Диссертация (Качественный и асимптотический анализ динамики неконсервативных систем с квадратичным трением), страница 5

Уравнения линейного прибли­жения для системы (1.6) в векторно-матричной форме имеют вид:¨ + ˙ + = 0,(1.7)где = (1 ,2 ,3 ) , а , , – матрицы третьего порядка. Для сокращения записи введензависимый параметр = 2 − sin() + cos(). Приведем выражения для матриц линейнойсистемы:⎛731⎞⎜cos( − )cos()⎟⎜⎟322⎜⎟⎜3⎟41 = ⎜ cos( − )⎟cos()⎜2⎟32⎜⎟⎝ 111 ⎠cos()cos()22218⎛2−10⎞⎜⎟⎟=⎜−12−1⎝⎠0 −1 1⎛2 − cos() − sin()⎜=⎜⎝1.1.3−10−1 cos() + sin()⎞⎟2 − cos() − sin() −1 + cos() + sin()⎟⎠−11Характеристический полином системы с тремя степенямисвободыВ данном разделе проводится исследование устойчивости решения = ˙ = 0 уравне­ния (1.7) при = 0.

Об устойчивости тривиального решения можно судить по характери­стическому полиному. Если все корни характеристического полинома имеют отрицательныевещественные части, то положение равновесия системы (1.7) ассимптотически устойчиво.Следовательно, по теореме Ляпунова об устойчивости по первому приближению, положениеравновесия системы (1.1) также ассимптотически устойчиво.Для записи характеристического уравнения, воспользуемся подстановкой Эйлера = ℎ. Тогда уравнение (1.7) принимает вид:(2 + + )ℎ = 0(1.8)где ℎ = (ℎ1 , ℎ2 , ℎ3 ) .Из линейной алгебры известна следующая теорема для решения систем линейных ал­гебраических уравнений [9].Теорема 1.1. Система (1.8) тогда и только тогда имеет нетривиальное решение,когда определитель матрицы системы равен нулю.Из этой теоремы следует, что характеристическое уравнение определяется как детер­минант матрицы(; ) = (2 + + )(1.9)Для нахождения коэффициентов характеристического полинома (1.9) воспользуемся алго­ритмом Леверье, описание которого приводится в следующей теореме.Теорема 1.2.

Рассмотрим постоянную матрицу размерности ( × ) с характери­стическим полиномdet( − ) = + −1 −1 + . . . + 1 + 019(1.10)Тогда резольвента матрицы А может быть записана в виде( − )−1 =∑︁1 ,det( − ) =0где матрицы определяются следующим образом: =∑︁ − , = 1,2, . . . , ,=1а = 1. Коэффициенты и матрицы , = 1,2, . . . , могут быть определены с помощьюследующего итерационного алгоритма.

Пусть = 1, = (1.11)где – единичная матрица порядка . Тогда1− = − tr(−+1 ).(1.12)− = − + −+1(1.13)для = 1,2, . . . ,. При = имеем0 = 0.Доказательство Теоремы 1.2 приведено в [17].Чтобы воспользоваться Теоремой 1.2, приведем систему (1.7) к стандартной формеКоши:{︃˙ = ˙ + + = 0или после простейших преобразований{︃˙ = ˙ = −−1 − −1 (1.14)Запишем систему (1.14)в векторно-матричном виде˙ = где = (,) , матрица - блочная матрица размерности (6 × 6), играющая роль матрицы из Теоремы 1.2 (так как = 2, где = 3 – количество степеней свободы, и порядок20системы (1.11) равняется 2). Явный вид матрица (︃=0E−−1 −−1 )︃⎛⎞1 0 0⎜⎟⎜Здесь = ⎝0 1 0⎟⎠ .

Для нашей задачи матрица – единичная матрица размерности0 0 1(6 × 6).Установим связь характеристический полинома исходной задачи (1.9) с характеристи­ческим полиномом (1.10) из Теоремы 1.2.Пусть () = det(2 + + ) – характеристический полином исходной задачи,̃︀()= det( − ) = + −1 −1 + ...

+ 1 + 0 – характеристический полином изТеоремы 1.2. Связь этих полиномов даётся формулой:̃︀() = det()()Применяя непосредственно формулы алгоритма Леверье (1.11)–(1.13), получим выражения̃︀для коэффициентов полинома ():6 = 16 = ̃︀5 = ()⎛⎞(︁)︁ ⎠̃︀ − ̃︀ tr()̃︀tr()5 = ⎝̃︀−)︁1 2 (︁ 22̃︀̃︀̃︀4 = tr() + tr () − tr(() )2⎛⎛1(︁⎞)︁̃︀ − tr(̃︀ 2 ) ⎠ tr2 ()̃︀ + 2⎜ −̃︀ + ⎝tr()2⎜⎜4 = ⎜(︁)︁⎜̃︀ ̃︀ − tr(̃︀ )̃︀⎝ ⎞(︁̃︀ − ̃︀ tr())︁̃︀ + tr()+̃︀−)︁1 (︁̃︀ − tr(̃︀ 2 )) − 2tr(̃︀ )̃︀ + 2̃︀ 2+ 2 (tr2 ()2⎟⎟⎟⎟⎟⎠В силу громоздкости матриц , < 4, в дальнейшем явные выражения для них не выписы­ваются. Продолжаем:(︁)︁̃︀̃︀̃︀̃︀̃︀3 = tr()tr() − tr( ) + 3 det())︁ 2 (︁)︁22 ̃︀22 ̃︀̃︀̃︀̃︀̃︀̃︀̃︀̃︀̃︀̃︀2 =tr () − tr( ) +tr()tr () − tr()tr( ) + 2tr( ) − 2tr( )tr() +221 (︁221+4 (︁2̃︀ 2 )tr2 ()̃︀ − tr2 (̃︀ 2 ) − 2tr(̃︀ 3 )tr()̃︀ + 2tr(̃︀ 4 ) − 2tr()̃︀ det()̃︀tr()︁Отметим, что коэффициент при 4 в последнем выражении равен нулю для любых квадрат­ных матриц третьего порядка.

Поэтому выражения для коэффициент 2 имеет вид)︁ 2 (︁)︁22 ̃︀22 ̃︀̃︀̃︀̃︀̃︀̃︀̃︀̃︀̃︀̃︀2 =tr () − tr( ) +tr()tr () − tr()tr( ) + 2tr( ) − 2tr( )tr()221 (︁2Выражения для 1 имеет вид:1 = (︁2)︁2 ̃︀2̃︀̃︀̃︀̃︀̃︀̃︀̃︀̃︀tr ()tr() − tr( )tr() + tr( ) − tr()tr( ) −2⎛3⎞(︁)︁315̃︀ ⎝2 det()̃︀ − tr2 ()tr(̃︀̃︀ + tr(̃︀ 3 ) + tr3 ()̃︀ ⎠ + tr(̃︀ )̃︀ tr(̃︀ 2 ) − tr2 ()̃︀ +− tr())5222(︁)︁̃︀ 2 )tr(̃︀̃︀ − tr(̃︀ 3 )̃︀ −+5 tr()55⎛⎝1 (︁2)︁̃︀ 3 )tr2 ()̃︀ − tr(̃︀ 3 )tr(̃︀ 2 ) − tr(̃︀ 4 )tr()̃︀ +tr(̃︀ 5 ) − tr(̃︀ 2 ) det()̃︀+ tr()︁Здесь коэффициенты при 3 и 5 также равны нулю для любых матриц размерности (3 × 3).Следовательно, коэффмцмент 1 запишется в виде1 = (︁2)︁̃︀̃︀ − tr(̃︀ )tr(̃︀̃︀ + tr(̃︀2 )̃︀ − tr()tr(̃︀̃︀2 )tr2 ()tr())Наконец,̃︀0 = det()+2 (︁3 (︁)︁̃︀2 )tr2 ()̃︀ − tr(̃︀2 )tr(̃︀ 2 ) − tr2 ()tr̃︀ 2 ()̃︀ + tr(̃︀ 2 )tr2 ()̃︀ −tr(6(︁2)︁22 ̃︀̃︀̃︀̃︀̃︀̃︀̃︀̃︀̃︀̃︀̃︀ )}+̃︀−6 tr( )tr() + tr()tr( ) − tr( )tr()tr() − 3tr2 (++4 (︁6̃︀ 2 ̃︀2 ) +9tr(̃︁2 )tr(̃︀ )̃︀ det()̃︀ − 2tr(̃︀ 2 )tr̃︀ 2 ()̃︀ + 3tr(̃︀̃︀ 2 ) + 5tr(̃︀ 3 )tr(̃︀̃︀ − 6tr(̃︀ 4 )−̃︀3tr()̃︀ 3 )tr()tr(̃︀̃︀ + tr(̃︀ 3 )tr(̃︀ )̃︀ + tr(̃︀ 4 )tr()̃︀ +−tr()1 (︁)︁̃︀ 2 )tr3 ()̃︀ − tr2 (̃︀ 2 )tr()̃︀ −tr(2)︁ 6 (︁(︁)︁̃︀ 4 ) tr2 ()−̃︀̃︀ 2 ) − 2tr(̃︀ 5 )tr()+̃︀̃︀ 2 )tr(̃︀ )tr(̃︀̃︀ +tr(− tr(− tr()12)︁̃︀ 6 ) − 2tr(̃︀ 3 ) det()̃︀+2tr(22Коэффициенты при 2 , 4 , 6 также равны нулю для любых квадратных матриц порядка 3.Таким образом, 0 имеет вид̃︀0 = det()При записи коэффициентов использовались следующие обозначения:̃︀ := −1 ,̃︀ := −1 При выводе коэффициентов воспользовалась формула, выражеющая определитель мат­рицы третьего порядка через её след:det() =1 (︀6tr3 () − 3tr( 2 )tr() + 2tr( 3 ))︀Далее приводятся выражения для коэффициентов характеристического полиннома (1.9).Для лучшего восприятия каждый коэффициент уравнения записан отдельно.

Коэффициентпри 6 :316cos (−2 + 2 ) +169432+148cos (2 ) −5cos (2 ) = det()48Коэффициент при 5 :⎛⎝34cos (− + ) −14cos ( + ) −98cos (−2 + 2 ) −⎞283⎠− cos (2 ) − cos (2 ) − cos ( − 2 ) +cos () +444127211319Коэффициент при 4 :−1324+34cos (− + ) + (cos () + 6 + 3 cos (− + ) + 2 cos ()) 2 −14791− cos ( + ) − cos () − cos (−2 + 2 ) − cos (2 ) −472841151− cos (2 ) + sin (2 ) − sin (2 ) + cos (− + 2 ) +4242416++116116 cos ( + 2 ) + sin ( + 2 ) −116116 cos ( − 2 ) + sin (− + 2 ) +23116 cos ( + 2 ) +116 sin ( + 2 ) +1+ sin ( − 2 ) −16−4772 sin () +191234cos ( − 2 ) −cos () +28372+1242372 cos () − cos (2 ) −2372524 sin () − cos (2 ) +3+ cos (−2 + 2 )8Коэффициент при 33 + (12 − − cos (− + ) + 6 cos (− + ) − cos ( + )1317− sin ( + ) + sin (− + ) − cos ( − 2 ) − cos ()2412113− sin (2 ) − sin (2 ) − 2 sin () + sin ( − 2 ) + 2 cos ()2241171−2 cos () − cos (2 ) − sin () + 4 cos () − cos (2 )) 2122Коэффициент при 2 :16 − + sin ( + ) − cos (− + ) + 3 cos (− + ) − cos ( + )311− sin ( + ) + sin (− + ) + 3 2 + 2 cos ()24112 cos (− + 2 ) + 2 cos ( + 2 ) + 2 cos ()88411112 cos ( − 2 ) + 2 cos ( + 2 ) + 2 cos (− + 2 )888111− 2 cos ( + 2 ) − 2 cos ( + 2 ) + 2 cos ( − 2 )888111712 cos (− + ) + 2 cos ( + ) − cos () + sin ()661241133− sin (2 ) − sin (2 ) − cos ( − 2 ) + sin ( − 2 )2244cos () − 2 cos () − 2 sin () −1171 sin () + sin ( + 2 )12411 sin ( + 2 ) + 2 cos () − cos (2 ) − cos (2 )4222411 2 cos (− + ) − 2 cos ( + ) + sin ()2641Коэффициент при :3Коэффициент при 0 :11.1.4Условие устойчивости положения равновесияНа первом этапе проводится анализ устойчивости системы (1.1.2) в отсутствие диссипи­ции.

Для этого полагаем = 0 в характеристическом уравнении (1.9). Характеристическоеуравнение в данном случае представляет собой уравнение шестой степени относительно ,которое содержит ненулевые коэффициенты только при чётных степенях , или иначе би­кубическое уравнение.Для получения условий устойчивости в отсутствие диссипатиции, воспользуемся ме­тодом, изложенным в [10]. Пусть задана обратимая система линейных дифференциальныхуравнений = (, ) ,= ( ),, ∈ (1.15)с постоянной матрицей ( ), где = (1 , . . .

, ) - вектор параметров. Здесь – числостепеней свободы, а – число независимых параметров. Характеристический полином̃︀() :=2∑︁̃︀ ( ) ,̃︀2 = 1=0матрицы ( ) содержит только чётные степени , поэтому для анализа его корней вводитсяполином от = 2 : () =∑︁2 ( ) ,2 = 1(1.16)=0Изолированное положение равновесия = 0 системы (1.15) является устойчивой тогда итолько тогда, когда все корни характеристического полинома (1.16) 1 , .

. . , вещественныи отрицательны. Другими словами, устойчивость положения равновесия системы возможнатолько в критическом случае, когда корни характеритического полинома являются чистомнимыми. В этом случае кратными корнями являются нулевой = 0 и двукратный = − 2 ,который соответствует двукратным = ±.25Теорема 1.3 [10] Если = 2 или = 3, то условия0 ( ) > 0, ( ) ≥ 0, = 1, . . . , − 1и( ) ≥ 0необходимы и достаточны для устойчивости. Здесь ( ) – дискриминант полинома.Рассмотрим случай = 0 (случай Циглера).

Тогда параметры системы , задаютсяформулой: = ,Сделаем замену =√=0 и запишем следующее алгебраическое уравнение⎞⎞⎛19131494⎠ 2 + ⎝12 + + 2 ⎠ = 01+3 + ⎝− +108183663⎛13Дискриминант имеет вид:() =56935495832−749217170924849 2 7273067 3 1650937 4 1373 5 68 6+ − + − + 38884665611664116648181и условия Теоремы 1.3 принимают вид131361.1.5−19 ≥ 0,1812 −494 + 2 ≥ 0,63() ≥ 0Графическое построение областей устойчивости положенияравновесияРешим полученную в предыдущем пункте систему неравенств графически (рис. 1.2) Всеусловия Теоремы 1.3 одновременно выполняются в интервале (−∞; * ). Чтобы определитьзначение * воспользуемся методом Ньютона нахождения корней нелинейных уравнений.Уравнение, из которого определяется * , имеет вид() = 026Рис. 1.2. График коэффициентов и дискриминанта характеристического полинома, если=0В качестве начальной точки возьмём = 0.5, а точность = 0.000000001. Метод Нью­тона сошёлся за 8 итераций к точке * = 1.483549109.Таким образом, получен следующий результат: устойчивость нашей механическойсистемы в отсутствие сил трения возможна лишь при значении параметра ≤ * =1.483549109.Рассмотрим также случай, когда || ≠ 0, но мало.

Построим графики дискриминанта икоэффициентов полинома частот. Отметим, что для ̸= 0 дискриминант и коэффициенты неявляются полиномами относительно , и поэтому могут иметь бесконечное (счётное) числокорней.Продемонстрируем это на примере, когда принимает значение = 0.001. Построимграфически условия устойчивости для этого случая (рис. 1.3).Действительно, коэффициенты имеют бесконечное число корней в отрицательной об­ласти (при < 0). Отсюда имеем неожиданный результат: следящая сила действует почтивдоль стержня с незначительной поперечной составляющей. Когда = 0, то равновесиеустойчиво при любом отрицательном , и это очевидно, поскольку сила растягивает систе­му.