Автореферат (Алгоритмы оценки квантильного критерия с заданной точностью в задачах стохастического программирования с кусочно-линейными и квадратичными функциями потерь), страница 4

Находим центр тяжести грани (выпуклого многоугольника) z = N1i=12. Составляем массив треугольников (массив наборов по 3 точки), взяв последовательно каждые 2 соседние точки грани и центр тяжести. Таким образом грань будетразделена на N треугольников. Далее будем делить эти треугольники на более мелкие,с учетом заданной точности.Способ разделения треугольника на более мелкие, см. рис.

4.1. Находим середины для каждой из сторон треугольника zisr = zi +z2 i+1 .2. Соединив все новые точки и вершины исходного треугольника, получим 4 болеемелких треугольника.3. Повторим эти шаги до тех пор, пока сторона нового треугольника превосходитзаданную.Так, в зависимости от требуемой точности, разделим исходный треугольник на болеемелкие и далее будем рассматривать каждый отдельно.Составим из центра многогранника и полученных выше треугольников пирамиды.Нижняя оценка вероятности попадания в данную пирамиду будет равна вероятностипопадания в сектор шара, образованный меньшим из ребер пирамиды.14z2_zz3z1zsr2zsr3_zz4z1z5zsr1z2zNРис.

4: Способ разделения гранейВероятность попадания в шар радиуса R находим по формулеr2 − R2∗e 2,P ((X, Y, Z) ⊂ Bk ) = 2Φ (R) − 1 − RπRRt2где Φ∗ (R) = √12π −∞ e− 2 dt — функция распределения нормального закона N(0, 1).Вероятность попадания в часть шара, вырезаемую треугольной пирамидой со стороной равной радиусу шара RP ((X, Y, Z) ⊂ D) =ΩDP ((X, Y, Z) ⊂ Bk ),4πгде ΩD — телесный угол, вырезаемый треугольной пирамидой.Треугольник с координатами вершин r1 , r2 , r3 виден из начала координат под телесным углом(r1 , r2 , r3 )ΩD = 2arctg,r1r2 r3 + (r1 · r2 )r3 + (r2 · r3 )r1 + (r3 · r1 )r2где (r1 , r2 , r3 ) — смешанное произведение векторов, (ri · rj )— скалярное произведение.Верхнюю оценку вероятности получим тем же способом, взяв за радиус шара большую сторону треугольной пирамиды.Заметим, что если точка пересечения высоты, проведенной из центра многогранникак каждому из треугольников, будет лежать внутри этого треугольника, то за меньшийрадиус нужно принимать величину найденной высоты.

Проверить это можно, еслинайти все двугранные углы у основания пирамиды. Если все они острые, то высота,проведенная к основанию пирамиды будет лежать внутри. Остается просуммироватьвсе оценки, найденные для построенных элементарных пирамид и получить оценкувероятности попадания двумерного гауссовского вектора в заданный многогранник.В третьей главе рассматривается прикладная задача, где предложен подход к разработке специального программного обеспечения, позволяющего провести расчёты пополучению зависимости кругового вероятностного отклонения (КВО) от угла наклона15траектории в начале пассивного участка траектории и полной сферической дальностиполета летательного аппарата, включающего помимо пассивного участка траекториитакже и активный участок. В качестве отправной информации принимается заданноесоответствующее круговое вероятностное отклонение, известное для траекторий максимальной дальности.Для непрерывного мониторинга ракетно-космической обстановки в мире или отдельных регионах Земли возникает задача оценки возможностей ракетно-космическихсредств и систем, дислоцирующихся в различных позиционных районах Земли.

Такиеоценки базируются на решении баллистических оптимизационных задач определениязон досягаемости летательных аппаратов (ЛА), зачастую в условиях неполного знанияряда проектных характеристик оцениваемых средств. Учет свойств области досягаемости имеет достаточно глубоко проработанную базу методического обоснования решенийпрактических задач, возникающих при оценке угроз, связанных с применением различных ЛА.

Вопрос же учета влияния рассеивания отделяемых фрагментов ЛА исследованв меньшей степени.При обосновании требований к параметрам объектов наземной инфраструктурыинформационных систем слежения за полетом ЛА одним из важнейших параметров,используемых для учета влияния рассеивания на результаты пуска является КВО,характеризующее степень рассеивания точек падения на поверхность Земли. КВО является мерой кучности пусков при круговом рассеивании ЛА и представляет собойрадиус круга, вероятность попадания в который равна 0,5 при условии совмещенияцентра нормального закона распределения ошибок пуска с центром круга.В соответствии с терминологией, представленной во второй главе, КВО представляет собой квантильный критерий качества надежности 0,5 для функции потерь, равнойвеличине случайного отклонения точки падения фрагмента от центра нормальногозакона распределения.

При этом КВО обычно бывает известным для типовых траекторий, например для траекторий максимальной дальности. Поэтому предлагается найтизависимость КВО от других параметров полета, используя опубликованные данныехарактеристик ЛА.Постановка задачи.По заданным значениям параметров разброса вектора скорости ЛА в начале ПУТK0 и КВО для траектории максимальной дальности известна κmax требуется определитьзависимость КВО точки падения фрагмента ЛА от полной сферической дальностиполета и угла наклона траектории ЛА в начале ПУТ.В качестве исходных данных для модельных расчетов использовались характеристики ЛА Трайдент II, заимствованные из работы Л.

Гронлунда и Д. Райта. МатрицаK0 в расчетах принята единичной, что соответствует сферической модели рассеиванияпо скорости отделения фрагмента в конце АУТ.Величина κmax принята равной 100 ед. Это приводит к определению искомой зависимости КВО в процентах от κmax . Например, при КВО=145 истинное значение искомогоКВО рассчитывается по формуле КВО = 1.45 × κmax , где κmax выражено в метрах.Основные допущения следующие. Земля предполагается сферической.

ВращениеЗемли не учитывается. Влияние атмосферы на активном участке траектории (АУТ)16не учитывается. Влияние атмосферы на пассивном участке траектории (ПУТ) учитывается в соответствии с моделью торможения для фрагмента конусовидной формы соскругленной вершиной. Граница плотных слоев атмосферы принимается равной 90 км.Случайные возмущения, приводящие к рассеиванию точек падения фрагментов ЛА,моделируются нормальным распределением разброса вектора скорости ЛА в началеПУТ с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей σ 2 K0 , гдематрица K0 задана, а σ 2 - скалярный параметр.

Распределение указанных случайныхвозмущений полагается одинаковым для всех допустимых траекторий ЛА. ВеличинаКВО κmax для траектории максимальной дальности известна.Далее описывается алгоритм оценки кругового вероятностного отклонения.Для удобства обозначений принято: нижний индекс «0» у некоторого кинематического параметра означает, что этот параметр берется на начало ПУТ, а нижнийиндекс «а» говорит о том, что это параметр относится к моменту входа в плотныеслои атмосферы.В расчетах используются следующие вспомогательные системы координат (СК):x0 , y0 , z0 — произвольная инерциальная, в которой задаются данные на начало ПУТ.В расчетах использована абсолютная геоцентрическая СК (АГСК).xa , ya , za — инерциальная, связана с точкой Oa пересечения невозмущенной траектории фрагмента ЛА с границей плотных слоев атмосферы.

Ось Oa ya направлена повнешней нормали к границе атмосферы, ось Oa xa ортогональна оси Oa ya и направленав плоскости невозмущенной орбиты в направлении движения фрагмента ЛА. Ось Oa zaдополняет систему до правой.B, S — плоская СК на поверхности Земли, связанная с точкой падения фрагментаЛА при невозмущенном движении. S — отклонение по дальности в плоскости невозмущенной орбиты, B — отклонение по боку.Некоторые обозначения.v = (vx , vy , vz )T — вектор скорости.r = (x, y, z)T — вектор положения.θa = arctg (vya /vxa )— угол входа в атмосферу.L = L (|va | , −θa )— путь по Земле при торможении фрагмента в атмосфере.Lv = ∂L/∂ |va |, Lθ = ∂L/∂ (−θa ) .Эти производные определяются численно по трем точкам с помощью метода наименьших квадратов (МНК) для уменьшения влияния ошибок, обусловленных погрешностью численного интегрирования уравнений движения фрагмента ЛА в атмосфере.C = ∂q/∂v0 — матрица баллистических производных размера 5 × 3 .A = ∂Q— матрица частных производных размера 2 × 5, qa = (xa , za , vxa , vya , vza )T ,∂qQ = (S, B)T .Разработанный алгоритм включает в себя следующие три этапа.Этап 1.

Подготовка исходных данных для вероятностного анализа в результате моделирования дискретных пучков траекторий ЛА на ПУТ, соответствующих различнымзадаваемым с шагом 500 км значениям сферической дальности полета и различнымзначениям угла бросания в начале ПУТ. Моделирование проводится с помощью разработанной для этой цели программы. На этом же этапе используется программа для17определения значений функции L (|va | , −θa ) для смоделированного набора значенийскорости и угла входа в атмосферу.Этап 2. Определение параметров λmin , λmax для смоделированных на этапе 1 траекторий.

Это наименьшее и наибольшее собственные значения (2×2)-матрицы ACK0 C T AT .Этап 3. Для каждой смоделированной траектории искомое КВО κ определяется поформуле:pκ = σ λmax f (γ) ,где f (γ) — КВО для двумерного нормального закона с плотностью1y212p (x, y) = √ exp −x +,2π γ2γminа γ = λλmax. Для нахождения f (γ) используется процедура, описанная в первой главе иреализованная как функция программы.Параметр σ определяется по известному КВО κmax для траектории максимальнойдальности. Для этого сначала выполняются первые два этапа алгоритма.

Затем вычисляемκmax.σ=√λmax f (γ)В этой же главе описывается алгоритм определения матрицы C баллистических производных. Для его реализации необходимо рассчитать эту матрицу в СК xa , ya , za . Далееподробно описано получение баллистических производным путем дифференцированияв АГСК по vx0 , vy0 и vz0 векторного интеграла площадей, условий входа в атмосферуи интеграла энергии.

После этого получим 5 линейных уравнений относительно шестиvhнеизвестных производных. Первую из них, т.е. ∂x, предлагается определить, используя∂vx0численные метод, основанный на методе наименьших квадратов. Тогда для остальныхпяти производных получаем систему из пяти линейных уравнений, решаемую аналитически.Далее следует описание моделирования траекторий на пассивном участке, исходными данными для которого являются требуемая сферическая дальность полета lсфи определяемые ниже параметры конца активного участка траектории – дальность ивысота полета: lK и hK .