Диссертация (Алгоритмы оценки квантильного критерия с заданной точностью в задачах стохастического программирования с кусочно-линейными и квадратичными функциями потерь)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИМОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)На правах рукописиТравин Андрей АлександровичАЛГОРИТМЫ ОЦЕНКИ КВАНТИЛЬНОГО КРИТЕРИЯ СЗАДАННОЙ ТОЧНОСТЬЮ В ЗАДАЧАХ СТОХАСТИЧЕСКОГОПРОГРАММИРОВАНИЯ С КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫМИ ИКВАДРАТИЧНЫМИ ФУНКЦИЯМИ ПОТЕРЬСпециальность 05.13.01Системный анализ, управление и обработка информации(авиационная и ракетно-космическая техника)Диссертация на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель: Доктор физико-математических наук,профессор Кан Юрий СергеевичМосква, 2015СодержаниеВведение41 Численный метод вычисления квантильного критерия на основе построения двусторонних монотонных аппроксимаций для функциивероятности251.1 Известные оценки для функций вероятности и квантили .

. . . . . . . . 251.1.1Выборочная оценка функции вероятности . . . . . . . . . . . . . 251.1.2Гарантирующий объем выборки.1.1.3Ядерная оценка функции вероятности.1.1.4Статистические оценки функции квантили. . . . . . . . . . . . . 321.1.5Алгоритм стохастической аппроксимации. .

. . . . . . . . . . . . 361.1.6Чебышевские оценки вероятностей и квантилей. . . . . . . . . . 37. . . . . . . . . . . . . . . . . . 26. . . . . . . . . . . . . . 311.2 Двусторонние оценки квантильного критерия на основе аппроксимацийфункции распределения. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 381.2.1Постановка задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.2.2Алгоритм построения двусторонних оценок квантильного критерия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

391.2.3Вычисление квантилей нормы двумерного гауссовского вектора 421.2.4Примеры расчётов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.2.5Выводы по главе 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 Построение двусторонних аппроксимаций для функции вероятностидля кусочно-линейных функций потерь в гауссовском случае.492.1 Оценка вероятностных мер для систем с кусочно-линейной структурой. 492.1.1Постановка задачи . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.1.2Алгоритм оценки вероятностной меры плоского многоугольника . 492.1.3Алгоритм оценки вероятностной меры многоугольника в трехмерном случае . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.2 Примеры расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . 592.2.1Выводы по главе 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603 Математическое и программное обеспечение анализа рассеиванияточек падения фрагментов летательных аппаратов.613.1 Введение . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.2 Постановка задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.3 Алгоритм оценки кругового вероятностного отклонения. . . . . . . . . . 633.4Процедура МНК оценки производной функции . . . . . . . . . . . . . . 6523.5 Оценивание матрицы баллистических производных . . . . . . . . . . . . 653.5.1Дифференцирование в АГСК по vx0 . .

. . . . . . . . . . . . . . . 663.5.2Дифференцирование в АГСК по vy0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.5.3Дифференцирование в АГСК по vz0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.6 Моделирование траекторий. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.6.1Расчет начальных условий баллистического полета на заданную дальность. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 693.6.2Расчет кинематических параметров точки падения.. . . . . . . 723.6.3Проектировочный баллистический расчет. . . . . . . . . . . . . . 733.7 Расчет торможения в атмосфере. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

753.8 Результаты расчетов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.8.1Выводы по главе 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Заключение79Список литературы80Приложение 188Приложение 295ВедениеОбъект исследования. В диссертационной работе изучаются задачи вероятностного анализа, возникающие при реализации численных методов решения задачстохастической оптимизации с вероятностными критериями.Актуальность темы.Для современного этапа развития естественных и технических наук характерноширокое и плодотворное применение вероятностно-статистических методов во всехобластях знания. Это вполне естественно, так как при углубленном изучении любого круга явлений неизбежно наступает этап, когда требуется не только выявлениеосновных закономерностей, но и анализ возможных отклонений от них.

В одних науках, в силу специфики предмета и исторических условий, внедрение статистическихметодов наблюдается раньше, в других – позже. В настоящее время нет почти ниодной естественной науки, в которой, так или иначе, не применялись бы вероятностные методы. Целые разделы современной физики (в частности, ядерная физика)базируются на методах теории вероятностей. Все шире применяются вероятностныеметоды в современной электротехнике и радиотехнике, метеорологии и астрономии,теории автоматического управления.

Огромное значение эти методы имеют для задач, связанных с авиационной и ракено-космической техникой. Например для анализа процесса автоматической посадки самолета или оценки возможности потериустойчивости движения летательного аппарата.Решение вероятностных задач оптимизации связано с одним из направлений современной теории управления. Развитие этого направления обусловлено влияниемна систему неконтролируемых факторов. Необходимость достижения целей, возлагаемых на эти системы, с одной стороны, и ограниченные возможности по противодействию случайным возмущениям, с другой стороны, приводят к необходимостиучета этих возмущений на этапе разработки при анализе и оптимизации сложныхсистем.Ярким примером современных сложных управляемых динамических систем являются ракетно-космические и летательные аппараты (ЛА), такие как пассажирские самолеты, орбитальные спутники и ракеты-носители.

Эти ЛА функционируютв условиях возмущений, связанных с отклонениями параметров атмосферы, аэродинамическими параметрами, разбросом тяги двигательных установок, ошибкаминавигационных систем, погрешностями систем управления. Случайные возмущенияприводят к тому, что показатель свойств, количественно характеризующий достижение заданной цели функционирования ЛА, также является случайным.Для решения задач анализа точности, оптимизации, управления и оцениваниясостояния в динамических системах в настоящее время известен ряд подходов.4Задачи анализа движения орбитального корабля при спуске в атмосфере и приавтоматической посадке рассмотрены в работах [56, 65, 75, 77], задачи динамики ибаллистики ракет в [3, 57, 59, 60, 82], задачи оптимизации, управления и оцениваниясостояния ЛА различных типов – в [16,41,54,66,79].

В этих работах для задач исследования движения ЛА обычно используются детерминированные, минимаксные илисреднеквадратические критерии, а нелинейные модели движения во многих случаяхлинеаризуются. В [65] предложен иной подход, основанный на использовании вероятностных критериев качества и наиболее адекватных, как правило, нелинейныхмоделей движения управляемых объектов. К вероятностным критериям относятсявероятностный и квантильный функционал (в конечномерном случае – функции).Эти критерии позволяют оценить точность системы управления с учетом ограничений по надежности.Математическая теория конечномерных оптимизационных задач с функциямивероятности и квантили в роли критериев оптимизации является одним из актуальных направлений стохастического программирования.

Задачам стохастическогопрограммирования посвящены работы Р. Леппа [90], К.Марти [91], Б.Т. Поляка [73],А. Прекопы [98], Э. Райка [74], Ю.М. Ермольева [21], Ю.С. Кана, А.И. Кибзуна [43],А.В. Наумова, С.В. Иванова [68], Д.Б. Юдина [84] и многих других.

Прикладнаязначимость этой теории обусловлена тем, что указанные оптимизационные задачинацелены на принятие оптимальных решений с учетом риска или требований надежности в условиях наличия неконтролируемых факторов, имеющих случайную природу. Поскольку задача оптимизации исходной (случайной) целевой функции являетсянекорректной, то в общем случае ее заменяют на вторичную целевую функцию [64],являющуюся результатом некоторой статистической операции над исходной целевойфункцией и зависящую только от оптимизируемых параметров.В настоящее время наблюдается повышение интереса специалистов по разработкесистем управления динамическими системами в условиях неопределенности к задачам оптимального управления с вероятностными критериями качества, среди которых выделяется функционал вероятности и функционал квантили.

Пусть U – множество элементов u произвольной природы, интепретируемых как стратегии (законы)управления, ξ = ξ(ω) ∈ Rn – вектор случайных параметров, моделирующий неопределенности внешней среды и управляемого объекта. Качество стратегии управле-ния обычно задается точностным функционалом Φ(u, ξ), малые значения которогонаиболее желательны для лица, принимающего решения. Функционал вероятностизадается соотношениемPϕ (u) = P (Φ(u, ξ) ≤ ϕ),где ϕ ∈ R1 – параметр, характеризующий допустимую точность системы управления.Функционал квантили является обратной к Pϕ (u) характеристикой:5Φα (u) = min{ϕ : Pϕ (u) ≥ α},где α ∈ (0, 1) – заданная доверительная вероятность или надежность.

Физическийсмысл функционала вероятности – вероятность выполнения заданных требованийпо точности, в то время как функционал квантили – гарантированная с заданнойвероятностью точность системы управления. В связи с этим указанные выше задачиоптимального управления обычно формулируются какPϕ (u) → max,Φα (u) → min .u∈Uu∈UОбе эти оптимизационные постановки можно использовать при решении прикладных задач. Например, техническое задание к проектируемой системе управлениялетательного аппарата часто формулируется в виде: летательный аппарат должендоставить полезную нагрузку не далее заданного расстояния Rmax от выбранной точки на земной поверхности с вероятностью не ниже заданной величины αmax . Тогдаестественно рассмотреть реальное терминальное расстояние летательного аппаратаот выбранной точки в качестве точностного функционала. Задавая ϕ = Rmax , можнорассмотреть задачуuϕ = arg max Pϕ (u).u∈UЕсли при этом Pϕ (uϕ ) ≥ αmax , то система управления, реализующая стратегию uϕ ,обеспечивает выполнение указанного технического задания.

Задачам оптимизациифункционала вероятности посвящены работы Афанасьева В.Н., Колмановского В.Б.,Носова В.Р. [1], Колмановского В.Б. [49], Бахшияна Б.Ц., Назирова Р.Р., ЭльясбергаП.Е. [2], Зубова В.И. [22], Красовского Н.Н. [53], Кузьмина В.П., Ярошевского В.А.[55]. Среди зарубежных исследователей можно выделить К. Борелла [86], Леппа Р.[90], Тамм Э. [102], Юби Э. [83].Полагая α = αmax , можно рассмотреть задачуuα = arg min Φα (u).u∈UЕсли при этом Φα (uα ) ≤ Rmax , то система управления, реализующая стратегию uα ,также обеспечивает выполнение технического задания. Задачам оптимизации квантили посвящены работы Ю.С.