Диссертация (Исследование вращений небесных тел под действием притяжения Солнца и Юпитера), страница 3

Из формулсферическойтригонометриинесложнополучитьследующеедифференциальноесоотношение:d  2  cos 2 d   l   cos 1d   3   sin   l sin 2 d (1.3)Умножив соотношение (1.3) на величину I 2 и на основании формул (1.1) и (1.2) получимLdl  I 2 d 2  I 3 d 3  p d   p d   p d Из этого соотношения следует вывод о том, что существует каноническое преобразование, , , p , p , p   l , 2 , 3 , L, I 2 , I3  , переводящее фазовое пространство Эйлера впространство Депри.Подвижный Oxyz и неподвижный OXYZ трехгранники связаны матрицей Sнаправляющих косинусов с элементами i , i ,  i . Матрицу S легко получить, сделав пятьпоследовательных поворотов на углы 3 , 1 , 2 , 2 , l вокруг соответствующих осей. Ввекторно-матричной форме переход от системы координат Oxyz к OXYZ запишется ввиде: X  x 1 2  Y   S  y  , S = 1 2  Z  z  1  2123 3  , S=S1S2S3S4S53 cos 3  sin 3S1   sin 3 cos 30 01cos 2  sin 2000 0 , S 2  0 cos 1  sin 1  , S3   sin 2 cos 20 sin 1 cos 1  01000 ,11cos l  sin l 000 S 4  0 cos 2  sin 2  , S5   sin l cos l 0 .0 sin 2 cos 2  001Выпишем выражения для элементов i , i , i в явном виде:1  cos 3 cos 2  sin 3 cos 1 sin 2  cos l  cos 3 sin 2  sin 3 cos 1 cos 2  cos 2  sin 3 sin 1 sin 2  sin l2  cos 3 cos 2  sin 3 cos 1 sin 2  sin l  cos 3 sin 2  sin 3 cos 1 cos 2  cos 2  sin 3 sin 1 sin 2  cos l3    cos 3 sin  2  sin 3 cos 1 cos  2 sin 2  sin 3 sin 1 cos 21  sin 3 cos 2  cos 3 cos 1 sin 2  cos l   sin 3 sin 2  cos 3 cos 1 cos 2  cos 2  cos 3 sin 1 sin 2  sin l2  sin 3 cos 2  cos 3 cos 1 sin 2 sin l   sin 3 sin 2  cos 3 cos 1 cos 2  cos 2  cos 3 sin 1 sin 2  cos l3    sin 3 sin  2  cos 3 cos 1 cos  2 sin 2  cos 3 sin 1 cos 21  sin 1 sin  2 cos l  sin 1 cos  2 cos 2  cos 1 sin 2 sin l 2   sin 1 sin  2 sin l  sin 1 cos  2 cos 2  cos 1 sin 2  cos l3  sin 1 cos 2 sin 2  cos 1 cos 2 .1.2 Уравнения вращательных движений Сатурна в переменных ДеприАндуайе.Рассмотрим обобщённую ограниченную эллиптическую задачу трёх тел, два изкоторых - Солнце и Юпитер - представляют собой суть материальные точки c массамиm S и mJ ( mS  mJ ), движущиеся друг относительно друга по эллиптической кеплеровойорбитеraJ 1 eJ2 1  eJ cos 13Здесь r - расстояние между Солнцем и Юпитером, aJ и eJ - большая полуось и эксцентриситет орбиты Юпитера,  - истинная аномалия.

Третье тело (Сатурн) будем считатьабсолютно твёрдым с произвольным эллипсоидом инерции, масса m которого многоменьше масс m S и mJ .Пусть C, J и S -- центры массСатурна, Юпитера и Солнцасоответственно.Рис.1.3 Барицентрическая система координат с началом в центре масс Солнца иЮпитераВведем (рис.1.3) барицентрическую систему координат Oxyz с началом в центремасс тел S и J .Плоскость Oxy совместим с плоскостью орбиты тела J относительно S .Ось Ox направим по прямой, соединяющей тела S и J в сторону тела J . Кратчайшийповорот от оси Ox к оси Oy совпадает с направлением вращения тела J относительнотела S .Ось Oz дополняет оси Ox и Oy до правой системы координат.

С центром масс Cсвяжем поступательно движущуюся систему координат C , ось Cкоторойколлинеарна Oz , ось C параллельна линии апсид эллиптического движения тел S и Jотносительно общего центра масс, а C дополняет систему координат до правой. Введёмсистему координат Cx1 x2 x3 ,жёстко связанную с телом, оси которой направлены поглавным центральным осям инерции. Ориентация подвижного трёхгранника Cx1 x2 x3относительно неподвижного C задаётся с помощью канонических переменных ДеприАндуайе L, I 2 , I3 , l , 2 , 3 [54,61] (рис.1.4), которые подробно описаны в разделе 1.1.14Рис.

1.4 Переменные Депри-АндуайеНа Рис. 1.4 K – вектор кинетического момента Сатурна относительно центратяжести. Смысл угловых переменных l , 2 , 3 ясен из Рис.1.4, а соответствующие имимпульсы таковыL  K cos 2 , I 2  K , I3  K cos 1Дифференциальные уравнения вращения имеют гамильтонов вид. Выражение дляфункции Гамильтона известно [4,8]:HI 22  L2  sin 2 l cos2 l  L2U2  AB  2Ca3a33322 U   1  nJ2 J3  B  A 122  (C  A)132   nJ2 J3  B  A  22 (C  A) 23 ,2r12r2ij Здесь(1.4)1 j cos    j sin   x  xi    j cos    j sin   y   j z ri введеныследующиеобозначения:  mJ 0.0009533888249 , f mS  mJгравитационная постоянная, x1   r , x2  1    r -координаты центров масс Солнца иЮпитера, nJ f  mS  mJ  a J3 - среднее движение Юпитера, ri 15 x  xi 2 y 2  z 2 ,  ij -направляющие косинусы радиуса-вектора ri  miC с главными центральными осямиинерцииCx j .ij  ei , e j  .Иначе x  xi y z ei  , ,  , riri ri Здесьe j   j cos    j sin  ,  j cos    j sin  ,  j  .Орты e j главных центральных осей инерцииCx j в барицентрической системы координат Oxyz стоят в столбцах матрицы перехода отсистемы координат Cx1 x2 x3 к Oxyz: x  1 cos   1 sin  2 cos   2 sin  3 cos   3 sin   x1     y    1 cos   1 sin  2 cos   2 sin  3 cos   3 sin   x2     x  z  1233A, B, C -главныецентральныемоментыинерцииСатурнаотносительноосейCx1 , Cx2 , Cx3 соответственно, i , i ,  i - элементы матрицы направляющих косинусов междунеподвижным Cи подвижным трёхгранником соответственно, выражения длякоторых приведены, например, в [17].Матрицу S направляющих косинусов с элементами i , i ,  i легко получить, сделавпять последовательных поворотов на углы 3 , 1 , 2 , 2 , l вокруг соответствующих осей.

Ввекторно-матричной форме переход от системы координат Cx1 x2 x3 к C запишется ввиде: x1  1 2     S  x2  , S = 1 2   x3   1  2cos 3  sin 3S1   sin 3 cos 3 003 3  , S=S1S2S3S4S53 1cos 2  sin 2000 0 , S 2  0 cos 1  sin 1  , S3   sin 2 cos 20 sin 1 cos 1  01000 ,11cos l  sin l 000 S 4  0 cos 2  sin 2  , S5   sin l cos l 0 .0 sin 2 cos 2  001Известно, что расстояния от C до S и J много больше характерных размеровСатурна, поэтому пренебрегаем влиянием его вращательного движения на движениецентра масс C . Как следствие, орбиту точки C считаем известной квазипериодическойфункцией времени в барицентрической системе координат Oxyz :x (t )  C  e 1pp 0i p , ω t, y (t )  C  e 2pp 0i p ,ω t, z (t )  C  e 3pp 016i p , ω t(1.5)Здесь x, y, z - координаты центра масс Сатурна, ω   nJ , nC  - вектор базисных частот,где nC -среднее движение Сатурна, p   p0 , p1  ,p  p0  p1, p, ω   p0 nJ  p1nC .jВеличины Cp  - параметры, определяющие вид орбиты Сатурна в барицентрическойсистеме координат.1.3 Орбита Сатурна в барицентрических координатах Солнца иЮпитера.Рис.1.5.

К выводу орбиты Сатурна в барицентрической системе координат.Для вычисления орбиты Сатурна в барицентрической системе координат Oxyzрассмотрим небесную сферу единичного радиуса с центром в Солнце и введём правыесистемы координат (Рис.1.5). Пусть SXYZ - система координат с началом в центре массСолнца, ось SZ направлена по нормали к плоскости эклиптики, ось SX направлена вточкувесеннегоравноденствия , осьSY дополняетсистемукоординатдоправой; Sxyz  - система координат с началом в центре масс Солнца, ось Sz  направлена понормали к плоскости орбиты Юпитера, ось Sx  направлена в точку восходящего узла17орбиты Юпитера, ось Sy дополняет систему координат до правой.

Барицентрическаясистема координат Oxyz была описана выше. Отметим, что на Рис.1.5 сечения сферыплоскостями эклиптики, орбиты Сатурна и Юпитера представлены дугами большихкругов.Средние кеплеровские элементы орбиты Сатурна и Юпитера, рассчитанные на эпохуJ2000, представлены в таблице 1.1Таблица 1.1ЭлементЮпитерСатурнЭксцентриситетeJ  0.04839266eC  0.05415060Наклонение орбитыiJ  1.30530iC  2.48446Долгота восходящего узла J  100.55615C  113.71504Аргумент перигелияJ  275,066C  336.013862Большая полуосьa J  5.20336301 а.е.aC  9.53707032 а.е.Среднее движениеnJ  1.6784899 108 рад/cnC  6.7590569 109 рад/cДля вычисления констант орбитального движения рассмотрим сферическийтреугольникABF ,считаяA, B, F соответствующимиAF  C   J , A  iJ , F  180  iC .ИспользуяОчевидно угламитреугольника.формулысферическойтригонометрии получим:  1.249266667 B    arccos  cos A cos F  sin A sin F cos AF(1.6) sin  sin AF sin F AF sin A AB  arcsin   26.9128 , BF  arcsin   13.76035278 .sin Bsin BПредставим координаты центра масс C Сатурна в осях Sxyz  :x  r1 cos  r1 , x  , y  r1 cos  r1 , y   , z   r1 cos  r1 , z  r1 aC 1  eC2 1  eC cos 1r1 - расстояние между телами S и C .Из сферических треугольников ABC , BCD , BEC имеем  sin  cos B ,cos  r1 , x   cos AB cos BCAB sin BC18(1.7) cos BD  sin BC sin BD cos B  ,cos  r1 , y   cos BC(1.8) cos BC  sin BE sin BC cos B ,cos  r1 , z   cos BE     BF , B    , BD    AB , B     , BE .где B     , BCC1222В барицентрической системе координат Oxyz координаты центра масс Сатурнаимеют видx  x cos   J     y sin  J      ry   x sin   J     y cos  J   (1.9)z  zИспользуя формулы (1.6)-(1.9)и значения среднихэлементов орбиты, получимкоординаты x , y , z как функций  ,  1 :x1 2.6037729cos1 cos + 9.1447983cos1 sin 1+0.0541506cos1-9.1436543 sin1cos + 2.6057222 sin1 sin y0.0049492,1+0.0484603cos19.1447983cos1 cos  2.6057222 cos1 sin 1+0.0541506cos1+2.6057222sin1cos + 9.1436543 sin1 sin ,z10.1639322sin1  0.1269138cos1 1+0.0541506cos1Для того, чтобы записать координаты Сатурна в виде ряда (1.5), воспользуемсяразложением тригонометрических фунцкий истинной аномалии в тригонометрическиеряды по кратным средней аномалии [1]:cos   e 2 1 e2 e J k (ke) cos kM,k 1sin   1 e 2   J k 1  ke  J k 1 ke sin kMk 1(1.10)Подставляя ряды (1.10) в x , y , z , раскладывая полученные выражения в ряды поeJ , eC с точностью до членов пятого порядка малости (члены четвертого порядка малостисодержатcos 5M , sin 5M ,которыенеобходимыдлявычислениярезонансных(j)коэффициентов C(2,5)ряда Фурье), получим координаты Сатурна в осях Oxyz :19x(M, M1 ) 2.6037729cos M1 cos M 9.1436543cos M sin M11  0.0541506cos M11  0.0541506cos M19.1447983sin M cos M1 2.6057222sinMsinM11  0.0541506 cos M11  0.0541506cos M140.0049492  eJm eCn xmn (M, M1 ),1+0.0483927cosM mn1y(M, M1 ) 9.1447983cos M1 cos M 2.6057222cosMsinM11+0.0541506 cos M11+0.0541506cos M142.6037729sin M cos M1 9.1436543sin M sin M1  eJm eCn ymn (M, M1 )1+0.0541506cos M11+0.0541506 cos M1m n1z (M, M1 )  ,40.1269138cos M10.1639322sin M1  eJm eCn zmn (M, M1 )1  0.0541506cos M1 1  0.0541506cos M1 mn1Здесь M, M1 - средние аномалии Юпитера и Сатурна, функции x nm , ynm , znm имеютгромоздкий вид, поэтому их опускаем.