Автореферат (Исследование функционально-градиентных свойств сред с полями дефектов), страница 3

Для тензора дисторсий выполняются однородныеусловия Папковича dij Эijk  0 . На основе функционала Лагранжа для дефектных среди соотношений Грина, потенциальная энергия приобретает классический вид:L  A  1/ 2    ij Ri , j dVгде  ij - тензор напряжений.

Далее определяется эффективный модуль объемнойдеформации:K   kk / Rk ,k   K 11Rm,m  K 12 Dmm  / Rk ,k  K 11  K 12 Dmm / Rk ,k(3)и модуль сдвига эквивалентной классической среды:G  11  12 (ab ab ) / ( ab ab )(4)где K 11   311  211  / 3 , K 12   312  212  / 3 ;  ab   Ra,b / 2  Rb,a / 2  Rp, p ab / 3 - девиаторстесненных деформаций,ab   Dab / 2  Dba / 2  Drr ab / 3- девиатор свободныхдеформаций.Таким образом, однозначно определены переменные по координатам модулисдвига (4) и объемного сжатия (3) эквивалентной неоднородной (функциональной)классической среды. Переменность их по координатам определяется полямиперемещений Ri и несовместных дисторсий Dij2 .Далее, в частности, доказано, что лагранжиан теории сред Миндлина Тупина можно представить в виде лагранжиана для изотропной среды теорииупругости.

Для этого введен частный случай модели квазиконтинуума Миндлина11Тупина, предполагая, что тензор шестого ранга выражается через тензор111111 CrkijCrlmn/ С . На основании решения краевой задачичетвертого ранга Cijkmnlинайденных полных Rm и классических U m перемещений определяется ортотропный11тензор переменных модулей классической среды CijmnU m,n  CijmnRm,n . В общем случаеэти девять уравнений позволяют определить девять компонент тензорапеременных модулей Cijmn . Следовательно, лагранжиан теории сред Тупина,представлен как потенциальная энергия и лагранжиан классической неоднородной,в общем случае, ортотропной среды:L  A  1/ 2   CijmnUi , jU m,n dVВ третьей главе развивается модель пористых сред с микроструктурой,описывающаяэффектыдеградациисвойствматериалаиз-зарассеянныхповреждений.

В ходе построения решения устанавливается система определяющихсоотношений и формулируется согласованная постановка краевой задачи. В общемслучае предложенный метод позволяет определить зависимость свойств от виданапряженного состояния, т.е. учесть эффекты накопления повреждений.Основываясь на доказательстве теоремы об эквивалентности модели среды сполямидефектовиклассическоймодельюфункционально-градиентногоматериала, рассмотренной во второй главе и используя приведенную тампроцедуру в диссертации рассмотрено получение соотношений, позволяющих порешению,найденномудляпористойсредыопределитьэффективныехарактеристики эквивалентной изотропной среды с функционально-градиентнымисвойствами.

Основываясь на определениях пористой среды Dij1  Ri , j ; Dij2  ij / 3;  Rk ,k , где Dij1 , Dij2 - стесненная и свободная дисторсия, записан лагранжиандефектной среды в рамках модели Миндлина:11L  A  1/ 2   CijmnRi , j Rn,m  2K 12 ij Ri , j  K 22  K 22l 2 kl,k,l  dVpqpqгде Cijmn- тензоры модулей упругости, Cijkmnl- тензоры градиентных модулей,  -объемная деформация, K 22   3 22  2 22  / 3 , l - масштабный параметр.12На основании вариационного уравнения, которое определяет краевую задачудля сред с полями дефектов – пор, получены уравнения равновесия, которыеприводятся к распадающейся системе уравнений: 11K 12 K 12 111111112V2 V2 Rk ,ki    Ri  Rk ,ki    2    l Rk ,ki  Pi  l Pk ,k  022K112   11  2l 2 VK 12RlRPk ,kk ,kk ,kK 22K 12K 12где PiV - внешние объемные силы,  - оператор Лапласа.Полученыклассическойвыраженияизотропнойдляэффективныхсреды,модулейрассматриваемойкакэквивалентнойфункционально-градиентный изотропный материал, в котором свойства определяются черезрешение, найденное для пористой среды.Приводя плотность потенциальной энергии к форме, записанной через11классические напряжения, определен тензор податливостей Eijpq:11Eijpq 1/ K  ij pq  1/ G ( ip jq / 2   iq jp / 2   ij pq / 3)Модуль объемного сжатия является разностью постоянного по координатамповрежденного порами модуля объемного сжатия минус переменная покоординатам градиентная поправка:K   K 11  K 12 K 12 / K 22    211  11  l 2 Rk ,k / Rk ,kПеременный модуль сдвига остается постоянным и не поврежденным:GRp ,q/ 2   q , p / 2   i ,i pq / 3 p ,q / 2   q , p / 2   j , j pq / 3a ,b / 2  Rb , a / 2  Rm , m ab / 3 Ra ,b / 2  Rb ,a / 2  Rn ,n ab / 3  11Раздел 3.5 посвящен исследованию дисперсионных соотношений колебанийпористого стержня.

В выражении для полной энергии появится дополнительноеслагаемое, связанное с кинетической энергией, которое является суммойклассической и градиентной частей K  Kclassic  K grad , зависящих от скоростейtдеформации: Kclassict1 11 1    Ri Ri dtdV , K grad    ijmn Ri , j Rm,n dtdV , где   0 - плотность2 V t22 V t213в классическом понимании, t - время, ijmn   ij mn  (    )im jn  (    ) in jm ,  , ,  - градиентная инертность (в данном случае   0 ). Уравнения движения вданном случае: Ek 2 R0  0 2 R0  K 12ik0  2 20  0K 12ikR0  2 2 R0  K 22l 2 k 20  K 220  1 20  0здесь R  R0ei ( kxt ) ,   0ei ( kxt ) ; R0 и  0 - амплитуды, e - основание натуральногологарифма, i - мнимая единица, k - волновое число (величина, обратная длиневолны),  - частота, x - продольная координата, 1 - мера инертности свободногоизменения объема,  2 - мера инертности производных свободного измененияобъема.

Определитель этой системы: Ek 2  0 2K 12ik  2 2 K 12ik  2 20 K 22l2 k 2  K 22  1 2Рассмотрено несколько частных случаев. Первый l  0; 1  2  0, частота:2 Ek 2 f K 12 12221 , где K / K  f / 1  f  , f - объемное содержание пор. График0  1  f E для распределения частоты приведен на рисунке 1 а). Первый случайхарактеризуетсякоэффициентотсутствиемПуассона fK / 1  f  2G 1    1 ,12ивдисперсии.объемноготакомСуществуютсодержанияслучаепористаятакиепор,присредазначениякоторыхстановится«непроницаемой» для распространения в ней любых длин волн. Данный эффектпредставляется не физичным, поэтому необходимо учитывать эволюциюпористости.

Второй случай l  0 , выражение для частоты:2 Ek 2 fK 121 0  1  f E  l2 k 2  1 (5)На рисунке 1 б) показано распределение правой части этого выражения. Длярасчета принято E  71 ГПа, 0  2700 кг/м3 , K 12  65,73 ГПа , l  0.4 . Из рисунка видно,что может существовать такой длинноволновой интервал, для которого пористоетело «непрозрачно».14Рисунок 1 а).

Распределение частоты Рисунок 1 б). Распределение правойчасти выражения (5) (Гц2) в(Гц) в зависимости от волновогозависимости от волнового числачислаВ 4 главе приведены, решения рассмотренных в диссертации примеров. Вразделе 4.1 проводится исследование растяжения составной двухфазной слоистойструктуры или сдвиг такой структуры. В случае сдвига под модулями Юнгапонимаются модули сдвига. Слоистая структура состоит из N фрагментов матрицыи армирующего материала с модулями Юнга EM , D , «моментными» модулями CM , Dи длинами  M , D . Определено выражение для модуля Юнга, которое имеет явноевыражение:1 ED 1  x f aD ch(aD x)sh(aD  D / 2)aDaME th(aD  D / 2) EM th(aM  M / 2)E  x    E D EM DaDaMth(aD  D / 2) th(aM  M / 2)1 EMaM ch  aM  x  (  D / 2   M / 2)   1 xfsh(aM  M / 2)где x f 1/ EM   1/ ED aDaMEDth(aD  D / 2) EM th(aM  M / 2)внутри включенияна границе контактавнутри матрицы; aM  CM / EM , aD  CD / ED - масштабныепараметры.15Модуль Юнга классической неоднородной среды является непрерывнойфункцией координаты x, и асимптотически приближается к значениям модулейматрицы EM и включения ED при удалении от границы контакта  D / 2 .На рисунке 2 приведен график длямодуляЮнга,M   D  1,когдаEM  10 ГПа, ED  50 ГПа, значения масштабныхпараметровaM  aD  7;10; 20; 50;100 .Штриховая линия на рисунке 2 соответствуетмаксимальномузначениюмасштабногопараметра и наиболее близка к решению вклассическойпостановке.ВслучаеРисунок 2.

Модуль Юнга (ГПа) уменьшения длины фрагмента армирующегона границе контакта для случаяматериала до D  0.5 , а затем до  D  0.3aM  aD ;получим распределение модуля Юнга, представленного на рисунке 3 а) и 3 б)соответственно.а)б)Рисунок 3. Модуль Юнга (ГПа) на границе контакта: а) для случая D  0.5 ;б) для случая  D  0.3 ;Так как жесткая фаза по определению имеет модуль, превышающий модульмягкой фазы, часть межфазного слоя, лежащего в жесткой фазе, пренебрежимомала по сравнению с той частью межфазного слоя, которая лежит в мягкой фазе.16Отсюда можно сделать вывод: чем «жестче» жесткая фаза, тем меньшая долямежфазного слоя находится в жесткой фазе и тем большая доля – в мягкой фазе».Следовательно, можно говорить, что жесткая фаза «выталкивает» межфазный слойв мягкую фазу.В разделе 4.2 рассматривается одно- и двухосное растяжение пористогостержня.

Задача решается относительно перемещений2 R  R  0 ,которыеявляются нечетной функцией в отношении продольной координаты, здесь2  l2 EK 22 /  EK 22  K 12 K 12  - масштабный параметр. Получено выражение дляпористости и перемещений, а также объемного модуля:K  K11  K11f1 f  11  211  2Rk ,k(6)Rk ,kгде   K 12 / K 11 - мера поврежденности. Деградация свойств определяется“алгебраической поврежденностью” - второе слагаемое в (6) и эволюцией пор третье слагаемое в том же выражении. В случае еслиRk ,k Rk ,k  0и   0 имеемидеальную неповрежденную среду. График распределение поврежденности подлине полосы, представлен на рисунке 4.