Диссертация (Интервальные методы оптимизации нелинейных детерминированных динамических систем при неполной информации о состоянии и параметрах объекта), страница 7

Еслинеудачно.Алгоритм FT оператора (для работы необходим параметр ширины w ).Шаг 1. Положить i  1 .Шаг 2. Задать множество { pi  } применить процедуру SIVIA_check для интервала l спараметром w . Если процедура SIVIA_check завершилась удачно – проверка завершенаудачно, в противном случае – к перейти к шагу 3.Шаг 3. Если i (где |  | - мощность множества), то увеличить i на единицу и перейти кшагу 2, в противном случае – перейти к шагу 4.Шаг 4. Генерировать сообщение о том, что проверка завершена неудачно.Алгоритм FTR оператора (для работы необходим параметр ширины w ).Шаг 1.

Задать множество { pi  } .Шаг 2. Применить процедуру SIVIA_check для интервала l с параметром w для всехэлементов из. Как только будет получена первая удачная проверка – закончить алгоритм,проверка завершена удачно. Иначе перейти к шагу 3.Шаг 3. Заменитьна, проверка завершена неудачно.Замечание.

Обратная заменананеобходима, так как при неудачномзавершении проверки процедура SIVIA_check сделает множестворавным пустомумножеству и с данным множеством невозможно будет продолжать работу. Замена на шаге 3необходима, чтобы вернуть множество брусовк своему исходному состоянию.Алгоритм RS оператора (для работы необходимо задать количество попыток a , параметрширины w ).Шаг 1. Задать n  1 .Шаг 2.

Если n  a , то перейти к шагу 3, в противном случае перейти к шагу 6.Шаг3.Вслучайновыбранномбрусеxслучайносгенерироватьбрусr  [1 ; 1 ]  [n ;  n ] , где i ,  i – равномерно распределенные на интервале xi независимыеслучайные величины (если i   i , то i -й интервал заменяется на [ i ; i ] ).Шаг 4.

Если f (r )  l или f (r )  l  , (r )  w , то закончить работу алгоритма, проверказавершена удачно.Шаг 5. Увеличить n на единицу. Перейти к шагу 2.30Шаг 6. Проверка завершена неудачно.Алгоритм RSR оператора (для работы необходимо задать количество попыток a , параметрширины w ).Шаг 1. Задать n  1 , t  0 , множество.Шаг 2.

Если n  a , то перейти к шагу 3, в противном случае перейти к шагу 6.Шаг 3. В случайно выбранном брусе x случайно сгенерировать интервальный векторr  [1 ; 1 ]  [n ;  n ] , где i ,  i – равномерно распределенные на интервале xi независимыеслучайные величины (если i   i , то i -й интервал заменяется на [ i ; i ] ).Шаг 4. Если f (r )  l или f (r )  l  , (r )  w , то положить t  1 и добавить r в.Шаг 5.

Увеличить n на единицу. Перейти к шагу 2.Шаг 6. Если t  1 , то проверка завершена удачно (заменить множествона). Впротивном случае проверка завершена неудачно.Алгоритмы операторов сжатияНа вход всех операторов сжатия подается брус s . Результатом работы являетсяинтервал y .Алгоритм SAS оператора (для работы необходим параметр ширины w).Шаг 1.

Задать y   - результирующий сжатый интервал.Шаг 2. Для каждой из компонент вектора si найти наименьшее целое число ni , такое что( si ) / ni  w .Шаг 3. Каждый из интервалов si представить в виде объединения непересекающихсяинтерваловnisij . Таким образом, создается разбиение изначального бруса s s k , гдеk 1j1nN   ni .i 1Шаг 4. Найти y NNf (sk ) .k 1Алгоритм RPS оператора (для работы необходимо число точек A ).Шаг 1. Найти y  f ( s ) – результирующий сжатый интервал.Шаг 2.

Создать A случайных точек i  s, i  1,, A .Шаг 3. Найти y  [ y; min f (i )] .i 1,, A31Алгоритм IC оператора (для работы необходимо задать количество точек A и параметрширины w ).Шаг 1. Найти y  f ( s ) . Задать a  1 .Шаг 2. Если a  A , сгенерировать случайную точку   y . В противном случае завершитьработу.Шаг 3. Если алгоритм SIVIA (см. разд.

П.2), примененный к интервалу [ y; ] с параметромw сгенерирует непустое множество, тогда y  [ y; ] . В противном случае y  [; y ] .Шаг 4. Увеличить a на единицу. Перейти к шагу 2.Алгоритм ICFTC оператора (для работы необходимо задать количество точек A и параметрширины w ).Шаг 1. Найти y  f ( s ) . Задать a  1 .Шаг 2. Если a  A , сгенерировать случайную точку   y . В противном случае завершитьработу.Шаг 3. Если процедура SIVIA_check, примененная к интервалу [ y; ] с параметром wзавершится удачно, тогда y  [ y; ] . В противном случае y  [; y ] .Шаг 4. Увеличить a на единицу.

Перейти к шагу 2.Алгоритм ICFTCR оператора (для работы необходимо задать количество точек A ипараметр ширины w ).Шаг 1. Найти y  f ( s ) . Задать a  1 .Шаг 2. Если a  A , сгенерировать случайную точку   y . В противном случае завершитьработу.Шаг 3. Задать множество. Если процедура SIVIA_check, примененная к интервалу[ y; ] с параметром w и с множествомслучае y  [; y ] , заменитьназавершится удачно, тогда y  [ y; ] . В противном.Шаг 4. Увеличить a на единицу. Перейти к шагу 2.Замечание. Обратная заменананеобходима, так как при неудачномзавершении проверки процедура SIVIA_check сделает множестворавным пустомумножеству и с данным множеством невозможно будет продолжать работу. Замена на шаге 3необходима, чтобы вернуть множество брусов32к своему исходному состоянию.АлгоритмШаг 1.

Задать s – область поиска,  – параметр точности, отвечающий за размер брусов вомножестве, которое будет вырабатываться инвертером;  – параметр точности остановкиалгоритма. Выбрать операторы сжатия и проверки, задать для них параметры. Задатьмножество {s} .Шаг 2. С помощью естественной интервального расширения минимизируемой функции fнайти целевой интервал: y  f ( s) .Шаг 3.

Заменить полученный интервалy интерваломy , полученным с помощьювыбранного оператора сжатия.Шаг 4. Дихотомически разделить интервалy2  [y y2yна два интервалаy1  [ y;y y2] и; y] .Шаг 5. Проверить интервалвыбранным оператором проверки. Если проверкаy1завершилась удачно, то перейти к шагу 6, в противном случае – к шагу 7.Шаг 6. Если ( y1 )   , тогда найти INV ( f , s, y1 , ) и перейти к шагу 8. В противномслучае положить интервал y равным y1 и вернуться к шагу 4.Шаг 7.

Положить интервал y равным y 2 и если ( y)   , то вернуться к шагу 4. Впротивном случае пересчитать INV ( f , s, y, ) и перейти к шагу 8.Шаг 8. Выбор бруса.Шаг 8.1. Положить i  1 , множествоШаг 8.2. Если ( pi )   , где pi Шаг 8.3. Добавить в множество., то перейти к шагу 8.4.брусы, полученные с помощью процедурыбисекции интервального вектора p i , удалить p i .Шаг 8.4. Увеличить i на единицу. Если i || , где |  | - мощность множества, топерейти к шагу 8.2.Шаг 8.5. Для каждого pi f ( pi ) .найти f ( pi ) и выбрать p*  Arg minip33Рис.

1.1. Схема работы обобщенного инверсного методаРекомендации по подбору параметровПараметры ,  имеют одинаковое влияние на работу алгоритма. Уменьшение этихпараметров приводит к одновременному увеличению точности и времени работы алгоритма.Увеличение же приводит к общему ускорению за счет снижения точности работы алгоритма.При выборе операторов проверки и сжатия предпочтение следует отдать процедурамс обновлением, т.к. им не требуется постоянный пересчет уже проанализированныхобластей.

Однако, такие процедуры требует больше памяти, что может негативно сказатьсяпри недостатке этого ресурса.Кроме того, использование эвристических процедур позволит ускорить работуалгоритма за счет сравнительно незначительного уменьшения точности работы.1.2.6. ТЕОРЕМЫ О СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ИНТЕРВАЛЬНОЙε-МИНИМИЗАЦИИ ИНВЕРСНЫМИ МЕТОДАМИВыделим свойства, характерные для всех инверсных алгоритмов:входеработыалгоритмоввырабатываетсямножествобрусов { pi | ( pi )  , f ( pi )  y  } , где y – последний целевой интервал,  – параметрточности,34генерируется последовательность изNвложенных целевых интервалов (конецпроцедуры генерации последовательности заканчивается при выполнении условия( y)   ): интервал y дихотомически делится на два интервала y1  [ y;y2  [y y2y y2] и; y ] , далее один из интервалов y1 или y 2 рассматривается как целевой, ипроцедура повторяется над ним, и так далее (при этом новым целевым интерваломстановится y1 , если INV ( f , s, y1 , )   , а в противном случае – y 2 ).Таким образом, используя выделенные выше свойства, можно записать следующие теоремы.Теорема1.

Пусть дана последовательность интервалов { y k }kN1 , таких чтоk  1,..., N  1: y k 1  y k , k  1,..., N :инвертеромнепустое),априINV ( f , s, y k , )   (множество, вырабатываемоеINV ( f , s,[ y k  ( y k ); y k ], )  этомвырабатываемое инвертером пустое), и ( y N )   . Тогда p*  Arg min f ( p)pзадачи -минимизации,интервальнойгде(множество,– решение { p | ( p )  , !i : p  pi  } , INV ( f , s, y N , ) .Доказательство теоремы 1. Вследствие того что в инверсных методах брус p*выбирается из множества, его ширина никогда не превысит выбранного значения ε (из-заспособа построения множествапоследовательности{ y k }kN1дляy  [ y k  ( y k ); y k ] , такого чтоинвертера не существует), т.е. ( p* )   .

По определению способа построениялюбогозначенияkнесуществуетинтервалаINV ( f , s, y, )   . Таким образом, по определениюx  s , для которого выполнено( x )  , f ( x )  yили( x)  , f ( x)  y   . Отсюда следует, что не существует x  s , для которого f ( x )  y , чтоисключает возможность существования такого брусаx  s, ( x )   , для котороговыполнено условие f ( x )  f ( p* ) .Рис. 1.2. Способ построения вложенных интервалов в инверсных алгоритмах(красным выделен интервал, если инвертер для него вырабатывает пустое множество)35Следствие из теоремы 1.