Диссертация (Качественный и асимптотический анализ динамики неконсервативных систем с квадратичным трением)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕУЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯМОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)УДК 531.01На правах рукописиМайоров Андрей ЮрьевичКАЧЕСТВЕННЫЙ И АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗДИНАМИКИ НЕКОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ СКВАДРАТИЧНЫМ ТРЕНИЕМСпециальность 01.02.01 — «Теоретическая механика»Диссертация на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:доктор физико-математических наук,профессор Красильников Павел СергеевичМосква — 2017ОглавлениеСтр.Введение .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4Глава 1. Влияние линейных диссипативных сил и следящей силы наустойчивость положения равновесия трехзвеннойнеконсервативной механической системы . . . . . . . . . . . . . . . . .1.11.213Устойчивость положения равновесия в отсутствие сил трения под действиемследящей силы . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131.1.1Уравнения движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141.1.2Положение равновесия и линеаризация уравнений движения . . . . . .151.1.3Характеристический полином системы с тремя степенями свободы . .

.191.1.4Условие устойчивости положения равновесия . . . . . . . . . . . . . . .251.1.5Графическое построение областей устойчивости положения равновесия26Влияние сил трения на устойчивость положения равновесия . . . . . . . . . .281.2.1Метод возмущений для исследования эффекта Циглера в системах стремя степенями свободы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .291.2.2Построение зоны Циглера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .351.2.3Устойчивость равновесия системы с тремя степенями свободы спроизвольными силами трения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.437Исследование устойчивости равновесия стержневой системы, еслиследящая сила направлена вдоль стержня . . . . .

. . . . . . . . . . . .39Глава 2. Колебания неконсервативных механических систем в среде с2.12.2квадратичным законом сопротивления . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43Исследование механических систем с одной степенью свободы . . . . . . . . .432.1.1Постановка задачи . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .432.1.2Исследование системы с одной степенью свободы . . . . . . . . . . . . .44Исследование системы с двумя степенями свободы . . . . . . . . . . . . . . . .462.2.1Предварителньные замечания и вычисления . . . . . . . . . . . . . . . .472.2.2Нормализация уравнений движения . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .492.2.3Исследование усредненной системы в специальном случае функцииРэлея . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54Глава 3. Устойчивость одной механической системы со следящими и3.1нелинейными диссипативными силами . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58Линейный анализ в отсутствие сил трения . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .5823.23.1.1Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .583.1.2Исследование системы в отсутствие сил трения . . . . . . . . . . . . . .61Исследование влияния диссипативных сил . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .633.2.1Приведение дифференциальных уравнений к главным координатам . .633.2.2Влияние вязких сил трения на устойчивость положения равновесиясистемы . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69Список использованной литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .713ВведениеАктуальность темы. В настоящее время все большее внимание исследователей при­влекают неконсервативные механические системы.

Так называется широкий класс голоном­ных систем, в которых действуют неконсервативные позиционные силы, разной природыдиссипативные силы и гироскопические силы.Исследование неконсервативных систем далеко от завершениея, несмотря на большоеколичество исследований прикладных задач, где действуют неконсервативные силы. Иссле­дование неконсервативных систем является актуальной задачей. Можно указать целые об­ласти, где при моделировании возникают неконсервативные системы. Это проектированиеконструкций в машиностроении, авиации, ракетной техники. Особенные приложения систе­мы с неконсервативными силами нашли в строительной механике. Большое количество работпо устойчивости неконсервативных систем относится к аэроупругости [13, 53], вибрационноймеханике [6]. Неконсервативные задачи возникают в теории двуногой ходьбы [4, 5].Впервые вопрос о решении неконсервативных задач со следящими силами ставитьсяпосле работ Эйлера, в которых он исследовал устойчивость форм равновесия упругой бал­ки.

Изучение области применимости метода Эйлера в задачах устойчивости упругих системпоказало, что если силы неконсервативные, то метод Эйлера становиться непригодным. Ос­новным методом исследования неконсервативных задач теории упругости является метод,основанный на рассмотрении колебаний системы вблизи положения равновесия, что сближа­ет его с теорией устойчивости и классической механикой.Исследование устойчивости идеализированных моделей ракетных конструкций, напри­мер запуск реактивного двигателя, приводит к необходимости изучения линейных автоном­ных механических систем, находящихся под действием неконсервативных позиционных сили описываемых уравнениями вида ¨ + = 0, где - несамосопряженный оператор, мат­ричный или дифференциальный. Во второй половине 20-го века известный швейцарскийученый Ганс Циглер выделелил такие системы в отдельный класс, которые были названыциркуляциоными [62].Изучению устойчивости циркуляционных систем посвящено большое количество задач,среди которых можно выделить работы В.

В. Болотина [8], Дж. Херманна [54], Г. Цигле­ра [62], Д. Р. Меркина [37], С. А. Агафонова [1], A. B. Карапетяна [16], В. В. Белецкого [4],П. С. Красильникова и А. Е. Байкова [3], О. Н. Кириллова [57], и др. В частности в работеС. А. Агафонова [1] прямым методом Ляпунова было показано, что конечномерная цирку­ляционная система неустойчива, если ее матрица кососимметрическая. В исследованияхустойчивости неконсервативных систем несимметрическую матрицу часто разбивают насимметрическую 1 и кососимметрическую 2 составляющие, так что = 1 + 2 , чтоупрощает анализ и позволяет исследовать действия неконсервативных сил, основываясь насвойствах матриц 2 .

С некоторыми результатами использование такого приема можно озна­комится в [37], [58] или в работах В. М. Лахаданова [22,23], где доказано, что если (1 ) < 0,4то движение циркуляционной системы неустойчиво. Там же показано, что неустойчивую кон­сервативную систему можно стабилизировать силами радиальной коррекции тогда и толькотогда, когда (1 ) > 0.Моделирование динамики ракетоносителей (РН) непосредственно связано с исследова­нием механических систем, в которых действуют неконсервативных систем.

Одной из важ­ных задач в динамике РН является задача о влиянии диссипативных сил на устойчивость(относительного) положения РН, когда система так же находится под воздействием некон­сервативных позиционных сил [44]. Следящими называются силы, которые во все время дви­жения составляют постоянный угол с осями тел, к которым они приложены. Заметим, чтов некоторых случаях малые диссипативные силы усиливают динамическую неустойчивостьсистемы (из-за наличия дополнительных позиционных сил). Например, совокупное влияниесил аэродинамического сопротивления и реактивной силы тяги двигателя может привести кусилению поперечных колебаний РН.

Сила сопротивления и реактивная сила истечения жид­кого топлива из конца заправочного шланга, соединяющего летательные аппараты во времядозаправки их в полёте, может также вызвать сильные поперечные колебаниям шланга.Одним из хорошо изученных классов неконсервативных задач теории устойчивости яв­ляется задача исследования систем с гироскопическими и линейными диссипативными сила­ми.

В данном направлении получено большое количество результатов, в частности теоремыо неустойчивости [23,37,38,59] и асимптотической устойчивости [60]. В работе [56] для некон­сервативных гироскопических систем с двумя степенями свободы, на которые действуютдиссипативные силы, представлен анализ устойчивости колебаний.

С помощью метода воз­мущений получены выражения для коэффициетов разложения корней характеристическогополинома для некоторого частного случая матриц гироскопических и неконсервативных сил,на основании которых представлены выводы об устойчивости таких систем.Наибольшую известность среди неконсервативных задач получил парадокс дестабили­зации, называемый так же эффект Циглера [62].

Изучению этого явления посвящён целыйряд работ [3, 20, 37, 45, 46, 62] и многие другие. В монографии [37] эффект Циглера рассмат­ривается как частный случай проблемы устойчивости по первому приближению равновесиямеханической системы с конечным числом степеней свободы, находящейся под действиемпотенциальных, неконсервативных позиционных сил и линейных сил вязкого трения. В ра­боте [3] сформулирован и доказан критерий асимптотической устойчивости положения рав­новесия и критерий существования эффекта Циглера для неконсервативных механическихсистем при наличии малых диссипативных сил для систем с произвольным количеством сте­пеней свободы в квадратурах. В статье также представлены результаты в виде критерияасимптотической устойчивости систем с большими силами трения для систем с двумя сте­пенями свободы. Отсутствие явного критерия устойчивости для систем с большими силамитрения, когда число степеней свободы > 3, объясняется алгебраической сложностью зада­чи.

Так как характеристический полином содержит все ненулевые коэффициенты при всехстепенях , то неравенства из критерия Раусса-Гурвица, имеют весьма сложный вид. Их труд­5но исследовать на совместность, открытым остаётся вопрос о приведении этих неравенств кпростейшему виду.Наряду с областью дестабилизации в пространстве параметров диссипации существуетобласть стабилизации и, таким образом, всегда возможен выбор диссипативного оператора,стабилизирующего неконсервативных систему (см. например [43]). Подтверждение этих ру­зультатов следует из экспериментальных исследований, описанных в работах Ю.