Диссертация (Исследование вращений небесных тел под действием притяжения Солнца и Юпитера), страница 9

Введём системукоординат Mx1x2x3 , жёстко связанную с телом, оси которой направлены по главнымцентральным осям инерции. Взаимное положение главных центральных осей инерцииMx1x2x3 и кёниговой системы координат Mξηζ задаётся с помощью канонических58переменных Депри-Андуайе L,I2,I3,l,φ2,φ3 [54,61] (Рис. 3.2), которые подробно описаны вразделе 1.1.Отметим, что если использовать традиционные обозначения этих переменных L; G; H;l; g; h , будем иметь переменные Серрет-Андуайе [84].Рис. 3.2 Переменные Депри-АндуайеНа Рис.

3.2K – вектор кинетического момента Марса относительно центратяжести. Cмысл угловых переменных l , 2 , 3 ясен из рис.3.2, а соответствующие имимпульсы как следует из Рис.2.2 таковыL  K cos 2 , I 2  K , I3  K cos 1Дифференциальные уравнения вращения имеют гамильтонов вид. Выражение дляфункции Гамильтона известно [4,8]:I 22  L2L2HU ,2A2C3333 2 aJ332 aJ222 a2U   1  nJ 3 (C  A)13  nJ 3 (C  A)23   n 3 (C  A)33,2r12r22r3ij 1 j cos    j sin   x  xi    j cos    j sin   y  yi    j  z  zi  .ri Здесь введены следующие обозначения:59(3.1)mJm 0.0009535918308 ,   0.000003002655505 .mS  mJmS  mf - гравитационная постоянная, x1=-μr , x2=(1-μ)r -координаты центров масс Солнца иЮпитера, nJ f  mS  mJ  a J3 - среднее движение Юпитера, n среднее движение Земли, ri 22 x  xi    y  yi    z  zi 2f  mS  m  a3-, γij - направляющие косинусырадиуса-вектора ri с главными центральными осями инерции Mxj .

Иначе ij  ei , e j  .Здесь x  xi y  yi z  zi ,ei  ,,riri  rie j   j cos    j sin  ,  j cos    j sin  ,  j  .Ортыe j главных центральных осей инерции Mx j в барицентрической системы координат Oxyzстоят в столбцах матрицы перехода от системы координат Mx1 x2 x3 к Oxyz: x  1 cos   1 sin  2 cos   2 sin  3 cos   3 sin   x1     y    1 cos   1 sin  2 cos   2 sin  3 cos   3 sin   x2     x  z  1233A, C- экваториальный и аксиальный моменты инерции Марса, αi, βi, γi - элементыматрицы направляющих косинусов между кёниговой системой координат Mξηζ иглавными центральными осями инерции Mx1x2x3 соответственно, выражения для которыхприведены, например, в [17].Матрицу S направляющих косинусов с элементами i , i ,  i легко получить, сделавпять последовательных поворотов на углы 3 , 1 , 2 , 2 , l вокруг соответствующих осей.

Ввекторно-матричной форме переход от системы координат Mx1 x2 x3 к M  запишется ввиде: x1  1 2     S  x2  , S = 1 2    1  2 x3 cos 3  sin 3S1   sin 3 cos 3 003 3  , S=S1S2S3S4S53 1cos 2  sin 2000 0 , S 2  0 cos 1  sin 1  , S3   sin 2 cos 20 sin 1 cos 1  01000 ,11cos l  sin l 000 S 4  0 cos 2  sin 2  , S5   sin l cos l 0 . 0010 sin 2 cos 2 Орбиту Марса M будем считать известной квазипериодической функцией временив барицентрической системе координат Oxyz, частотный базис которой имеет видω1   n J , nM  .

Здесь nJ , nM - средние движения Юпитера и Марса соответственно.60Орбиту Земли будем также считать известной квазипериодической функцией времени вбарицентрической системе координат Oxyz с частотным базисом ω 2   nJ , n  . ВеличиныnJ , n - средние движения Юпитера и Земли соответственно.3.2 Орбита Земли и Марса в барицентрических координатах Солнца иЮпитера.Для вычисления орбиты Марса в барицентрической системе координат Oxyz введёмправые системы координат.Пусть SXYZ - система координат с началом в центре масс Солнца, ось SZ направленапо нормали к плоскости эклиптики, ось SX направлена в точку весеннего равноденствия γ,ось SY дополняет систему координат до правой; Sx′y′z′ - система координат с началом вцентре масс Солнца, ось Sz′ направлена по нормали к плоскости орбиты Юпитера, ось Sx′направлена в точку восходящего узла орбиты Юпитера, ось Sy′ дополняет системукоординат до правой.

Барицентрическая система координат Oxyz была описана выше.Координаты центра масс Марса в гелиоцентрической эклиптической системекоординат SXYZ вычисляются по формулам:X M  r1 cos(M  1 ) cos(M )  sin(M  1 )sin(M ) cos(iM ) ,YM  r1 cos(M  1 ) sin(M )  sin( M  1 ) cos(M ) cos(iM ) ,Z M  r1 sin( M  1 ) sin(iM )Здесь M , M , iM - кеплеровские элементы орбиты Марса (см. таблицу 3.1). Длявычисления координат центра масс Марса в барицентрической системе координат Oxyzвыполним три последовательных поворота и параллельный перенос начала координат S вточку O - барицентр Солнца и Юпитера.Первый поворот выполним вокруг оси SZ на угол ΩJ.

В результате получим системукоординат SX1Y1Z1, где плоскость X1Y1 лежит в плоскости эклиптики, причём ось SX1направлена в точку восходящего узла орбиты Юпитера, ось SZ1 направлена по нормали кплоскости эклиптики, ось SY1 – дополняет систему координат до правой. Второй поворотвыполним вокруг оси SX1 на угол iJ. В результате получим систему координат Sx′y′z′ ,которая была описана выше.

Третий поворот выполним вокруг оси Sz′ на угол u=ωJ + ν. Врезультате получим вращающуюся систему координат Sxyz с центром в Солнце. Перейдёмот системы координат Sxyz к системе координат Oxyz, сделав параллельный переносначала координат на вектор s=(μr,0,0).В векторно-матричной форме переход от старых координат SXYZ к новым Oxyzзапишется в виде:61 X M  x   1 y  S YM   s   z Z M (3.2)Здесь S=S1S2S3.

S1 – матрица поворота вокруг оси SZ на угол ΩJ, S2 - матрицаповорота вокруг оси SX1 на угол iJ, S3 – матрица поворота вокруг оси Sz′ на угол u=ωJ + ν.Матрицы S1, S2, S3 имеют следующий вид:cos Ω JS1   sin Ω J 0 sin Ω Jcos Ω J01000 , S 2  0 cos iJ0 sin iJ1cos u  sin u 0 sin iJ  , S3   sin u cos u 0 0cos iJ 010Для вычисления орбиты Земли в барицентрической системе координат Oxyz поступиманалогичным образом. Подсчитаем координаты центра масс Земли в гелиоцентрическойэклиптической системе координат SXYZ по формуламX   r  cos(  2 ) cos( )  sin(  2 ) sin( ) cos(i )  ,Y  r  cos(  2 ) sin( )  sin(  2 ) cos( ) cos(i )  ,Z   r  sin(  2 ) sin(i ) где r - расстояние между Солнцем и Землей,  ,  ,i - кеплеровские элементы орбитыЗемли (см.

таблицу 3.1). Тогда координаты центра масс Земли в барицентрических осяхзапишется в виде: X   x3    y   S1 Y   s .   3  Z  z3 Средние кеплеровские элементы орбит Юпитера, Марса и Земли, рассчитанные наэпоху J2000, представлены в таблице 3.1.Таблица 3.1. Кеплеровские элементы орбит Юпитера, Марса и Земли.ЭлементЮпитерМарсЗемляЭксцентриситетeJ=0.04839266eM=0.09341233e = 0.01671022Наклонение орбитыiJ=1.30530˚iM= 1.85061˚i = 0˚Долгота восходящего узлаΩJ=100.55615˚ΩM=49.57854˚Ω  =348.73936˚Аргумент перигелияωJ=275.066˚ωM=286.4623˚ω =114.20783˚Большая полуосьaJ=5.20336301 а.е.aM=1.52366231 а.е.a =1.00000011 а.е.Среднее движениеnJ=1.6784899∙10-8 рад/cnM=1.05857597∙10-7n =1.990986576∙10-7рад/cрад/c62Используя полученные формулы для координат центров масс Земли и Марса,значения средних кеплеровских элементов орбиты, получим координаты x, y, z какфункций ν, ν1 и координаты x3 , y3 , z3 -- как функций ν, ν2:x11.164389636 cos1 cos  0.9619543252 cos sin1 1+0.09341233cos1-0.9618034592 sin cos1  1.163934041 sin sin1 y0.004949210633,1+ 0.04839266cos1 -0.9618034592cos cos1 1.163934041cos sin1 1+0.09341233cos1-1.164389636sin cos1  0.9619543252sin sin1 ,z1-0.01842487193cos 1 +0.03331703134sin1 ,1+0.09341233cos1x3 1 0.0466676364cos 2 cos  0.9983733582cos sin 2 1+0.01671022cos 2+0.9986305951sin cos 2  0.0466339854 sin sin 2 y3 0.004949210633,1+ 0.04839266cos10.9986305951cos cos 2  0.0466339854cos sin 2 1+0.01671022 cos 2-0.0466676364sin cos 2  0.9983733582sin sin 2 ,z3 1-0.000949299537 cos  2 -0.02275398410sin 2  ,1+0.01671022cos 2Для того, чтобы записать координаты центра масс Марса и Земли в видевременных рядов, воспользуемся разложением тригонометрических функций истиннойаномалии в тригонометрические ряды по кратным средней аномалии [1]:cos   -e 2 1- e 2 eJk( ke) cos kM ,sin   1 ek 12  Jk 1k 1ke J k 1 ke sin kM (3.3)Подставляя ряды (3.3) в формулы для x , y , z и x3 , y3 , z3 , раскладывая полученныевыражения в ряды по eJ , eM , e получим, с точностью до членов пятого порядка малости,координаты центра масс Марса в осях Oxyz:63x( M , M 1 ) 1.164389636 cos M cos M 1 0.9619543252cos M sin M11  0.09341233cos M 11  0.09341233cos M10.9618034592sin M cos M 1 1.163934041sin M sin M11  0.09341233cos M 11  0.09341233cos M 140.004949210633  eJm eMn xmn ( M , M 1 ),1  0.04839266000 cos M mn1y (M , M 1 )  41.164389636sin M cos M 1 0.9619543252sin M sin M 1  eJm eMn ymn ( M , M1 ),1  0.09341233cos M 11  0.09341233cos M 1m n1z(M , M1 )  x3 ( M , M 2 ) 40.01842487193cos M1 0.03331703134sin M1  eJm eMn zmn ( M , M1 ),1  0.09341233cos M 1 1  0.09341233cos M 1 mn10.0466676364 cos M cos M 2 0.9983733582 cos M sin M 21  0.01671022 cos M 21  0.01671022cos M 20.9986305951sin M cos M 2 0.0466339854sin M sin M 21  0.01671022 cos M 21  0.01671022 cos M 240.004949210633  eJm en xmn ( M , M 2 ),1  0.04839266000 cos M m  n1y3 ( M , M 2 ) 0.9618034592cos M cos M 1 1.163934041cos M sin M 11  0.09341233cos M 11  0.09341233cos M 10.9986305951cos M cos M 2 0.0466339854cos M sin M 21  0.01671022cos M 21  0.01671022 cos M 240.0466676364sin M cos M 2 0.9983733582sin M sin M 2  eJm en ymn ( M , M 2 )1  0.01671022cos M 21  0.01671022cos M 2m n 1z3 (M , M 2 )  40.01842487193cos M 2 0.03331703134sin M 2  eJm en zmn (M , M 2 ),1  0.01671022cos M 2 1  0.01671022 cos M 2 mn1Здесь M  nJ t , M1  nM t , M 2  nt - средние аномалии Юпитера, Марса и Земли.Функции xnm , ynm , znm имеют громоздкий вид, поэтому их опускаем.64Рис.