Диссертация (Исследование вращений небесных тел под действием притяжения Солнца и Юпитера), страница 12

(эпоха 1923 г.)Таблица 4.2. Кеплеровские эклиптические элементы орбиты ТритонаЭлементТритонЭксцентриситетeT=0Наклонение орбитыiT=138.0906730˚Долгота восходящего узлаΩT=344.7488892˚Аргумент перицентраωT=0˚Большая полуосьaT = 0.002371417486 а.е.Среднее движениеnT=1.2374009∙10-5 с-1Координаты центра масс Тритона в нептуноцентрической эклиптической системекоординат Nx3 y3 z3 вычисляются по формулам:x3  aT  cos(M 2 ) cos(T )  sin( M 2 )sin(T ) cos(iT )  ,y3  aT  cos(M 2 ) sin(T )  sin( M 2 ) cos(T ) cos(iT )  ,z3  aT sin(M 2 ) sin(iT )где M2 – средняя аномалия движения Тритона.Для перехода от нептуноцентрической к гелиоцентрической системе координатнеобходимо сделать параллельный перенос начала координат N в точку S на векторr1=(X,Y,Z).

Далее, выполнив три последовательных поворота и параллельный переносначала координат S в точку O, как было описано ранее, получим координаты центра массТритона в барицентрической системе координат Oxyz.В векторно-матричной форме переход от старых координат Nx3 y3 z3 к новым Oxyzзапишется в виде: x3  X  x3  1 y3   S Y  y3   s  z3  Z  z3 80(4.3)Используя формулу (4.2) и значения средних элементов орбиты, получим координаты x,y, z как функций ν, ν1 :1 26.20940051cos 1 cos  -14.73274067 cos  sin 1 1  0.00858587 cos 1x14.72907733sin  cos 1  26.20770386 sin 1 sin   -y0.004949210633,1  0.04839266cos 114.72907733cos 1 cos  - 26.20940051cos 1 sin  1  0.00858587 cos 126.20770386 sin 1 cos  14.73274067 sin 1 sin  ,z1-0.3617645378cos 1 -0.3344825179sin 1 1  0.00858587 cos 1Формулы для x3, y3, z3 как функций ν, ν1, M2имеют громоздкий вид, поэтому ихприводить не будем.Для того, чтобы записать координаты центра масс Нептуна в виде временного ряда,воспользуемся разложением тригонометрических функций истинной аномалии втригонометрические ряды по кратным средней аномалии [1]:cos   e 2 1 e 2 ek 1k 1 J k (ke) cos kM , sin   1 e2   J k1 ke J k 1 ke sin kM(4.4)Подставляя ряды (4.4) в x,y,z , раскладывая полученные выражения в ряды по ej, eNс точностью до членов пятого порядка малости, получим координаты центра массНептуна в осях Oxyz:x( M , M 1 ) 26.20940051cos M 1 cos M 14.73274067 cos M sin M11  0.00858587 cos M11  0.00858587 cos M 114.72907733sin M cos M 1 26.20770386sin M sin M 11  0.00858587 cos M 11  0.00858587 cos M140.004949210633  eJm eNn xmn ( M , M 1 )1  0.04839266 cos M m n 1y(M , M1 ) ,14.72907733cos M 1 cos M 26.20770386 cos M sin M 11  0.00858587 cos M 11  0.00858587 cos M 1426.20940051sin M cos M 1 14.73274067sin M sin M 1  eJm eNn ymn ( M , M 1 )1  0.00858587 cos M 11  0.00858587 cos M 1m  n 1,81z(M , M1 )  40.3617645378cos M 1 0.3344825179sin M1  eJm eNn z mn ( M , M 1 )1  0.00858587 cos M 1 1  0.00858587 cos M1 m n 1Здесь M,M1 - средние аномалии Юпитера и Нептуна, функции xnm, ynm, znm имеютгромоздкий вид, поэтому их опускаем.

Учитывая, что M=njt,M1=nNt можем представитькоординаты центра масс Нептуна в виде явных функций времени.Рис. 4.4 График орбиты Нептуна в барицентрической системе координат Oxyz.На рис. 4.4 изображена орбита Нептуна в барицентрических осях Oxyz на интервалевремени порядка 317 земных лет. Величины x,y,z указаны в астрономических единицах.82Рис. 4.5. Орбиты Нептуна и Юпитера на небесной сфере.На Рис.4.5 представлены орбиты Нептуна и Юпитера, изображённые на единичнойсфере в инерциальной системе координат. Здесьравноденствийсоответственно,и Ω - точки весеннего и осеннегоN=100.55615˚,N1=131.72169˚,NП=275.066˚,N1П1=273.24966˚ , NN1=31.16554˚ , NN2=77.16086293˚ , N1N2=46.00570765˚ , ij=1.30530˚ ,iN=1.76917˚ , β= 0.9389385262˚.4.3 Возмущённое вращение Нептуна.Для того, чтобы исследовать вращение Нептуна методами теории возмущений, введёммалые параметры задачи.

Учитывая, что угловая скорость вращения Нептуна*  1.0931271∙104 рад/c относительно центра масс существенно превосходит среднеедвижениеЮпитера n j  1.67992∙108рад/cисреднеедвижениеnT  1.2368 105 рад/c, за единицу времени примем характерное значение T  параметры 1  nJ nJ  nJ / * ~ 104  , 2  nT nT  nT / * ~ 101 83Тритона1.

Тогда-- малые, при этомсредние аномалии движений Юпитера, Нептуна и Тритона будут вычисляться поформуламnM  nJ t , M 1  nN t  nN  N* ~ 105  , M 2  nT tДалее рассматривая движение центра масс Нептуна удобно за единицу длиныпринять расстояние между Нептуном и Тритоном a  aT . Тогда соответствующиерасстояния будут вычисляться следующим образом:r3 r3r ar ar 1 , r    J , r1  1  N , r2  2aa aa aaТеперь рассмотрим движение Нептуна относительно центра масс.

В данном движении заединицу длины удобно принять характерный размер Нептуна x   . Тогда координатыНептуна в связанной с телом системе координат Nx1 x2 x3 будут вычисляться по формуламx1   x1 , x2   x2 , x3   x3Здесь x1  1 , x2  1 , x3  1 . При этих предположениях главные центральные моментыинерции Нептуна A,B,C будут представляться в виде:A   2   x2 2  x3 2 dm   2 A , B   2   x3 2  x1 2 dm   2 B  , C   2   x1 2  x2 2 dm   2C VVVЗдесь A  1 , B   1 , C   1 .Введем еще один малый параметр спутникова приближения  . Учитывая, чтоaхарактерный размер Нептуна   24764 км.

Имеем   0.0698  102 .Функция Гамильтона (3.1) примет следующий вид:HI 22  L2L2 ε122 H11  ε 222 H12222 A2 C гдеaJ333 aJ322H11  1 (C  A )13  (C   A)23,332a r12 ar2aT332H12  T(C   A)3332 ar3Отметим, что для случая динамически-симметричного Нептуна (A=B) переменныеДепри-Андуайе являются переменными действие-угол в невозмущенной задаче: 2 H 0L 11H 0I * 2    * 22 , l I 2  AL   C  A 84L  const , I 2  const , I 3  const , 3  const(4.5)Заметим, что частота собственного вращения ( Ω1  l ), частота прецессии ( Ω2   2 )относительных движений Нептуна вокруг вектора кинетического момента I2 , частотыnN , nJ , nT орбитального движения Нептуна, Юпитера и Тритона в барицентрических осяхне удовлетворяют резонансным соотношениямk0 nJ  k1nN  k2 nT  k31  k42  0ни при одном наборе целых чисел k0 , k1 , k2 , k3 , k4 , если k02  k12  k22  k32  k42  0 .Перейдём к новому времени M=ε1t и запишем «расширенную» функциюГамильтонаH *  PM nNn1PM1  T PM 2  H 0  1 H11  2 H12111Причем 1  1  2  108 , 2 Здесь, M, PM, M1, PM1 ,M2, PM 2(4.6)22 2 102 .1новые обобщённые координаты и обобщённые импульсысоответственно.

Легко видеть, что величины M,M1,M2,l,φ2 являются быстрымипеременными задачи, частоты изменения которых в невозмущенном движении есть 1,nN / 1 , nT / 1 , Ω1/ε1, Ω2/ε1 .Исследуем уравнения возмущённого движения при помощи метода усреднения.Для этого усредним функцию H* по быстрым переменным M,M1,M2,l,φ2, рассматривая1 ,  2 как независимые малые параметры [24,23]11H  H 0  1 H1 , H 1 51 2 20...  H 11  2 H12 dld 2 dM dM 1 dM 210 2Вычисления показывают, что функция H1 имеет следующий вид:H1  D 3aJ3  F  I 2 , L  1  G  I 2 , I3 , 3  , 2 2a(4.7)гдеF  I 2 , L   C  A2  3sin 2 2  ,G  I 2 , I 3 , 3    D2 sin 2 3  D3 cos 2 3  D4 sin 23  D5  sin 2 1   D6 sin 3  D7 cos 3  cos 1 sin 1 ,cos 1 I3L, cos 2 I2I2Коэффициенты Di вычисляются по формулам:853Di 2 2  21 2 3   Q dM dM dMi001202 2 21 2 3   1  e00031 eJ2 21 eN2 2cos   1  eN cos 1 2J2Qi d  d 1dM 2Здесь введены следующие обозначения ( 1  1  , 2   , 3  T ) x  xi   y 2  2 z 222Q1   ii 12ri 5 2 a 3  x  x3    y  y3   2  z  z3 , 22 T3 31 a J2r352 x  xi  cos   y sin  22Q2   i2ri 5i1 x  xi sin   y cos  22Q3   ii12Q4   i2ri 522 a3  x  x3  cos   y  y3  sin   22 T3 3,1 aJ2r3522 a3  x  x3  sin   y  y3  cos   22 T3 31 aJ2r352 y sin   x  xi  cos   x  xi sin   y cos  2 ri 5i 12 2 a 3  y  y3  sin    x  x3  cos   x  x3  sin    y  y3  cos   22 T3 31 a J2 r35,z222 aT3  z  z3 Q5   i3,2ri 5 12 aJ32r35i 1222Q6   ii 1z  x  xi  cos   y sin   22 aT3  z  z3  x  x3  cos    y  y3  sin   2 3 3ri  51 aJr3 52z  x  xi  sin   y cos  i 1ri5Q7   i22 aT3  z  z3  x  x3  sin    y  y3  cos  .312 a3Jr35В силу определения малых параметров 1 , 2 и третьего закона Кеплера имеем22 aT3112 aJ3Усредненные уравнения вращений допускают три интеграла в инволюции:L=const, I2=const , G=constИнтеграл G=const описывает возмущённое движение вектора кинетического моментаНептуна.

Он не зависит от моментов инерции A, C , поэтому геометрия массы планеты невлияет на качественную картину движения вектора I2.Таким образом, в рассматриваемом приближении вращение Нептуна складываетсяиз регулярной прецессии вокруг вектора I2 и движения самого вектора I2 относительноосей Nξηζ .Вычисления показывают, что при ms=1.9891∙1030 кг, mj=1.8986∙1027 кг , mT=2.14∙1022кг, μ1= 0.9990464081692, μ2= 0.0009535918308 , μ3= 0.0002088795273 , D1=0.1391264379,D2=0.180124171 ,D3=0.134933727 , D4=0.0377352403, D5=-0.08796573046 , D6=-0.09855538557, D7=0.1738860962.86Приведем формулы для вековой частоты прецессии вектора кинетическогомомента Нептуна I2 и угла нутации δ1.

В возмущенном движении медленноэволюционируют канонически сопряженные переменные I3, φ3: 3  1G ( I 2 , I 3 , 3 )H131 aJ3 F  I 2 , L,I 32aI 3G ( I 2 , I 3 , 3 )H 13I3  11aJ3 F  I 2 , L32a3Причем угол нутации зависит от медленной переменной I3 следующим образомI 1  arccos  3  I 24.4 След вектора кинетического момента Нептуна на единичной сфереРассмотрим интегралG=g,(4.8)описывающий поведение вектора кинетического момента Нептуна I2 в кёниговой системекоординат Nξηζ. Полный анализ интеграла (4.8) для произвольных значений параметровDj дан в работе [31]. Фазовый портрет колебаний конца вектора кинетического моментаНептуна I2 представлен на рис. 4.6. Чёрным цветом на Рис.4.6 обозначены сепаратрисы,движение вдоль которых имеет асимптотический характер.Рис.