Автореферат (Интервальные методы оптимизации нелинейных детерминированных динамических систем при неполной информации о состоянии и параметрах объекта), страница 5

Если приэтом множество начальных состояний объекта задано точкой, то решается задачапоиска оптимального программного управления (в этом случае управление можетискаться также в классе кусочно-постоянных и кусочно-линейных функций).В третьей главе приведена структура и примеры работы, созданного на основе алгоритмов, разработанных в главах 1 и 2, комплекса программ «Интервальныеметоды оптимизации нелинейных детерминированных систем».

Комплекс разработан в среде Microsoft Visual Studio 2015, на языке C#. Он содержит два основныхмодуля алгоритмов оптимизации и модуль поддержки, в котором реализованы следующие элементы: интервальные арифметики, алгоритм инвертера, интервальныерасширения и процедуры интегрирования. В первом реализованы два класса интервальных алгоритмов глобальной условной оптимизации (на основе инвертера и метаэвристические).

Во втором – четыре блока основных решаемых задач. Общая схема комплекса представлена на рис. 1.Рис. 1. Схема программного комплексаВ комплексе поддержана возможность выбора задач как из готового списка,так и загрузка сторонней пользовательской задачи, реализованной с помощью предлагаемого программного шаблона.В четвертой главе решены модельные и прикладные задачи:оптимизации технических систем: определение параметров сварной балки (целью является определение минимальной по стоимости конструкции балки, удовлетворяющей ограничениям по напряжению сдвига, изгиба, продольной нагрузке иотклонению края), определение параметров сосуда высокого давления (целью является определение параметров баллона для хранения сжатого газа, минимизировавего стоимость), определение параметров редуктора (целью является определениеминимальной по весу конструкции редуктора, при этом конструкция редукторадолжна удовлетворять ограничениям по напряжению изгиба зубцов шестерни, поверхностному напряжению, поперечным отклонениям валов и напряжению на валах), определение параметров натяжной/компрессионной пружины (целью является определение минимальной по весу конструкции пружины, ограниченной по минимальному отклонению, напряжению сдвига, частоте колебаний и ограничениям13на внешний диаметр); оптимального управления объектами авиационнокосмической техники: управление солнечным парусом (поиск оптимального побыстродействию управления для межпланетной миссии Земля-Меркурий), стабилизация спутника (задача гашения вращательного движения спутника с помощьюустановленных на нем двигателей), задача перехвата (задача поиска терминальногоуправления, в ходе которой реализуется маневр наведения), задача преследования(трехмерная задача реализации маневра наведения), задача командной навигации(вариант задачи перехвата с несколькими перехватчиками), приземление гиперзвукового летательного аппарата (управление ГЗЛА на скоростях более 5М).Пример 1.

В рассматриваемой задаче требуется определить параметры редуктора, учитывая физические ограничения.Целью является определение минимальной по весу конструкции редуктора,описываемойвекторомпараметровTx   x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7  , соответствующих ширинелицевой стороны, длине зубцов, числу зубцов на шестерне (целочисленная величина), длине первого вала,длине второго вала, диаметру первого вала и диаметрувторого вала. Конструкция редуктора должна удовлетворять ограничениям по напряжению изгиба зубцовшестерни, поверхностному напряжению, поперечнымотклонениям валов и напряжению на валах. Задача может быть формализована следующим образом:2f  x   0, 7854  x1  x22  (3,3333  x3  14,9334  x3  43, 0934) 1,508  x1  ( x62  x72 )  7, 4777  ( x63  x73 )  0, 7854  ( x4  x62  x5  x72 ),g 1 ( x)  27 / ( x1  x22  x3 )  1  0, g 2 ( x)  397,5 / ( x1  x22  x3 )  1  0,2g 3 ( x)  1,93  x43 / ( x2  x3  x64 )  1  0,g 4 ( x)  1,93  x53 / ( x2  x3  x74 )  1  0,g 5 ( x)  (745  x )( x2  x3 )   16,9 106 (110  x63 )  1  0,g 6 ( x)  (745  x )( x2  x3 )   157,5 106 (85  x73 )  1  0,4522g 7 ( x)  x2  x3 / 40  1  0, g 8 ( x)  5  x2 / x1  1  0, g 9 ( x)  x1 / (12  x2 )  1  0,g 10 ( x)  (1,5  x6  1,9) / x5  1  0, g 11 ( x)  (1,1  x7  1,9) / x5  1  0,s  [2, 6;3, 6]  [0, 7;0,8]  [17; 28,99]  [7,3;8,3]  [7,8;8,3]  [2,9;3,9]  [5, 0;5,5],где · – целая часть числа.Задача была решена метаэвристическими интервальными алгоритмамиусловной оптимизации (интервальным методов взрывов, интервальным генетическим алгоритмом, адаптивным интервальным алгоритмом).

Все алгоритмы далиприблизительно одинаковые результаты. В качестве примера приведем решение,найденное с помощью адаптивного интервального алгоритма, и соответствующиеинтервальные значения целевой функции и ограничений: x  [3, 4999;3,5002] [0, 7000;0, 7001]  [17, 0000;17, 0003]  [7,3021;7,3023]  [7,8001;7,8002] f ( x )  [2996,0899; 2996,8389] ,[3,3501;3,3503] [5, 2864;5, 2865] ,g1 ( x)  [0, 0742; 0, 0738] , g 2 ( x)  [-0,1982;-0,1979] , g 3 ( x)  [-0,4988;-0,4986] ,g 4 ( x)  [-0,9015;-0,9014] ,g 5 ( x )  [-0,0001;0,0001] ,g 6 ( x )  [0,0001;0,0002] ,14g 7 ( x)  [-0,7025;-0,7024] ,g 9 ( x )  [-0,5834;-0,5833] ,g8 ( x )  [-0,0001;0,0002] ,1011g ( x)  [-0,1122;-0,1121] , g ( x )  [-0,0109;-0,0108] .Полученные результаты близки к решению, найденному с помощью методачастиц в стае (Cagnina L.C., Esquivel S.C.

Solving Engineering Optimization Problemswith the Simple Constrained Particle Swarm Optimizer // Informatica, No. 32, 2008, pp.319 – 326), что свидетельствует об эффективности применения интервальных алгоритмов оптимизации.Пример 2. Рассматривается задача поиска оптимального по быстродействию терминального программного управления перспективным космическим летательным аппаратом (КЛА) – солнечным парусом, реализующим межпланетнуюмиссию. Данная задача заключается в переходе с орбиты Земли на орбиту Меркурияза минимальное время.Система, описывающая данный объект, выглядит следующим образом:r (t )  u, θ(t )  v / r , u (t )  v 2 / r  ( / r 2 )  (1  β  cos3 α), v(t )  u  v / r  μ  β  sin α  cos 2 α / r 2 ,где r ,  – радиальная и угловая позиции соответственно, u , v – радиальная и тангенциальная скорости,  – угол тангажа (переменная управления),   0, 042 – параметр яркости солнечного паруса,   G  M S  1,327474512 1020 м3  с2 – солнечное гравитационное ускорение, G  6, 67408 1011 м3  кг 1  с2 – универсальная гравитационная постоянная, M S  1,989 1030 кг – масса Солнца.

Ограничение науправление: U  [ / 2;  / 2] . Начальное состояние задано следующим образом:t0  0, r (t0 )  1 AU  1, 496 1011 м,u (t0 )  0 м/с,(t0 )  0,4v(t0 )  29,8 км/с  2,98 10 м/с . В момент окончания функционирования системыдолжны выполняться конечные условия: r (t1 )  5,8344 1010  0, u (t1 )  0 м/с,Функционалкачествауправленияимеетвид:v(t1 )  4, 79 104  0 .3I ( x0 , d )  t1 86400   Ri(1) ·H i(1) , где R1(1)  R2(1)  R3(1)  105 . Таким образом, необхоI (d )i 1димо решить задачу поиска оптимального программного терминального управления, оптимального по быстродействию.На рис. 3 изображены управления различных типов (найденные с помощьюинтервального метода взрывов) и соответствующие им траектории движения КЛА.а)б)в)Рис. 3.

Управления, найденные в разных классах функций (а – кусочно-постоянное,б – кусочно-линейное, в – в виде разложения по системе полиномов Лежандра) исоответствующие им траектории15C помощью предложенной в разделе 2 методики найдены программныеуправления, принадлежащие к разным классам функций (переход с орбиты Земли наорбиту Меркурия для кусочно-постоянного управления был произведен за 961 день,для кусочно-линейного – за 953 дня, для управления, найденного в виде разложенияпо базису, – за 952 дня; использовались интервальный метод взрывов, интервальныйгенетический алгоритм и адаптивный интервальный алгоритм соответственно).

Вработах Wang Y., Zhu M., Wei Y., McInnes C.R., Hughes G.W. были найдены управления, с помощью которых этап перехода на орбиту Меркурия завершался за 933,93и 1043,34 дней соответственно. Таким образом, с помощью интервальных методовоптимизации были синтезированы управления, превосходящие и сравнимые по качеству с современными методами, используемыми в аэрокосмической области.Пример 3.

Пусть движения цели ( T ) и перехватчика ( I ) описываются следующими системами дифференциальных уравнений:rT  VT cos( T  T ), T  (VT / rT ) sin( T  T ), T  uT / VT ,rI  VI cos(  I   I ),  I  (VI / rI ) sin(  I   I ),  I  uI / VI ,где VT ,VI – скорости, м/с, rT , rI – расстояния от начала координат до цели и до перехватчика, м, T ,  I – угол линии визирования, рад, T ,  I – путевые углы, рад, ,  –углы отклонения скорости, рад, uT  10, uI – поперечные ускорения, м/с2.Уравнение модели измерений имеет следующий вид:z1  rT  rI , z2  T   I , z3   I .Все параметры модели считаются известными точно; вектор состояния данной диTнамической системы x   rT , T , T , rI ,  I ,  I  , вектор управления u  uI . В качествевекторахарактерныхпараметровобъектапримемp1  (VT ,VI )T  p1  [100;150]  [175; 225] , вектор параметров p 2 в модели измеренияотсутствует.Цель решения поставленной задачи перехвата – найти такое управление повыходу, чтобы в конечный момент времени совпадали координаты цели и перехватOxчикапоосямиrT (t1 ) cos  I (t1 )  rI (t1 ) cos  I (t1 )  0 ,Oy :rT (t1 ) sin  I (t1 )  rI (t1 ) sin  I (t1 )  0 .

На управление накладывается следующее ограничение: uI (t )  U  [70;70] .Величины в левой и правой частях являются координатами цели и перехватчика в прямоугольной системе координат, момент окончания процесса t1 определяется первым моментом времени, в который выполняются оба условия. Такимобразом. функционал качества управления выглядит следующим образом:I ( x0 , p1 , p 2 , d ) 2t1I i ( x0 , p1 , p 2 , d )  Ri(1) ·H i(1) , где R1(1)  R2(1)  103 .i 1Рассмотрены два случая задания множества возможных начальных состояний (два сценария):а) разное начальное положение:  а  [1750;2250]   / 4   / 2  [750;1250]   / 4   / 4 ,б) разный путевой угол:  б  2000   / 4  [7  /18;11  /18] 1000   / 4  [7   / 36;11  / 36] .3Wang Y., Zhu M., Wei Y. Solar Sail Spacecraft Trajectory Optimization Based on Improved Imperialist Competitive Algorithm// Proceedings of the 10th World Congress on Intelligent Control and Automation.