Диссертация (Алгоритмы оценки квантильного критерия с заданной точностью в задачах стохастического программирования с кусочно-линейными и квадратичными функциями потерь), страница 5

Ось Oa ya направлена20по внешней нормали к границе атмосферы, ось Oa xa ортогональна оси Oa ya и направлена в плоскости невозмущенной орбиты в направлении движения фрагментаЛА. Ось Oa za дополняет систему до правой.B, S — плоская СК на поверхности Земли, связанная с точкой падения фрагмента ЛА при невозмущенном движении. S — отклонение по дальности в плоскостиневозмущенной орбиты, B — отклонение по боку.Некоторые обозначения.v = (vx , vy , vz )T — вектор скорости.r = (x, y, z)T — вектор положения.θa = arctg (vya /vxa )— угол входа в атмосферу.L = L (|va | , −θa )— путь по Земле при торможении фрагмента в атмосфере.Lv = ∂L/∂ |va |, Lθ = ∂L/∂ (−θa ) .Эти производные определяются численно по трем точкам с помощью метода наи-меньших квадратов (МНК) для уменьшения влияния ошибок, обусловленных погрешностью численного интегрирования уравнений движения фрагмента ЛА в атмосфере.C = ∂q/∂v0 — матрица баллистических производных размера 5 × 3 .A=∂Q∂q— матрица частных производных размера 2×5, qa = (xa , za , vxa , vya , vza )T ,Q = (S, B)T .Разработанный алгоритм включает в себя следующие три этапа.Этап 1.

Подготовка исходных данных для вероятностного анализа в результатемоделирования дискретных пучков траекторий ЛА на ПУТ, соответствующих различным задаваемым с шагом 500 км значениям сферической дальности полета иразличным значениям угла бросания в начале ПУТ. Моделирование проводится спомощью разработанной для этой цели программы. На этом же этапе используетсяпрограмма для определения значений функции L (|va | , −θa ) для смоделированногонабора значений скорости и угла входа в атмосферу.Этап 2.

Определение параметров λmin , λmax для смоделированных на этапе 1траекторий. Это наименьшее и наибольшее собственные значения (2 × 2)-матрицыACK0 C T AT .Этап 3. Для каждой смоделированной траектории искомое КВО κ определяетсяпо формуле:(24)κ=σpλmax f (γ) ,где f (γ) — КВО для двумерного нормального закона с плотностью11y22(25)p (x, y) = √ exp −x +,2π γ2γ21аγ=λmin.λmaxДля нахождения f (γ) используется процедура, описанная в первой главеи реализованная как функция программы.Параметр σ определяется по известному КВО κmax для траектории максимальной дальности.

Для этого сначала выполняются первые два этапа алгоритма. Затемвычисляем(26)σ=√κmax.λmax f (γ)В этой же главе описывается алгоритм определения матрицы C баллистическихпроизводных. Для его реализации необходимо рассчитать эту матрицу в СК xa , ya , za .Далее подробно описано получение баллистических производным путем дифференцирования в АГСК по vx0 , vy0 и vz0 векторного интеграла площадей, условий входав атмосферу и интеграла энергии. После этого получим 5 линейных уравнений относительно шести неизвестных производных. Первую из них, т.е.∂xvh,∂vx0предлагаетсяопределить, используя численные метод, основанный на методе наименьших квадратов.

Тогда для остальных пяти производных получаем систему из пяти линейныхуравнений, решаемую аналитически.Далее следует описание моделирования траекторий на пассивном участке, исходными данными для которого являются требуемая сферическая дальность полета lсфи определяемые ниже параметры конца активного участка траектории – дальностьи высота полета: lK и hK . Требуется определить в векторной форме радиус вектор искорость полета на момент начала баллистического полета, а также координаты точек падения в целевой системе координат, соответствующие выбранным начальнымусловиям (НУ). Величина и наклон вектора скорости на момент окончания АУТварьируются с помощью датчика случайных чисел в определенных пределах.В сферической системе координат дальность баллистического полета lб определяется параметрами конца АУТ, выступающими в качестве начальных условий баллистического полета (НУ БП): lб = lб (VK , θK , hK ), где θK — наклон вектора скорости VKв конце АУТ (в точке К); hK — высота конечной точки АУТ.

Если требуется определить значения перечисленных параметров для случая полета на заданную дальность(что требуется в настоящем исследовании), то возникает краевая задача, имеющаяаналитическое решение (исчерпывающе подробно эта задача исследована Д.А. Погореловым) [72].Для исследования влияния вариаций начальных условий БП на рассеивание точек падения параметры скорости и положения центра масс ЛА в точке окончанияполета на АУТ пересчитываются из плоской сферической системы координат (СК)в пространственную СК.

Для удобства решения рассматриваемой задачи на этаперасчета координат точек падения целесообразно использовать «абсолютную геоцентрическую систему координат».22Затем производится расчет координат точки падения и скорости полета в ней,соответствующих НУ VK и rK (как в случае номинального, так и для возмущенногополета на ПУТ).Описывается процесс атмосферного торможения, который существенно зависитот аэродинамических свойств фрагмента ЛА. В настоящей работе в качестве фрагмента рассматривается осесимметричное твердое тело конической формы со скругленной вершиной.В итоге были произведены расчеты КВО в зависимости от угла бросания с шагом1000 км по дальности полета.

Результаты представлены на рис. 5.Таблица 1: Расчет для дальности 8000 километровθk|θvh ||~vvh |6867.02525.6335√γf (γ)κ114530.00170.67658.16683.649670.0080.68125.435.396754.243860.010.68222.44545.187096.345580.010.68223.35555.017804.350010.0110.68325.61515.88λmaxk2000703000604000500050600070004080009000301000011000201020304050Угол бросанияРис. 5: Функции изменения КВО в зависимости от угла бросания23Можно отметить два обстоятельства. Во-первых, видно, что для «настильных»траекторий, характеризующихся малыми углами бросания, рассеивание фрагментов возрастает в разы и может оказаться неприемлемым.

Это возрастание носит«взрывной» характер, о чем свидетельствует также табл. 1, в которой представлены результаты для дальности 8000 км. Сравнивая эти результаты с результатами,полученными с использованием предложенных моделей, но без учета аэродинамического торможения, можно сделать вывод о том, что отмеченный «взрывной» эффектявляется следствием именно аэродинамического торможения.Во-вторых, можно заметить существование критического угла бросания, выше котрого функция КВО практически не меняется во всем диапазоне допустимых дальностей. В рассмотренном примере это критическое значение равно примерно 25 градусам. При углах бросания ниже этого критического значения рассеивание фрагментоврезко возрастает. Более точное определение критического значения угла бросаниятребует использования более точных моделей движения ЛА и более точных моделейвнешних факторов (форма Земли, свойства атмосферы).241Численный метод вычисления квантильного критерия на основе построения двусторонних монотонных аппроксимаций для функции вероятности1.11.1.1Известные оценки для функций вероятности и квантилиВыборочная оценка функции вероятностиФункция вероятности при фиксированной стратегии управления определяется выражением(27)α = Pϕ = P (Φ(ξ) ≤ ϕ)где ξ — случайный вектор, Φ(x) : R1 → R1 — борелевская функция потерь, ϕ —заданный действительный параметр.Основные свойстваРассмотрим множество(28)Sϕ = {x : Φ(x) ≤ ϕ}и схему Бернулли статистических испытаний.

Пусть проводится n независимых испытаний, в каждом из которых событие x ∈ Sϕ происходит с одной и той же вероятностью α. Тогда частота успешных испытаний, в которых это событие произошло,выражается формулой(29)Wn (Sϕ ) =M(Sϕ ),nгде M(Sϕ ) — случайное число успехов в серии из n испытаний.Выборочной оценкой функции вероятности α = Pϕ называется частота успехов(30)Pbn (ϕ) = Wn (Sϕ ).Выборочная оценка вероятности Pbn (ϕ) является по определению выборочной функ-цией распределения случайной величины Φ = Φ(X) и имеет следующие числовыехарактеристики:(31)M[Wn ] = α, D[Wn ] = σn2 =25α(1 − α).nКроме того, известно, что число успешных испытаний имеет биномиальное распределение Bi(n, α), для которого вероятность того, что в серии из n испытанийсобытие Sϕ произойдет ровно m раз, выражается формулой БернуллиPn (m) = Cnm αm (1 − α)n−m .(32)Согласно теореме Гливенко-Кантелли [42] имеем следующее свойство выборочнойоценки вероятности:п.н.sup |Pbn (ϕ) − Pϕ | −−→ 0,(33)ϕ∈R1п.н.где −−→ обозначает сходимость почти наверное (с вероятностью 1).

А согласно тео-реме Муавра-Лапласа [42] нормированная часть успехов(34)Wn =Wn − M[Wn ]p, n = 1, 2, ...,D[Wn ]сходится по распределению к случайной величине U, имеющей стандартное нормальное распределение, т.е.(35)1.1.2FWn −→ U ∼ N(0, 1).Гарантирующий объем выборки.Задача оценивания неизвестной вероятности является частным случаем задачистатистического оценивания параметров распределений, которая, в свою очередь,является классической задачей математической статистики [24, 42]. Следует отметить особую прикладную значимость задачи доверительного оценивания, котораясостоит в построении доверительных интервалов для неизвестных параметров.

Вопервых, доверительные интервалы решают проблему определения погрешности точечных оценок. Это особенно важно при сравнительном анализе систем управленияв условиях стохастической неопределенности, когда к вероятности выполнения цели управления предъявляются высокие требования, а саму эту вероятность можно оценить лишь методом статистического моделирования. Во-вторых, они находятширокое применение при проверке статистических гипотез в процессе отладки и тестирования программных комплексов имитационного моделирования, включающихпотоки случайных событий [19]. Необходимо подчеркнуть, что задача доверительногооценивания рассматривается в предположении, что объем исходной выборки задан.26Но при использовании метода статистического моделирования, особенно в указанныхвыше прикладных задачах, представляется более актуальной рассматриваемая нижезадача, в некотором смысле обратная к задаче доверительного оценивания, а именнозадача определения гарантирующего числа статистических испытаний (гарантирующего объема выборки), обеспечивающего с заданной доверительной вероятностьюпопадание ошибки оценивания в допустимый диапазон.

При этом доверительная вероятность может рассматриваться как мера риска исследователя, проводящего статистический анализ системы.Как будет показано ниже, решение задачи определения гарантирующего объема выборки сравнительно легко получить, если аналогичная задача доверительногооценивания решается аналитически.

Однако в общем случае последняя задача, какправило, не решается точно для выборки конечного объема. Одним из исключенийявляется случай, когда речь идет об оценке параметров нормального распределения. Соответствующие доверительные интервалы для математического ожидания идисперсии нормальной выборки вошли во многие учебные курсы по математическойстатистике, см., например, [24,42]. Поэтому задача доверительного оценивания часторешается приближенно.Необходимо отметить, что применительно к задаче оценивания неизвестной вероятности известны [47] точные доверительные интервалы для выборок конечногообъема.