Диссертация (Исследование вращений небесных тел под действием притяжения Солнца и Юпитера), страница 2

Орбиты Марса и Земли являются квазипериодическимифункциями времени в системе координат, связанной с центром масс Солнца иЮпитера. Малыми параметрами задачи являются частота орбитального движенияЮпитера и частота орбитального движения Земли. Были получены усредненныеуравнения вращения, которые описывают эволюцию медленных переменных(частоту прецессии и угла нутации). Частота прецессии и угол нутации являютсямедленноэволюционирующимифункциямивремени.Описывающиеэтипараметры уравнения учитывают вклад гравитационных моментов Юпитера иЗемли. Также были получены первые интегралы осредненных уравнений вращения,втомчислебылполученинтеграл,описывающийповедениевекторакинетического момента Марса на единичной сфере.

При исследовании этогоинтеграла были выявлены новые интересные эффекты: появление новыхположений равновесия вектора кинетического кинетического момента Марса, атакжепоявление зон либраций в окрестности плоскости орбиты Марса и еёнормали. Зоны либраций отделяют от движений типа вращения сепаратрисы,стремящиеся к соответствующим положениям равновесия вектора кинетическогомомента Марса при t   .

Было показано, что топология вращений Марса взадаче четырех совпадает с топологией вращения Марса в задаче трех тел (когдатретьим притягивающим телом является Юпитер или Земля).В главе 4 исследуется вращение Нептуна под действием притяжения егомассивного спутника – Тритона, Солнца и Юпитера в рамках модели спутниковаприближения. Малыми параметрами задачи являются частота орбитальногодвижения Юпитера и частота орбитального движения Тритона вокруг Нептуна, атакже отношение характерных размеров Нептуна к расстоянию до Тритона(спутниковоприближение).ОрбитыНептунаквазипериодическими функциями времени виТритонаявляютсясистеме координат, связанной сцентром масс Солнца и Юпитера.

Были получены усредненные уравнениявращения, которые описывают эволюцию медленных переменных (частотупрецессии и угла нутации). Частота прецессии и угол нутации являются медленно6эволюционирующимифункциямивремени.Описывающиеэтипараметрыуравнения учитывают вклад гравитационных моментов Нептуна и Тритона. Такжебыли получены первые интегралы осредненных уравнений вращения, в том числебыл получен интеграл, описывающий поведение вектора кинетического моментаНептуна на единичной сфере.

При исследовании этого интеграла показано, чтовектор кинетического момента совершает вращения вокруг нормали к плоскостиорбиты Тритона, что не отвечает действительности: реальному вращению Нептунасоответствует замкнутая фазовая траектория на единичной сфере с углом нутации1  29.56 , отсчитанным от нормали к плоскости орбиты Нептуна. Полученныйрезультат объясняется грубостью модели: силовая функция Тритона приближаетсяпервым членом разложения силовой функции в ряд (спутниковое приближение),однако точность такой аппроксимации плохая, так как параметр  не являетсядостаточно малым.

Поэтому для решения задачи о вращении Нептуна с учетомпритяжения Тритона нужны иные подходы.Приведем основные результаты, представленные в диссертации: Разработана небесно-механическая модель, описывающая вращения небесныхтел (Сатурна и Марса) с учетом притяжения Солнца, Юпитера, Земли Получены с помощью метода малого параметра, с точностью до членов второгои третьего порядков малости по малому параметру, выражения для частотыпрецессии и угла нутации оси вращения планеты соответственно, вызванныепритяжением только Юпитера. Получено числовое значение амплитуды колебаний угла нутации оси Сатурна напромежутке времени 6106 лет, а также значения поправок к частоте прецессии,вызванных притяжением спутников и Юпитера. Разработаны методы исследования вращений небесных тел, находящихся поддействием притяжения n тел ( n  2 ). Описано вращение Сатурна под действием притяжения Юпитера и Солнца, втом числе описаны новые эффекты во вращении Сатурна: появлениедополнительных равновесий вектора кинетического момента, либраций вокрестности полюса и экватора, и асимптотических движений этого вектора. Описано вращение Марса под действием притяжения Юпитера, Солнца и Земли,описаны новые эффекты во вращении Марса: появление дополнительныхравновесий вектора кинетического момента, либраций в окрестности полюса иэкватора, асимптотических движений вектора кинетического момента.7Основные результаты, представленные в диссертации,опубликованы в следующих работахСтатьи1 П.С.

Красильников, Р.Н. Амелин. О вращении Сатурна относительно центрамасс под действием гравитационных моментов Солнца и Юпитера. Космическиеисследования, том 54, №22 П.С. Красильников, Р.Н. Амелин. О вращении Марса вокруг центра масс поддействием притяжения Солнца, Юпитера и Земли. Нелинейная динамика, том11, №2, 2015 г.3 П.С.

Красильников, Р.Н. Амелин. О прецессииСатурна под действиемпритяжения Юпитера и спутников. Астрономический вестник, 2017 г. (принята кпечати).Конференции1 АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ РОССИЙСКОЙ КОСМОНАВТИКИ. ТрудыXXXIXакадемическихчтенийпокосмонавтике,посвященныхпамятиакадемика С.П. Королева и других выдающихся отечественных ученыхпионеров освоения космического пространства. Москва, 27 – 30 января 2015 г.,c. 81.2 Международнаянаучнаяконференцияпомеханике.СЕДЬМЫЕПОЛЯХОВСКИЕ ЧТЕНИЯ. 2 - 6 февраля 2015 г. Санкт-Петербург, Россия. с.

513 Научныйсеминар«Динамическиесистемыимеханика»МосковскогоАвиационного института (национального исследовательского университета).4 Семинар по небесной механике ГАИШ при МГУ им. М.В. Ломоносова(координационный совет по небесной механике ГАИШ). Протокол № 2601.5 VIIВсероссийскоесовещание-семинарзаведующихкафедрамиипреподавателей теоретической механики, робототехники, мехатроники вузовРоссийской Федерации. 26-30 сентября 2016 года, Махачкала8Глава 1Исследование вращения Сатурна относительно центра масс поддействием гравитационных моментов Солнца и Юпитера.В первой главе рассматриваются вращения Сатурна относительно центра масс врамках эллиптической ограниченной задачи трёх тел.

Предполагается, что Сатурнявляется твердым телом, находящимся под действием притяжения Солнца и Юпитера,имея массу, пренебрежимо малую по сравнению с массами притягивающих тел. ДвиженияСатурнаи Юпитера считаются эллиптическими эксцентриситетамиeСиeJсоответственно.

Малым параметром задачи является среднее движение Юпитера nJ .Получена осредненная функция Гамильтона для произвольных значений eJ , eC , когдамалым параметром является   nJ , получены интегралы эволюционных уравнений,построена качественная картина движения вектора кинетического момента Сатурна наединичной сфере с учетом малости эксцентриситета Юпитера.Описаны основные эффекты влияния Юпитера на вращения Сатурна: () эволюцияпостоянных параметров регулярной прецессии вектора кинетического момента I2 (угланутации и угловой скорости прецессии); () появление новых либрационных зонколебаний I2 вблизи плоскости небесного экватора, параллельного плоскости орбитыСатурна, что является следствием разрушения структурно неустойчивого континуумаотносительных равновесий I2 , существующих при регулярной прецессии Сатурна поддействиемпритяжения одноголишьСолнца; ()появление дополнительныхнеустойчивых равновесий вектора I2 в точках северного и южного полюса небеснойсферы и, как следствие, наличие гомоклинических траекторий, стремящихся при t   кэтим равновесиям; () существование периодических траекторий со сколь угоднобольшими периодами вблизи гомоклинической траектории.91.1 Канонические переменные Депри-АндуайеПеременныеАндуайе-Депри[54,61]наиболееупотребительнывтеориивозмущений и имеют динамическое происхождение, иллюстрируемое на Рис.1.1Рис.1.1Здесь через OXYZ обозначен неподвижный трехгранник с началом в точке подвеса,Oxyz - подвижная система координат, жестко связанная с телом, оси которой направленыпо главным осям инерции тела,  - плоскость, проходящая через точку закрепления иперпендикулярная вектору кинетического момента волчка K.Здесь введены следующие обозначения:L – проекция вектора кинетического момента на подвижную ось Oz ;I 2 – модуль вектора кинетического момента;I3 - проекция вектора кинетического момента на неподвижную ось OZ ;l - угол между осью Ox и линией пересечения плоскости  с плоскостями Oxy и OXY ;2 - угол между линиями пересечения плоскости  с плоскостями Oxy и OXY ;3 - угол между осью OX и линией пересечения плоскости  с плоскостью OXY ;Из Рис.1.1 легко получить, чтоI3  I 2 cos 1 , L  I 2 cos 210(1.1)Отметим, что если оси OX и OZ неподвижной системы координат направить попрямым OM и вектору K , то углы 2 , 2 и l будут эйлеровыми углами нутации -  ,прецессии -  и собственного вращения -  , а соответствующие этим углам импульсыp , p и p связаны с импульсами L , I 2 , I3 по формулам:p  I 3 , p  L , p  I 2 sin 2 sin l   (1.2)Выражения для компонент вектора кинетического момента через переменныеL , I 2 , I3 , l , 2 , 3 имеют вид:K x  I 22  L2 sin l , K y  I 22  L2 sin l , K z  LОткуда легко получить кинетическую энергию твердого тела в переменных АндуайеДепри:21K2 KK 2 T   x  y  z 2  ABC После подстановки выражений для K x , K y , K z окончательно получим:TI 22  L2  sin 2 l cos2 l  L22  AB  2CПокажем теперь, что переменные Депри-Андуайе есть канонические переменные.Более того, покажем, что существует однородное каноническое преобразование, котороепереводит фазовое пространство Эйлера , ,  , p , p , p  в фазовое пространство Деприl , 2 , 3 , L, I 2 , I 3  , используя соображения, указанные в [4].11Рис.1.2Рассмотрим сферический треугольник MNJ , изображенный на Рис.1.2.