Автореферат (Алгоритмы оценки квантильного критерия с заданной точностью в задачах стохастического программирования с кусочно-линейными и квадратичными функциями потерь)

На правах рукописиТравин Андрей АлександровичАЛГОРИТМЫ ОЦЕНКИ КВАНТИЛЬНОГО КРИТЕРИЯ СЗАДАННОЙ ТОЧНОСТЬЮ В ЗАДАЧАХ СТОХАСТИЧЕСКОГОПРОГРАММИРОВАНИЯ С КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫМИ ИКВАДРАТИЧНЫМИ ФУНКЦИЯМИ ПОТЕРЬСпециальность 05.13.01Системный анализ, управление и обработка информации(авиационная и ракетно-космическая техника)АВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква, 2015Работа выполнена на кафедре "Теория вероятностей" Московского авиационного института (национального исследовательского университета, МАИ).Научный руководитель:доктор физико-математических наук, профессорКан Юрий СергеевичОфициальные оппоненты:доктор физико-математических наук, профессор,главный научный сотрудник НИИ механикиМГУ им. М.В.

ЛомоносоваМорозов Виктор Михайловичдоктор технических наук, старший научный сотрудник,руководитель программы аэрокосмических исследованийФГУП ЦАГИ имени профессора Н.Е. ЖуковскогоФилатьев Александр СергеевичВедущая организация:ФГАОУ ВПО «Национальный исследовательскийядерный университет «МИФИ»Защита состоится "23" октября 2015 г. в 10 ч. 00 мин.

на заседании Диссертационногосовета Д 212.125.04 Московского авиационного института по адресу: 125993, Москва,А-80, ГСП-3, Волоколамское ш., 4, аудитория 301 ГАК.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского авиационного института (национального исследовательского университета) и на сайте МАИ по ссылке:http://goo.gl/bX9BZ3.Отзыв на автореферат, заверенный гербовой печатью организации, просьба направлять по указанному адресу в двух экземплярах.Автореферат разослан ""2015 г.Ученый секретарьдиссертационного совета Д 212.125.04,кандидат физико-математических наукН. С. СеверинаОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫОбъект исследования.

В диссертационной работе изучаются задачи вероятностного анализа, возникающие при реализации численных методов решения задач стохастической оптимизации с вероятностными критериями.Актуальность темы.Решение вероятностных задач оптимизации связано с одним из направлений современной теории управления. Развитие этого направления обусловлено влиянием насистему неконтролируемых факторов.

Необходимость достижения целей, возлагаемыхна эти системы, с одной стороны, и ограниченные возможности по противодействиюслучайным возмущениям, с другой стороны, приводят к необходимости учета этихвозмущений на этапе разработки при анализе и оптимизации сложных систем.Ярким примером современных сложных управляемых динамических систем являются ракетно-космические и летательные аппараты (ЛА), такие как пассажирские самолеты, орбитальные спутники и ракеты-носители.

Эти ЛА функционируют в условияхвозмущений, связанных с отклонениями параметров атмосферы, аэродинамическимипараметрами, разбросом тяги двигательных установок, ошибками навигационных систем, погрешностями систем управления. Случайные возмущения приводят к тому,что показатель свойств, количественно характеризующий достижение заданной целифункционирования ЛА, так же является случайным.Для решения задач анализа точности, оптимизации, управления и оценивания состояния в динамических системах в настоящее время известен ряд подходов.Задачи анализа движения орбитального корабля при спуске в атмосфере и приавтоматической посадке рассмотрены в работах В.В.

Малышева, А.И. Кибзуна, Ю.П.Семенова, В.А. Тимченко, Ю.Г. Сихарулидзе, А.А. Лебедева, задачи динамики и баллистики ракет в работах С.В. Беневольского, Н.Ф. Герасюта, Л.Н. Лысенко, Н.М. Иванова,задачи оптимизации, управления и оценивания состояния ЛА различных типов – Ю.П.Доброленским, В.М. Кейном, Н.Н.

Красовским, А.С. Филатьевым, В.М. Морозовым.В этих работах для задач исследования движения ЛА обычно используются детерминированные, минимаксные или среднеквадратические критерии, а нелинейные моделидвижения во многих случаях линеаризуются.В работах В.В. Малышева и А.И. Кибзуна предложен иной подход, основанный наиспользовании вероятностных критериев качества и наиболее адекватных, как правило, нелинейных моделей движения управляемых объектов.

К вероятностным критериям относятся вероятностный и квантильный функционал (в конечномерном случае –функции). Эти критерии позволяют оценить точность системы управления с учетомограничений по надежности.Математическая теория конечномерных оптимизационных задач с функциями вероятности и квантили в роли критериев оптимизации является одним из актуальныхнаправлений стохастического программирования. Задачам стохастического программирования посвящены работы В. Купера, Р. Леппа, К.Марти, Б.Т. Поляка, А. Прекопы,Э.

Райка, Р. Ветса, Ю.М. Ермольева, Ю.С. Кана, А.И. Кибзуна, А.В. Наумова, Д.Б.Юдина и многих других. Прикладная значимость этой теории обусловлена тем, что ука3занные оптимизационные задачи нацелены на принятие оптимальных решений с учетомриска или требований надежности в условиях наличия неконтролируемых факторов,имеющих случайную природу. Поскольку задача оптимизации исходной (случайной)целевой функции является некорректной, то в общем случае ее заменяют на вторичнуюцелевую функцию, как называет ее К.А. Карп в своих работах, являющуюся результатом некоторой статистической операции над исходной целевой функцией и зависящую только от оптимизируемых параметров.

В качестве такой операции используютматематическое ожидание, дисперсию, вероятность непревышения целевой функциейзаданного значения и другие. Традиционно предпочтение отдавалось операциям математического ожидания или дисперсии, что связано с возможностью в некоторыхслучаях аналитически получить вторичную функцию в явном виде, а затем для ееоптимизации использовать известные методы математического программирования.Практическая важность этих задач подтверждается также тем, что к их исследованию приложили руку известные российские специалисты в области математическойтеории управления: Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Бахшиян Б.Ц., Назиров Р.Р.,Зубов В.И., Кац И.Я., Красовский Н.Н., Кузьмин В.П., Ярошевский В.А. Среди зарубежных исследователей можно выделить К. Борелла, А. Прекопу, Леппа Р., Тамм Э.,Юби Э.Для нахождения явного вида функции вероятности, как правило, аналитическихпреобразований сделать не удается.

Это существенно сдерживает ее применение. Несмотря на это вероятность, в отличие от математического ожидания и дисперсии, являетсяисчерпывающей статистической характеристикой первичной целевой функции с произвольным распределением.Функция вероятности в задачах анализа систем управления техническими объектами, как правило, имеет вид кратного интегралаZPϕ = P (Φ(ξ) ≤ ϕ) =f (x)dx,Φ(x)≤ϕгде Φ(x) – исходная целевая функция, а f (x) – плотность вероятности вектора ξ случайных параметров.

В прикладных задачах параметр ϕ обычно моделирует допустимуюточность системы управления. Таким образом, функцию вероятности можно интерпритировать как характеристику "алгоритмической надежности"системы управления.Важной характеристикой качества системы управления в условиях стохастическойнеопределенности является функция квантили (квантильный критерий)xα = min{ϕ : Pϕ ≥ α},где α ∈ (0, 1) – заданная доверительная вероятность. Ее можно интерпритировать какгарантированную с заданной вероятностью (надежностью) точность системы управления.Сложность задач анализа систем управления с использованием функций вероятности и квантили обусловлена главным образом необходимостью точного вычисленияуказанного кратного интеграла.

Если размерность случайного вектора ξ достаточно4велика, то для решения этой задачи обычно используются известные статистическиеметоды, описанные в главе 1 диссертации. Для случая невысокой размерности (до 3х включительно) обычно стараются разработать детерминированные численные схемы.Именно этой проблеме и посвящена настоящая диссертация. В диссертации такие схемыпредлагаются для двух практически важных случаев, когда исходная целевая функцияявляется квадратичной, либо кусочно-линейной по случайным параметрам. Предполагается. что последние распределены по нормальному закону.Для подсчета вероятности в инженерной практике используется метод статистических испытаний (Монте-Карло), обладающий простотой, универсальностью и позволяющий исследовать широкий класс моделей.

Однако для проведения расчетов сиспользованием этого метода требуются большие вычислительные затраты, посколькуметод Монте-Карло основан на проведении многократных статистических испытанийисследуемой модели и оценке вероятности как частоты успешных испытаний. Поэтому,к сожалению, существует большой разрыв между достижениями теории и практическим применением этих достижений, во всяком случае – в очень важной области,относящейся к исследованию задач динамики полета.

Численные методы для решения задач анализа точности, возникающих при исследовании движения авиационныхи космических ЛА, в которых в качестве критерия непосредственно использовалисьвероятность и квантиль рассматривались Малышевым В.В., К.А Карпом, ЕрмаковымС.М., Михайловым Г.А., Вентцель Е.С., Володиным В.Д., Кибзуном А.И.В последнее десятилетие внимание исследователей задач оптимизации функционала квантили было сосредоточено главным образом на разработке численных методоврешения конечномерных задач. Все эти методы основаны на доверительном подходе крешению квантильных задач оптимизации и носят рекуррентный характер:uk+1 = fk (uk ),где k – номер шага (итерации).

При этом на каждом шаге приходится для некотороготочностного функционала Φk (u, ξ) подбирать параметр ϕk таким образом, чтобыP (Φk (uk , ξ) ≤ ϕk ) ≥ α.Это необходимо для того, чтобы множество {x ∈ Rn : Φk (uk , ξ) ≤ ϕk } было доверительным. В работе А.В. Наумова и С.В. Иванова эта задача обозначена, но не решенаввиду ее сложности. На решение этой проблемы и направлена настоящая диссертация.Рассматриваемая задача является по сути задачей анализа систем управления и вдальнейшем зависимость от u (или uk ) в тексте опускается.В диссертации предложен подход к синтезу новых алгоритмов оценки вероятностного и квантильного критериев.