1r∑βij ui uj )dt(4)i,j=1Çäåñü u âåêòîð óïðàâëåíèÿ, w âåêòîð âîçìóùåíèé ôàçîâûõ ïåðåìåííûõ.

Âêà÷åñòâå {αij } è {βij } âûáåðåì åäèíè÷íûå ìàòðèöû ðàçìåðíîñòè d × d è r × rñîîòâåòñòâåííî êàê íàèáîëåå ïðîñòûå âåñîâûå êîýôôèöèåíòû. Ôèçè÷åñêèåðàçìåðíîñòè ýëåìåíòîâ ìàòðèö α, β òàêîâû, ÷òî ðàçìåðíîñòü (4) Äæîóëü.Âåëè÷èíà èíòåãðàëà (4) ìîæåò ñëóæèòü ñðåäñòâîì äîïîëíèòåëüíîãî àíàëèçàäèíàìèêè ðàññìàòðèâàåìûõ ìîäåëåé ðîáîòà.Ïðèëîæåíèå íàéäåííîãî â óïðàâëÿåìîé ïîäñèñòåìå óïðàâëåíèÿ ê ïîëíîéñèñòåìå ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ P + QK çàìêíóòîéñèñòåìû èìååò äâà äîñòàòî÷íî ìàëûõ ïî ìîäóëþ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèÿ.

Ýòèêîðíè ñîîòâåòñòâóþò êâàçèöèêëè÷åñêèì êîîðäèíàòàì ϕ1 , ϕ2 . Âîïðîñ îá óñòîé÷èâîñòè íåâîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ äëÿ ïîëíîé ñèñòåìû îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì ðåøèòü ñ èñïîëüçîâàíèåì ïîäõîäà, îñíîâàííîãî íà âûäåëåíèè óïðàâëÿåìîé ïîäñèñòåìû.Âî âòîðîé ãëàâåäèññåðòàöèè ¾Ïðèìåíåíèå ìîäåëåé âçàèìîäåéñòâèÿêîëåñà ñ ïëîñêîñòüþ ê ðàññìîòðåíèþ ðîáîòà ñ äèôôåðåíöèàëüíûì ïðèâîäîì¿ðàññìîòðåíî ïðèìåíåíèå ôåíîìåíîëîãè÷åñêîé òåîðèè Í.À. Ôóôàåâà êà÷åíèÿäåôîðìèðóåìîãî êîëåñà ê ìîäåëèðîâàíèþ ðîáîòà ñ äèôôåðåíöèàëüíûì ïðèâîäîì.Óêàçàííàÿ òåîðèÿ êà÷åíèÿ âìåñòî èññëåäîâàíèÿ ïîâåäåíèÿ âñåé øèíûðàññìàòðèâàåò òîëüêî ñðåäíþþ ëèíèþ êîëåñà, ïîëó÷àåìóþ â ðåçóëüòàòå ïåðåñå÷åíèÿ ñðåäíåé ïëîñêîñòüþ êîëåñà ïîâåðõíîñòè íåäåôîðìèðîâàííîé øèíû.11Âûáîð ýòîãî ïîäõîäà îáîñíîâàí òåì, ÷òî çäåñü ó÷èòûâàþòñÿ âñå øåñòü ïðîåêöèé êîìïîíåíòîâ ðåàêöèè ñâÿçåé (ãëàâíîãî âåêòîðà è ãëàâíîãî ìîìåíòà) äëÿêàæäîãî êîëåñà.

Êðîìå òîãî, ïîñëåäîâàòåëüíûì óòî÷íåíèåì îïèñàíèÿ ñðåäíåé ëèíèè â ïÿòíå êîíòàêòà âîçìîæíî ïîëó÷èòü ñåìåéñòâî òåîðèé êà÷åíèÿäåôîðìèðóåìîãî êîëåñà: îò íàèáîëåå òî÷íîé òåîðèè äî ïðîñòåéøåé. Òàê, èñïîëüçóåìûå äëÿ îïèñàíèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ êîëåñ ñ ïëîñêîñòüþ êà÷åíèÿ òåîðèèÐîêàðà, Êåëäûøà è îáîáùåííàÿ òåîðèÿ Êåëäûøà ïîëó÷åíû èç ôåíîìåíîëîãè÷åñêîé òåîðèè Í.À. Ôóôàåâà êàê ÷àñòíûå ñëó÷àè.Ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðåäëàãàåìûé â äèññåðòàöèè ìåòîä îöåíêè âëèÿíèÿ ïàðàìåòðîâ äåôîðìàöèè êîëåñà íà äèíàìèêó ñèñòåìû. Äëÿ ìîäåëè êîëåñíîãîýêèïàæà ñ ó÷åòîì ìèíèìàëüíîãî íàáîðà ïàðàìåòðîâ äåôîðìàöèè ïðîâåðÿåòñÿ âîçìîæíîñòü ÷èñëåííîé ðàçðåøèìîñòè çàäà÷è ñòàáèëèçàöèè ñòàöèîíàðíîãî ïðÿìîëèíåéíîãî äâèæåíèÿ äî íåàñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ïî âñåìôàçîâûì ïåðåìåííûì. Åñëè çàäà÷à ðàçðåøèìà ïðè ó÷åòå äåôîðìèðóåìîñòèêîëåñ, òî ñ÷èòàåì, ÷òî ðàññìàòðèâàåìàÿ ìîäåëü ýêèïàæà äîñòàòî÷íî àäåêâàòíî îïèñûâàåò ïîâåäåíèå ñèñòåìû.

Åñëè æå çàäà÷à ñòàáèëèçàöèè íå ðàçðåøàåòñÿ, ñ÷èòàåì, ÷òî ìîäåëü ýêèïàæà äîëæíà áûòü óñëîæíåíà ââåäåíèåìäîïîëíèòåëüíûõ ïàðàìåòðîâ äåôîðìàöèè êîëåñà.  êà÷åñòâå êîëåñíîãî ýêèïàæà áûë âûáðàí ðîáîò ñ äèôôåðåíöèàëüíûì ïðèâîäîì êàê íàèáîëåå èçó÷åííàÿ ìîäåëü, à çà ñòàáèëèçèðóåìîå äâèæåíèå áûëî ïðèíÿòî ïðîñòåéøåå,ïðÿìîëèíåéíîå ñòàöèîíàðíîå, äâèæåíèå. îñíîâå ïðàâèëà ââåäåíèÿ äîïîëíèòåëüíûõ ïàðàìåòðîâ äåôîðìàöèèïðèìåì ïîñëåäîâàòåëüíîå óòî÷íåíèå îïèñàíèÿ ôîðìû ñðåäíåé ëèíèè êîëåñàâ îáëàñòè êîíòàêòà.  ôåíîìåíîëîãè÷åñêîé òåîðèè Í.À. Ôóôàåâà ïðîäîëüíîå(ðèñ. 3) è ïîïåðå÷íîå (ðèñ.

2) ñìåùåíèÿ êàæäîé òî÷êè ñðåäíåé ëèíèè â ïÿòíåêîíòàêòà îïèñûâàþòñÿ ôóíêöèÿìè (5) è (6), êîòîðûå ìîæíî ïðåäñòàâèòü ââèäå ëèíåéíîãî ðàçëîæåíèÿ.Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ξ(t, x) âåëè÷èíó ïðîäîëüíîãî ñìåùåíèÿ òî÷êè ñðåäíåé12Ðèñ.Ðèñ. 2. Ïîïåðå÷íàÿ äåôîðìàöèÿ3.ÔóíêöèÿïðîäîëüíîãîñìåùåíèÿΞ(t, x)ëèíèè â îáëàñòè êîíòàêòà ñ êîîðäèíàòîé x â ìîìåíò âðåìåíè t îòíîñèòåëüíîïîëîæåíèÿ ýòîé òî÷êè äî äåôîðìàöèè ñðåäíåé ëèíèè (ðèñ. 3). Ñ÷èòàÿ îòðåçîê ñðåäíåé ëèíèè â îáëàñòè êîíòàêòà äîñòàòî÷íî ìàëûì, âûðàçèì âåëè÷èíóΞ(t, x) â âèäå ðàçëîæåíèÿ â ñòåïåííîé ðÿä ïî x â îêðåñòíîñòè òî÷êè K ïåðåñå÷åíèÿ ëèíèè íàèáîëüøåãî íàêëîíà, ïðîâåäåííîé â ñðåäíåé ïëîñêîñòè êîëåñàèç åãî öåíòðà, ñ îïîðíîé ïëîñêîñòüþ:∞∑1Ξ(t, x) =ξn (t)xnn!n=0(5)Çäåñü ξ0 (t) = Ξ(t, 0) ïðîäîëüíîå ñìåùåíèå ïåðèôåðèè êîëåñà â òî÷êå K ,ξm (t) =( ∂mΞ )∂xm x=0 (m= 1, 2, .

. .). Âåëè÷èíó ξ1 ìîæíî òðàêòîâàòü êàê îòíîñèòåëüíîå ïðîäîëüíîå ðàñòÿæåíèå ìàòåðèàëà ïåðèôåðèè êîëåñà â òî÷êå K ,âåëè÷èíó ξ2 êàê èçìåíåíèå îòíîñèòåëüíîãî ðàñòÿæåíèÿ è ò.ä.Îáîçíà÷èì ÷åðåç H(t, x) âåëè÷èíó áîêîâîãî ñìåùåíèÿ òî÷êè ñðåäíåé ëèíèè ñ êîîðäèíàòîé x â ìîìåíò âðåìåíè t. Ïðåäñòàâèì ôóíêöèþ H(t, x) â âèäåðàçëîæåíèÿ â ñòåïåííîé ðÿä ïî x â ìàëîé îêðåñòíîñòè òî÷êè K :H(t, x) =∞ (∑1n=0n!)ηn (t)x(6)nÇäåñü η0 (t) = H(t, 0) áîêîâîå ñìåùåíèå òîé òî÷êè ñðåäíåé ëèíèè, êîòîðàÿäî äåôîðìàöèè øèíû ñîâïàäàëà ñ òî÷êîé K , ηm (t) =( ∂mH )∂xmx=0(m = 1, 2, .

. .).Âåëè÷èíà η1 ýòî óãîë ñêðóòêè øèíû îòíîñèòåëüíî îáîäà, èëè òàíãåíñ óãëàíàêëîíà êàñàòåëüíîé ê êðèâîé 2 â òî÷êå O1 (ðèñ. 2), η2 êðèâèçíà ëèíèè 2 âòî÷êå O1 .13Êîëè÷åñòâî ó÷èòûâàåìûõ ÷ëåíîâ â (5) è (6) îïðåäåëÿåò ÷èñëî ó÷èòûâàåìûõ ïàðàìåòðîâ äåôîðìàöèè è ñëîæíîñòü ïîëó÷àåìîé òåîðèè êà÷åíèÿ. Íà÷íåì èññëåäîâàíèå ìîäåëè ðîáîòà ñ äåôîðìèðóåìûìè êîëåñàìè ñ ó÷åòà ïåðâîãî÷ëåíà â ðàçëîæåíèè ôóíêöèè ïîïåðå÷íîãî ñìåùåíèÿ (ñîîòâåòñòâóåò òåîðèèÐîêàðà).

Ïðè íåðàçðåøèìîñòè çàäà÷è ñòàáèëèçàöèè äëÿ òàêîé ìîäåëè áóäåìïîñëåäîâàòåëüíî äîáàâëÿòü â ðàññìîòðåíèå ñëåäóþùèå ÷ëåíû ðàçëîæåíèé (5,6) è èñêàòü ñòàáèëèçèðóþùåå óïðàâëåíèå äëÿ ýòîé áîëåå ñëîæíîé ìîäåëè.Òàêèì îáðàçîì, íà îñíîâàíèè ïîëó÷åííûõ ìîäåëåé ïðîâåäåíî ÷èñëåííîåèññëåäîâàíèå âûïîëíåíèÿ äîñòàòî÷íîãî óñëîâèÿ ðàçðåøèìîñòè çàäà÷ ñòàáèëèçàöèè â çàâèñèìîñòè îò ó÷èòûâàåìûõ ïàðàìåòðîâ äåôîðìàöèè êîëåñ äëÿìîäåëè ðîáîòà. Ïðîâåäåííûìè âû÷èñëèòåëüíûìè ýêñïåðèìåíòàìè óñòàíîâëåíî, ÷òî ìåòîäîì Í.Í.

Êðàñîâñêîãî íåâîçìîæíî íàéòè óïðàâëåíèå, ñòàáèëèçèðóþùåå ñòàöèîíàðíîå ïðÿìîëèíåéíîå äâèæåíèå ðîáîòà ñ äèôôåðåíöèàëüíûì ïðèâîäîì ñ ó÷åòîì òåîðèé Ðîêàðà (ó÷èòûâàåòñÿ ïåðâûé ÷ëåí èç ðàçëîæåíèÿ (6)) è Êåëäûøà (ó÷èòûâàåòñÿ äâà ïåðâûõ ÷ëåíà èç ðàçëîæåíèÿ (6)).Ýòè ñèñòåìû íåóïðàâëÿåìû ïðèëîæåíèåì óïðàâëÿþùèõ ìîìåíòîâ ê âåäóùèìêîëåñàì. Ðîáîò ñ äèôôåðåíöèàëüíûì ïðèâîäîì ñ ó÷åòîì îáîáùåííîé òåîðèè Ì.Â. Êåëäûøà â êà÷åñòâå ìîäåëè âçàèìîäåéñòâèÿ äåôîðìèðóåìîãî êîëåñà ñ îïîðíîé ïëîñêîñòüþ ÿâëÿåòñÿ âïîëíå óïðàâëÿåìîé ñèñòåìîé. Íåñìîòðÿ íà ôîðìàëüíîå âûïîëíåíèå êðèòåðèÿ óïðàâëÿåìîñòè (3), ðåøèòü ìåòîäîì Í.Í. Êðàñîâñêîãî çàäà÷ó ñòàáèëèçàöèè â ðàññìàòðèâàåìîé ïîñòàíîâêåíå óäàëîñü, ïîñêîëüêó êîýôôèöèåíòû ôóíêöèè Ëÿïóíîâà è, ñîîòâåòñòâåííî,ñòàáèëèçèðóþùåãî óïðàâëåíèÿ îêàçûâàþòñÿ î÷åíü áîëüøèìè.