Диссертация (Качественный и асимптотический анализ динамики неконсервативных систем с квадратичным трением), страница 9

В методе Хори-Кэмила (1) = (1) . Для определения векторной функции (1) имеем систему(︁)︁(︁)︁(1)(1)(1)(1)1 , = 3 , 2 , = 4(︁)︁(1)(2)(1)3 , = −1 − 12 1(︁)︁(1)(2)(1)4 , = −2 − 22 2(2.30)где введено обозначение(︃ =0)︃−Ω2 0(1)Частноеквадратичных форм () =)︁(︁ векторных(︁)︁решение системы (2.30) ищем среди(2)(1)(2) , ( = 1, . . . ,4).

Обозначим = , ( = 1,2) и перепишем систему (2.30)следующим образом:(︁)︁ (︁)︁ (︁)︁ (︁)︁(1)(1)(1)(1)21 , = 3 , , 22 , = 4 ,(︁)︁(︁)︁(︁)︁(1)(2)(1)23 , = − 1 , − 12 1 ,(︁)︁(︁)︁(︁)︁(1)(2)(1)224 , = − 2 , − 2 2 ,(1)По определению, матрицы симметрические. Введем вспомогательные несимметрические̃︁ (1) , симметрическая часть которых — искомые матрицы (1) .

Между ними суще­матрицы ствуют соотношения̃︁3(1)=̃︁1(1) ,2 ̃︁4(1)=̃︁2(1) ,2 а̃︁1(1) ,̃︁2(1)– решения матричныхуравнений(︀)︀ (1)̃︁1 = −1(2)4( )2 + 12 (︀)︀ (1)̃︁2 = −2(2)4( )2 + 22 (2.31)Матрицы 4( )2 + 12 , 4( )2 + 12 невырожденные, т.к. 1 ̸= 22 , 2 ̸= 21 . Следователь­но, система (2.30) имеет единственное решение среди квадратичных форм, и таким образомполучен коэффициент (1) производящей векторной функции. Явные выражения для коэф­(1)фициентов форм опускаем.Нормализация системы (2.17) также уничтожила квадратичный член√ (2) .

Получен­ную таким образом систему можно представить в виде (2.29), учитывая, что в данном случаеΩ2 = {12 , 22 },(3)(3) (3) (, )˙ = (1 (, ),˙ 2 (, ))˙ ,53 = (1 .2 ) .2.2.3Исследование усредненной системы в специальном случаефункции РэлеяC помощью замены переменных = 1 1 cos(1 ) + 2 2 cos(2 ),1 = (1, 0) ,˙ = −1 1 1 sin(1 ) − 2 2 2 sin(2 )2 = (0, 1) ,(2.32)1 > 0, 2 > 0система (2.29), полученная в предудущем пункте, преобразуется к двухчастотной системевида⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨˙ 1 = −˙ 2 = −121 sin(1 )2 sin(2 )(2.33)⎪⎪⎪⎪˙ 1 = 1 −1 cos(1 )⎪⎪⎪ 1 1⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩˙ 2 = 2 −2 cos(2 ) 2 2где (1 , 2 ) = ˙ sin() + (2) + (3) , а выражения для (2) теперь имеют вид:1 = 2|21 1 1 sin(1 ) + 22 2 2 sin(2 )| sin(1 )11 21 1 1 ++3|11 1 1 sin(1 ) + 12 2 2 sin(2 )| sin(1 )11 30 1 1 ++2|21 1 1 sin(1 ) + 22 2 2 sin(2 )| sin(2 )12 21 2 2 ++3|11 1 1 sin(1 ) + 12 2 2 sin(2 )| sin(2 )12 30 2 2 ++(11 1 1 sin(1 ) + 12 2 2 sin(2 ))|21 1 1 sin(1 ) + 22 2 2 sin(2 )|2 12(2.34)2 = 2|11 1 1 sin(1 ) + 12 2 2 sin(2 )| sin(1 )21 12 1 1 ++3|21 1 1 sin(1 ) + 22 2 2 sin(2 )| sin(1 )21 03 1 1 ++2|11 1 1 sin(1 ) + 12 2 2 sin(2 )| sin(2 )22 12 2 2 ++3|21 1 1 sin(1 ) + 22 2 2 sin(2 )| sin(2 )22 03 2 2 ++(21 1 1 sin(1 ) + 22 2 2 sin(2 ))|11 1 1 sin(1 ) + 12 2 2 sin(2 )|2 21где — элементы матрицы перехода к главным координатам.54Усредним первые два уравнения системы (2.33) по быстрым переменным в отсут­ствие резонанса.

Усредненные уравнения для медленных переменных имеют вид⎧⎪1⎪⎪˙=−−(221 (, ) + 330 (, )+⎪1111⎪⎪1⎪⎪⎨ +2 (, ) + 3 (, ) + (, , , )213012⎪1⎪⎪⎪(303 (, ) + 212 (, )+˙=−−⎪2222⎪2⎪⎪⎩303 (, ) + 212 (, ) + 21 (, , , ))(2.35)где (, ) =2 21 ∫︁ ∫︁4 20(, ) =0(, , , ) =2 21 ∫︁ ∫︁4 2002 21 ∫︁ ∫︁4 2| sin(1 ) + sin(2 )| sin2 (1 )1 2| sin(1 ) + sin(2 )| sin(1 ) sin(2 )1 20( sin(1 ) + sin(2 ))| sin(1 ) + sin(2 )|2 sin(1 )1 20и также введены обозначения = 21 1 1 , = 22 2 2 , = 11 1 1 , = 12 2 2Выражения для (, ) и (, ) аналогичные.К сожалению, получить в явном виде выражения для функций , и не удалось. По­этому, исследовать систему (2.19) на данном этапе работы затруднительно.

Однако, в одномспециальном, но важном случае, который приводится ниже, удаётся исследовать динамикуусреднённой системы до конца.Пусть квадратичные диссипативные силы действуют независимо вдоль вдоль осей глав­ных координат, т.е. диссипативная функция Рэлея имеет вид:Ψ = 30 |˙1 |3 + 03 |˙2 |333Тогда выражения для функций , , можно представить в явном виде без квадратур, ауравнения для медленных переменных усреднённой системы примут вид⎧⎛⎪1⎪⎪⎪˙ 1 = − ⎝ 11 1 +⎪⎪⎨2⎛⎪1⎪⎪⎪˙ 2 = − ⎝ 22 2 +⎪⎪⎩2554 30 21 1⎞3⎠4 03 22 2⎞3⎠(2.36)Полученная усредненная система имеет четыре особые точки*1 = *2 = 0*1 = −3 118 30 1*1 = 0,*1 = −,*2 = −3 118 30 1*2 = 03 228 03 12*2 = −,3 228 03 12Наибольший интерес представляет последняя особая точка.

Составим уравнения возмущен­ного движения, для чего введем возмущения по формуле = − * .При подстановке этой замены в уравнение (2.36) и отбрасывании членов выше первогопорядка малости по переменной имеем следующие уравнения возмущенного движения⎧⎪⎪⎪⎨ ˙ 1 = 11 12⎪⎪⎪⎩ ˙ 2 = 22 22(2.37)Можно сделать вывод о том, что особая точка асимптотически устойчива, если 11 > 0 и 22 >0, и неустойчива, если 11 22 < 0 [2, 62] или 11 < 0, 22 < 0.В нашей системе неравенства 11 < 0, 22 < 0 не могут быть одновременно выполненны­ми.

Тем не менее, рассмотрим проекцию фазового портрета на двумерное конфигурационноепространство 1 , 2 .Выражения для быстрых переменных ( = 1, 2) имеют вид1 = 1 + 01 ,2 = 2 + 02и согласно замене (2.32), фазовые переменные ( = 1, 2) представляются в виде⎧⎪1 = *1 cos(1 )⎪⎪⎪⎨ = * cos( )222*⎪ ˙ 1 = −1 1 sin(1 )⎪⎪⎪⎩˙ 2 = −2 *2 sin(2 )(2.38)Без ограничения общности считаем, что 02 = 0. Тогда проекция фазовой кривой на конфи­гурационное пространство описывается следующей системой{︃1 = *1 cos(1 + 01 )2 = *2 cos(2 )56(2.39)Каждая траектория получается выбором начального угла 01 и всюду плотна на инвари­антном торе.

Последний состоит из семейства траекторий (2.38) в фазовом пространствеусредненной системы (рис. 2.2).Пусть 11 30 < 0, 22 03 < 0. Из теории усреднения [7] следует, что точная система (2.1)имеет инвариантный тор. Если 11 22 < 0 или 11 > 0, 22 > 0, то тор неустойчивый. Однакопри 11 < 0, 22 < 0, инвариантный тор является предельным при → +∞. Тем не менее,последующий случай не может быть реализован в рассматриваемой механической системе.Рис. 2.2. Проекция фазовых кривых на конфигурационное пространство57Глава 3.

Устойчивость одной механической системы со следящими инелинейными диссипативными силамиВ главе 2 представлено исследование колебаний механических систем с двумя степе­нями свободы. Для частного случая, когда линейные диссипативные силы направлены неза­висимо вдоль осей главных координат, получены достаточные условия существования пре­дельного инвариантного тора. В настоящей главе диссертации рассматривается модель такойсистемы, разработанная специально для проверки результатов, представленных в частномслучае распределения квадратичных диссипативных сил.

В рамках данной диссертационнойработы описано двухпараметрическое семейство стационарных решений модели, проведеноисследование их устойчивости по первому приближению в двух случаях: в отсутствие дисси­пативных сил в системе и при наличие линейных сил трения. Для второго случая построенызоны Циглера.3.1Линейный анализ в отсутствие сил тренияРассматривается голономная неконсервативная механическая система с двумя степе­нями свободы, моделирующая движения лопасти на упругой втулке несущего или рулевоговинта вертолета в плоскости тяги [40,41].

В системе учитываются потенциальные и неконсер­вативные позиционные силы, а так же линейные и квадратичные диссипативные силы, моде­лирующие воздействие внутреннего трения при деформации лопасти и воздействие внешнейсреды. В первой части главы 3 исследуется положение равновесия системы в отсутствие силтрения на основе методов, использованных в главе 1.3.1.1Постановка задачиРассматривается голономная склерономная неконсервативная механическая система сдвумя степенями свободы, представляющую собой двухзвенный стержневой механизм издвух однородных весомых стержней, и находящийся на гладкой горизонтальной плоскости . На свободный конец стержня действует следящая сила (рис.3.1).

Твердые стерж­ни, имеющие одинаковую длину и массу , соединены идеальным сферическим шарниромО и упругой спиральной пружиной с коэффициентом жесткости 2 . Считается, что неиде­альная спиральная пружина создает момент сил трения, противоположный относительнойугловой скорости вращенияя стержня с коэффициентом демпфирования 2 . Стержень закреплен на плоскости с помощью двух неподвижных цилиндров, наполненных вяз­кой жидкостью, и может совершать движение только вдоль оси . Предполагается, чтосила трения в цилиндрах пропорциональна квадрату линейной скорости с одинаковым ко­58эффициентом вязкости .

Помимо этого, стержень закреплен к стенкам поверхности спомощью двух пружин с коэффициентами жесткости 1 и коэффициентами линейного вязко­го трения 1 . Данная механическая система может служить упрощенной дискретной модельюдвижений лопасти на упругой втулке несущего или рулевого винта вертолета. Движение ло­пасти рассматривается в плоскости тяги без учета качения втулки несущего или рулевоговинта [40, 41].Рис.

3.1. Исследуемая системаДля того, чтобы получить уравнения движения системы и исследовать ее стационарныережимы на устойчивость, введём обобщённые координаты , . Уравнения Лагранжа второгорода, описывающие движения такой системы, в общем случае имеют вид:⎛⎝ ˙⎞⎠−= −∇П −Φ ˙−Ψ ˙+ ,(3.1)1Здесь = (, ) - вектор обобщенных координат, = ((),˙ )˙ - кинетическая энергиясистемы, П = П() - потенциальная энергия консервативныхсил, = (1 (), 2 ()) - век­2тор неконсервативных позиционных обобщенных сил, Φ, Ψ - диссипативные функции Релея.Здесь:591 2 2 12 22 = ˙ + ˙ + ˙ ˙ cos , П = 1 +622 = sin( − ), = sin 22 ˙ 2Φ = 1 ˙ 2 +2,1Ψ = ||˙33Уравнения Лагранжа 2-го рода исследуемой механической системы имеют вид⎧11⎪⎪2¨ + ¨ cos − ˙ 2 sin = −21 − 21 ˙ − ||˙ 2 ()+˙⎪⎨22+ sin( − )⎪⎪11⎪⎩ 2 ¨ + ¨ cos = −2 − 2 ˙ + sin 32(3.2)Положения равновесия находятся из системы уравнений{︃−21 + sin( − ) = 0(3.3)−2 + sin = 0и представимы в виде* =21⎛sin ⎝ −2⎞sin ⎠ ,* =2sin (3.4)Итак, исследуемая механическая система имеет единственное положение равновесия.