Диссертация (Алгоритмы оценки квантильного критерия с заданной точностью в задачах стохастического программирования с кусочно-линейными и квадратичными функциями потерь), страница 4

Для треугольника On A1 Bl найдем величину угла ∠A1 On Bl = γl = l∆γ. Здесь же найдем большуюи меньшую стороны для каждого рассматриваемого треугольника(17)Rl = On A1sin∠On A1 A2, R0 = On A1 , rl = Rl−1 .sin(π − γl − ∠On A1 A2 )16Если Rl < rl то необходимо переобозначить эти величины. Переходим к шагу 7.7. Оценка вероятности попадания в каждый треугольник есть вероятность попадания в круговой сектор соответствующего радиуса. Найдем оценки снизу и сверхудля всех треугольников, используя Rl и rl :−rl2−R2∆γ −∆γl+22(18)Fn = 1 − e, Fn = 1 − e.2π2πПереходим к шагу 8.8. Суммируя все Fn+ и Fn− , получаем оценки вероятности попадания в каждыйтреугольник On A1 A2 , On A2 A3 ...On Am−1 Am :XX(19)Fm+ =Fn+ , Fm− =Fn− .kkПереходим к шагу 9.9. Суммируя все Fm+ (ϕ) и Fm− (ϕ) по m, получим оценки вероятности попадания вмногоугольник сверху и снизу.Здесь же приводятся формулы гарантированной границы погрешности вычислений, которые позволяют оценить количество разбиений каждого треугольника передзапуском алгоритма.Лемма 6.

Справедливо соотношение−|On A1 |2−|On Am |2∆γ+−22(20)F −F = e−e.2πДалее следует описание процедуры оценки вероятностной меры многогранника втрехмерном случае.Для решения вспомогательной задачи вычисления F (ϕ) = P (ξ ∈ A(ϕ)) , гдеA(ϕ) = {z : aTi z + bi 6 ϕ}, предварительно определяем геометрические параметрымногогранника A(ϕ) .

С этой целью все грани A(ϕ) нумеруются и для каждой граниищутся координаты всех прилегающих к ней вершин.Для оценки искомой вероятности предлагается разделить каждую грань на треугольники, составить пирамиды, построенные из центра многогранника к этим треугольникам и рассматривать вероятности попадания в некоторые сферические секторы.Способ разделения грани на треугольники.Пусть имеется некоторая грань, у которой N вершин z1 , ..., zN .1. Находим центр тяжести грани (выпуклого многоугольника) z =1NNPzi .i=12. Составляем массив треугольников (массив наборов по 3 точки), взяв последовательно каждые 2 соседние точки грани и центр тяжести.

Таким образом граньбудет разделена на N треугольников. Далее будем делить эти треугольники на болеемелкие, с учетом заданной точности.17z2_zz3z1zsr2zsr3_zz4z1z2zsr1zNz5Рис. 4: Способ разделения гранейСпособ разделения треугольника на более мелкие, см. рис. 4.1. Находим середины для каждой из сторон треугольника zisr =zi +zi+12.2. Соединив все новые точки и вершины исходного треугольника, получим 4 болеемелких треугольника.3. Повторим эти шаги до тех пор, пока сторона нового треугольника превосходитзаданную.Так, в зависимости от требуемой точности, разделим исходный треугольник наболее мелкие и далее будем рассматривать каждый отдельно.Составим из центра многогранника и полученных выше треугольников пирамиды.Нижняя оценка вероятности попадания в данную пирамиду будет равна вероятностипопадания в сектор шара, образованный меньшим из ребер пирамиды.Вероятность попадания в шар радиуса R находим по формулеr2 − R2e 2,(21)P ((X, Y, Z) ⊂ Bk ) = 2Φ∗ (R) − 1 − RπRRt2где Φ∗ (R) = √12π −∞ e− 2 dt — функция распределения нормального закона N(0, 1).Вероятность попадания в часть шара, вырезаемую треугольной пирамидой состороной равной радиусу шара R(22)P ((X, Y, Z) ⊂ D) =ΩDP ((X, Y, Z) ⊂ Bk ),4πгде ΩD — телесный угол, вырезаемый треугольной пирамидой.Треугольник с координатами вершин r1 , r2 , r3 виден из начала координат под телесным углом(23)ΩD = 2arctg(r1 , r2 , r3 ),r1 r2 r3 + (r1 · r2 )r3 + (r2 · r3 )r1 + (r3 · r1 )r218где (r1 , r2 , r3 ) — смешанное произведение векторов, (ri · rj )— скалярное произведение.Верхнюю оценку вероятности получим тем же способом, взяв за радиус шарабольшую сторону треугольной пирамиды.Заметим, что если точка пересечения высоты, проведенной из центра многогранника к каждому из треугольников, будет лежать внутри этого треугольника, то заменьший радиус нужно принимать величину найденной высоты.

Проверить это можно, если найти все двугранные углы у основания пирамиды. Если все они острые,то высота, проведенная к основанию пирамиды будет лежать внутри. Остается просуммировать все оценки, найденные для построенных элементарных пирамид и получить оценку вероятности попадания двумерного гауссовского вектора в заданныймногогранник.В третьей главе рассматривается прикладная задача, где предложен подход кразработке специального программного обеспечения, позволяющего провести расчёты по получению зависимости кругового вероятностного отклонения (КВО) от угланаклона траектории в начале пассивного участка траектории и полной сферическойдальности полета летательного аппарата, включающего помимо пассивного участкатраектории также и активный участок.

В качестве отправной информации принимается заданное соответствующее круговое вероятностное отклонение, известное длятраекторий максимальной дальности.Для непрерывного мониторинга ракетно-космической обстановки в мире или отдельных регионах Земли возникает задача оценки возможностей ракетно-космическихсредств и систем, дислоцирующихся в различных позиционных районах Земли.

Такиеоценки базируются на решении баллистических оптимизационных задач определения зон досягаемости летательных аппаратов (ЛА), зачастую в условиях неполногознания ряда проектных характеристик оцениваемых средств. Учет свойств областидосягаемости имеет достаточно глубоко проработанную базу методического обоснования решений практических задач, возникающих при оценке угроз, связанных сприменением различных ЛА [9, 10]. Вопрос же учета влияния рассеивания отделяемых фрагментов ЛА исследован в меньшей степени.При обосновании требований к параметрам объектов наземной инфраструктурыинформационных систем слежения за полетом ЛА одним из важнейших параметров,используемых для учета влияния рассеивания на результаты пуска является КВО,характеризующее степень рассеивания точек падения на поверхность Земли.

КВОявляется мерой кучности пусков при круговом рассеивании ЛА и представляет собойрадиус круга, вероятность попадания в который равна 0,5 при условии совмещенияцентра нормального закона распределения ошибок пуска с центром круга.В соответствии с терминологией, представленной во второй главе, КВО представляет собой квантильный критерий качества надежности 0,5 для функции по19терь, равной величине случайного отклонения точки падения фрагмента от центранормального закона распределения. При этом КВО обычно бывает известным длятиповых траекторий, например для траекторий максимальной дальности.

Поэтомупредлагается найти зависимость КВО от других параметров полета, используя опубликованные данные характеристик ЛА.Постановка задачи. Основные допущения следующие. Земля предполагаетсясферической. Вращение Земли не учитывается. Влияние атмосферы на активномучастке траектории (АУТ) не учитывается. Влияние атмосферы на пассивном участке траектории (ПУТ) учитывается в соответствии с моделью торможения для фрагмента конусовидной формы со скругленной вершиной. Граница плотных слоев атмосферы принимается равной 90 км.

Случайные возмущения, приводящие к рассеиванию точек падения фрагментов ЛА, моделируются нормальным распределениемразброса вектора скорости ЛА в начале ПУТ с нулевым математическим ожиданиеми ковариационной матрицей σ 2 K0 , где матрица K0 задана, а σ 2 - скалярный параметр. Распределение указанных случайных возмущений полагается одинаковым длявсех допустимых траекторий ЛА. Величина КВО κmax для траектории максимальнойдальности известна.По заданным значениям параметров K0 и κmax требуется определить зависимостьКВО точки падения фрагмента ЛА от полной сферической дальности полета и угланаклона траектории ЛА в начале ПУТ.В качестве исходных данных для модельных расчетов использовались характеристики ЛА Трайдент II, заимствованные из [15].

Матрица в расчетах принята единичной, что соответствует сферической модели рассеивания по скорости отделенияфрагмента в конце АУТ.Величина κmax принята равной 100 ед. Это приводит к определению искомойзависимости КВО в процентах от κmax . Например, при КВО=145 истинное значениеискомого КВО рассчитывается по формуле КВО = 1.45 × κmax , где κmax выражено вметрах.Далее описывается алгоритм оценки кругового вероятностного отклонения.Для удобства обозначений принято: нижний индекс «0» у некоторого кинематического параметра означает, что этот параметр берется на начало ПУТ, а нижнийиндекс «а» говорит о том, что это параметр относится к моменту входа в плотныеслои атмосферы.В расчетах используются следующие вспомогательные системы координат (СК):x0 , y0, z0 — произвольная инерциальная, в которой задаются данные на началоПУТ. В расчетах использована абсолютная геоцентрическая СК (АГСК).xa , ya , za — инерциальная, связана с точкой Oa пересечения невозмущенной траектории фрагмента ЛА с границей плотных слоев атмосферы.