Диссертация (Исследование вращений небесных тел под действием притяжения Солнца и Юпитера), страница 13

4.6. Фазовый портрет колебаний конца вектора кинетического момента Нептуна.87Положения равновесия конца вектора I2 находятся численно из уравнений:G 1  D2  D3  sin 23  2 D4 cos 23  sin 2 1   D6 cos 3  D7 sin 3  sin 21  032G  D2 sin 2 3  D3 cos 2 3  D4 sin 23  D5  sin 21   D6 sin 3  D7 cos 3  cos 21  01(4.9)Число стационарных точек равно восьми, при этом четыре точки устойчивы,остальные неустойчивы.

Между положениями равновесия (7) и (8) заключены зоныколебаний в окрестности плоскости большего круга, параллельного плоскости орбитыТритона. Эти зоны очень узкие, поэтому на рис. 4.6 не изображены.Качественная картина траекторий вектора I2 представлена на рис 4.7 Сплошнымилиниями изображены видимые кривые, расположенные на внешней стороне сферы, апунктирными линиями изображены кривые, расположенные на оборотной стороне.Рис.4.7 Траектории конца вектора кинетического момента Нептуна на единичной сфере.Приведённых сведений достаточно, чтобы сделать выводы о влиянии Тритона,Солнца и Юпитера на вращение Нептуна.

Прежде всего отметим, что стационарные точки(2)и(5)имеютследующиекоординаты:{3  150.456239 , 1  41.353394 }и{3*  330.456239 , 1*  138.646606 } соответственно. Отсюда следует, что эти точки принадлежат нормали к плоскости орбиты Тритона, так как угол 1*  138.646606  является88наклонением  орбиты Тритона к орбите Юпитера. Действительно, несложно показать,что наклонение  вычисляется по формуле  arccos  cos iJ cos(  iT )  sin iJ sin(   iT ) cos(T   J )   138.6453144 Отсюда следует, что стационарные точки (7) и (8), имеющие координаты3  330.067229 , 1  48.647260 и 3  150.067229 , 1  131.352739  , принадлежатплоскости, параллельной плоскости орбиты Тритона.

Окружностям единичной сферы,плоскостькоторыхпараллельнаорбитеТритона,отвечаетпрецессиявекторакинетического момента вокруг нормали к плоскости этой орбиты. Не останавливаясьподробно на анализе прецессии, отметим только, что притяжение Тритона вызываетрегулярную прецессию, в то время как Солнце и Юпитер портят прецессию, изменяя уголнутации и угловую скорость прецессии на величины порядка 1 .Более существенные эффекты от притяжения Солнца и Юпитера проявляют себя втом случае, когда движения вектора кинетического момента наблюдаются вблизи южногои северного полюсов единичной сферы, а также вблизи плоскости большего круга,параллельного плоскости орбиты Тритона. К примеру, появляются новые положенияравновесия, отвечающие значениям δ1=0,δ1=π, что непосредственно следует из интеграла(12) при g=0.

Неустойчивым стационарным точкам δ1=0,δ1=π отвечают гомоклиническиетраектории, вдоль которых движение имеет асимптотический характер. Либрациям вокрестности этих траекторий отвечают движения I2 со сколь угодно большим периодом.В окрестности плоскости большего круга, параллельного плоскости орбитыТритона, вектор I2 совершает колебаниявблизи стационарных точек (3), (4) скоординатами {3  60.237040 , 1  89.807068 } и {3  240,237040 , 1  90.192932 }соответственно. Появление стационарных точек и либраций в их окрестности – результатразрушенияструктурнонеустойчивогоконтинуума,состоящегоизравновесий,принадлежащих экваториальной окружности, и существующего во вращениях планетыпод действием притяжения одного лишь Тритона. Зона колебаний ограничена двумягетероклиническими кривым, соединяющими равновесия (7) и (8) (рис. 6) и отвечающимиконстанте g=0.1135422152.

Как было ранее отмечено, ширина такой зоны колебаний оченьузкая.Анализ интеграла G=g показывает, что вектор кинетического момента совершаетвращения вокруг нормали к плоскости орбиты Тритона, что не отвечает действительности: реальному вращению Нептуна соответствует замкнутая фазовая траектория наединичной сфере с углом нутации 1  29.56 , отсчитанным от нормали к плоскостиорбиты Нептуна.

Полученный результат объясняется грубостью модели: силовая функция89Тритона приближается первым членом разложения силовой функции в ряд (спутниковоеприближение), однако точность такой аппроксимации плохая, так как параметр  неявляется достаточно малым. Поэтому для решения задачи о вращении Нептуна с учетомпритяжения Тритона нужны иные подходы.В заключении необходимо отметить работу [18], в которой исследовалосьпрецессионное движение Нептуна под действием притяжения его массивного спутникаТритона. В цитируемой работе выписаны эволюционные уравнения Белецкого споправкой на эволюцию орбиты Тритона. В этой же работе выписан первый интеграл,описывающий поведение вектора кинетического момента Нептуна I2 на единичной сфере.Кроме классических стационарных точек, когда вектор кинетического момента Нептуна I2направлен по нормали и антинормали к плоскости орбиты Тритона интеграл допускаетзоны колебаний в окрестности стационарных точек, расположенных вблизи плоскостиорбиты Тритона и вблизи нормали к плоскости тритоновской орбиты.

Эти эффектыобусловлены эволюцией орбиты Тритона и в данной работе не рассматривались.90ЗаключениеВ диссертации применен подход к исследованию вращения некоторыхнебесныхтел,вкотороморбитаисследуемоготелаявляетсяусловно-периодической функцией времени в некоторой системе координат. Такой подходпозволяет учитывать гравитационное возмущение со стороны N тел в отличие отклассических исследований. Получены усредненные уравнения вращения Сатурна,Нептуна и Марса, описывающие эволюцию медленных переменных (частотупрецессии и угла нутации), когда в качестве базовой системы переменных,описывающих ориентацию твердого тела берутся переменные Депри-Андуайе.Были получены интегралы, описывающие поведение вектора кинетическогомомента Сатурна, Нептуна и Марса на единичной сфере.

При исследовании этихинтегралов были выявлены новые интересные эффекты: появление новыхположений равновесия вектора кинетического момента Марса и Сатурна, а такжепоявление зон либраций в окрестности плоскостей их орбит и нормалей к ним.Исследовано влияние Юпитера на прецессию оси вращения Сатурна сучетом притяжения Солнца и спутников планеты.Используя метод малогопараметра, получены, с точностью до членов порядка ε3 и ε2 в усредненномдвижении, общие выражения для угла нутации и частоты прецессии планетысоответственно.Предполагалось,чтопланетаявляетсядинамическисимметричным твердым телом (А=В) и находится в гравитационном полепритяженияучитывалосьдвухмассивныхтакжетел.притяжениеПриегоисследованииспутников.вращенийСатурнсоСатурнаспутникамирассматривается как «единое целое», прецессирующее вокруг нормали кнеподвижной плоскости орбиты Сатурна, и, как следствие, уточнена частотаневозмущенной прецессии.Исключение здесь составляет Нептун, вектор кинетического моментакоторого совершает псевдорегулярную прецессию вокруг нормали к плоскостиорбиты Тритона.

Также при определенных начальных условиях наблюдаютсялибрационные движения в окрестности плоскости орбиты Тритона. Данныйэффект,отличающийся отклассическихрезультатов, объясняется учетомгравитационных моментов со стороны Тритона, как притягивающего центра, врамках модели спутникова приближения. Зоны либраций отделяют от движенийтипа прецессии гомоклинические и гетероклинические траектории, стремящиеся ксоответствующимположениям равновесия вектора кинетического момента91планеты при t   .

Было установлено, что топология вращений Марса в задачечетырех тел совпадает с топологией вращения Марса в задаче трех тел (когдатретьим притягивающим телом является Юпитер или Земля).92Список литературы1Абалакин В.К., Аксенов Е.П., Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Справочноеруководство по небесной механике и астродинамике.М. :Наука, 19712Аксенов Е.П. Теория движения искусственных спутников Земли. М.: Наука,1977.3Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения вклассической и небесной механике.

УМН, 1963, т.18 вып. 64Архангельский Ю.А. Аналитическая динамика твердого тела. М.: Наука, 1977.5Асланов В. С., Пироженко А. В., Кислов А. В., Маслова А. И.Влияниепеременного аэродинамического момента на движение спутника относительноцентра масс. Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика.Информатика.

2011, т. 11, вып.3(2), с. 67–74.6Асланов В.С. Пространственное движение тела при спуске в атмосфере. М.:Физматлит, 2004. 160 с.7Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс.М.:Наука, 1965.8Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационномполе.М.:Изд-во МГУ, 1975.9Белецкий В.В.

Очерки о движении космических тел. М.: Наука, 1972.10 БелецкийВ.В.Резонансныеявлениявовращательныхдвиженияхискусственных и естественных небесных тел. Препринт ИПМ АН СССР, № 10,1975.11 Белецкий В.В., Левин Е.М., Погорелов Д.Ю. К вопросу о резонансныхвращениях Венеры.I. – Астрон. ж., 1980, т.

57, №1, c. 15812 Белецкий В.В., Левин Е.М., Погорелов Д.Ю. К вопросу о резонансныхвращениях Венеры.II. – Астрон. ж., 1981, т. 58, вып. 1, c. 198.13 Белецкий В.В., Хентов А.А. Вращательное движение намагниченного спутника.М.: Наука, 1985, 288с.14 Белецкий В.В., Хентов А.А. Магнитно-гравитационная стабилизация спутника.Доклад на XXIV конгрессе МАФ. Баку, 1973.15 Белецкий В.В., Хентов А.А. Резонансные вращения небесных тел. НижнийНовгород: Нижегородский гуманитарный центр, 1995 - 423 с.16 Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. (1963). Асимптотические методы втеории нелинейных колебаний.