Диссертация (Численное моделирование высокоскоростных турбулентных течений на основе двух и трехпараметрических моделей турбулентности), страница 6

В пограничном слое это число может бытьдостаточно мало, и его величина может сказаться на прогнозе точки отрыва. В такомслучае релаксационное уравнение принимает следующий вид:  t  ui  t11 tE   t  . c max  c3 ,txi11c/Re2t (1.22)В двумерном случае получаем:r t r u  t r v  t11 tE   t  . c r max  c3 ,tyy11  c 2 / Re t Использованный в k-ω-μt модели вариант учета предыстории течения наоснове дополнительного уравнения для неравновесной турбулентной вязкости можноприменить к большинству двухпараметрических моделей турбулентности. В текущемисследовании на основе данного подхода построена трехпараметрическая k-ε-μtмодель [34, 36, 41]. В этом случае в качестве базовой модели принимается модель,состоящая из двух уравнений: (1.6) – уравнение для k, (1.7) – уравнение для ε,использующая коэффициенты (1.24), а для определения времени релаксации –турбулентный масштаб времени τ=ε/k.

Дополнительное релаксационное уравнение kε-μt модели имеет вид:31  t  ui  t c  tE   t  ,txik(1.23)где tE - равновесная турбулентная вязкость, определяется по формуле (1.9).В двумерном случае релаксационное уравнение становится:r t r u  t r v  t c r  tE   t  .tyyk1.4. Постановка граничных условий.Опишем граничные условия, используемые в текущем исследовании длярешенияосредненныхуравненийНавье-Стокса:условиянастенкеспроскальзыванием и прилипанием, условия входного и выходного потока (на входнойи выходной границе) и условия симметрии относительно плоскости. Для постановкиграничных условий в текущем исследовании используется метод фиктивных ячеек,заключающийсявтом,чтодлякаждойприграничнойячейкивводятсядополнительные фиктивные ячейки.

В фиктивных ячейках на каждом шаге повремени определяются значения необходимого числа параметров, и далее на границеобласти с использованием приграничных и фиктивных ячеек решается задача Риманао распаде разрыва для определения потоков через границу.Граничные условия на стенке.Наличие стенки предполагает отсутствие протекания через границу, то естьравенство нуля нормальной составляющей скорости течения через границу. Невязкаястенка, то есть стенка с проскальзыванием, реализуется переносом касательнойскорости из приграничной ячейки в виртуальную ячейку. Вязкая стенка реализуетусловие прилипания, то есть касательная скорость переносится с обратным знаком.

Всилу адиабатичности температура в фиктивной ячейке приравнивается к температурев приграничной ячейке, тем самым достигается нулевой поток тепла.Условия входного потока.Условия входного потока описывают ситуацию, в которой вектор скоростинаправлен внутрь области, то естьu, n   0 .Такие условия реализуются при сверхзвуковом и дозвуковом течении поразному.При сверхзвуковом режиме втекания все характеристики системы32уравнений переноса массы, импульса и энергии являются отходящие (то есть стечением времени попадают в область расчета). Поэтому задаются плотность  in ,давление p in и скоростьu inv inw in T .

Заданные значения и определяютпараметры в виртуальной ячейке. Параметры в виртуальной ячейке: v   in , u v  u in , v v  v in , wv  w in , p v  p in ,где индексы in – условие в набегающем потоке, v - значение неизвестной ввиртуальной ячейке.Для дозвукового потока имеем две отходящие характеристики, поэтомунужно задавать две неизвестные наскорость u inv inгранице, например плотность in иw in T . В таком случае в виртуальной ячейке: v   in , u v  u in , v v  v in , wv  w in , p v  p  ,где индекс  обозначает соответствующее значение невозмущенного потока.Условия выходного потока.Условия выходного потока описывают ситуацию, в которой вектор скоростинаправлен из области, то есть u , n   0 .Для сверхзвукового потока нет отходящих характеристик, и информацияизвне не передается в область, нет необходимости задавать неизвестные на границе.

Ввиртуальной ячейке: v    , u v  u 1 , v v  v1 , wv  w1 , p v  p  ,где индекс 1 означает значение в приграничной ячейке.Для дозвукового потока имеется одна отходящая характеристика и нужнозадавать одну неизвестную, например, давление p  . В таком случае в виртуальнойячейке: v   1 , u v  u 1 , v v  v1 , wv  w1 , p v  p  .Температуру в виртуальной ячейке доопределяем для нахождения тепловых потоковиз уравнения идеального газа по значениям плотности и давления в виртуальнойячейке.33Периодические граничные условия.Для двух границ одинаковой формы Г1 и Г2, имеющих приграничные ивиртуальные ячейки, индексируемые 1 , V 1 и 2 , V 2 соответственно, можно поставитьпериодические граничные условия.

Для некоторого параметра, обозначенного  , этиусловия представляются в видеV 1  2 , V 2  1 .Граничные условия моделей турбулентности.Рассмотрим граничные условия для кинетической энергии турбулентности k,диссипации кинетической энергии турбулентности ε и удельной диссипациикинетической энергии ω.Значение параметров низкорейнольдсовых модели на стенке следующие:k wall  0 или k v   k1 , wall гдеn-расстояниеот60 1, или  wall c n  2середины4 1 k1n  2пристеночной  1,ячейкидостенки.Длявысокорейнольдсовых моделей значения в пристеночных ячейках не задаются и дляопределения потоков турбулентных величин через грани ячейки используетсяпроцедура, использующая информацию о трении на стенке, определяемую по методупристеночных функций с учетом градиента давления.На входной границе условияk v  k in ,  v   in или  v   in .На выходной и симметричной границе используются условия n k  0 ,  n  0 или  n  0 .Значение параметров k-ε модели на стенке рассчитываются на основе методапристеночных функций для высокорейнольдсовых моделей или с помощьюмодельного уравнения для низкорейнольдсовых моделей.В моделях с релаксационным уравнением для турбулентной вязкостииспользуютсяследующиетурбулентная вязкостьсимметричнойграничныеусловия.

Настенке ставитсянулевая~t wall  0 . На границах с развитой турбулентностью играницетурбулентнаявязкостьпропорциональнаязначению34турбулентнойвязкостивневозмущеннойобласти,чтореализуетсяпутемприравнивания значения в виртуальной ячейке к значению в приграничной ячейке~t v  ~t 1 . На входной границе турбулентная вязкость определяется по заданным k иω или ε по формуле для равновесной турбулентной вязкости.Учет градиента давления в методе пристеночных функций для k-ε моделитурбулентностиВ несжимаемом турбулентном пограничном слое поведение многих величинхорошо описывается в пристеночных координатах, когда в качестве масштабовскорости и длины выбраны величины w /  , y   /   u  .u С использованием этих масштабов можно выписать следующие безразмерныевеличиныu u,uy yk, k ,  ,24yuup  dp.3 dx uДля частичного учета влияния на течение в пристеночном слое градиентадавления в закон стенки можно включить дополнительный член в виде "линейнойфункции следа" Уайта [173]:WF  0.6 p  y  .Например, логарифмический закон стенки будет иметь видu 1ln( Ey  )  WF .Более точная зависимость скорости от градиента давления в пограничномслое получена в работе [141]  1/ 21/ 21 q1   4 1   y  ln  2  1   y 1    B  3.7 p  ,u    1/ 21y 1 где q – модуль скорости;   p  / 2 - параметр, характеризующий градиенткасательного напряжения.

Значения констант: κ=0.418, B=5.45.Похожее выражение получено в [27] из уравнений пограничного слоя35   1/ 21/241py11 u    ln 21py1  B,    1/ 2 1   p 1 p yгде κ и B должны быть функциями p+. Конкретный вид этих функций в работе неприводиться, даются только асимптотические значения при p    .Для положительного градиента давления в [135] предполагая линейноераспределение τ вдоль пограничного слоя получено следующее соотношение длязакона стенкиu  t  1 t  1  1  ,3t  t s   ln  st1t1 * sгдеtd w1  2 1  1.5,,    1 y  ,  ,  *  0.41 / 2 3 / 2 dy31 wts – параметр смещения, определяемый из условия t=ts в некоторой точке y=ys внутриподслоя.

Для ts предложено следующее выражениеy s  e  B ,t s  1  2 y s / 3 ,где κ=0.4 и B=5.5 – параметры логарифмического закона.В работе [90] показано, что для лучшего асимптотического поведения u+ при   определение ys необходимо модифицироватьy s  e  B / 1   nгде n должно быть минимальным, но больше 1/3. В частности в [90] использованозначение n=0.34.Определение α содержит значение dτw/dy. При положительном градиентедавления эта производная заменяется на dp/dy. В результате получимdp ,0 .  1 / 2 3 / 2 dy w  max 361.5.

Релаксационная модель в задаче затухания однородной изотропнойтурбулентности.С целью понять смысл неравновесной турбулентной вязкости необходиморассмотреть влияние на турбулентную вязкость релаксационного уравнения впростом случае. Для этого рассмотрим задачу затухания однородной изотропнойтурбулентности.Система уравнений и начальные условия в данной задаче Коши: d t dtdk  ,dtd2  c 2dtk ck te   t  te  c k2,k (0)  k 0 ,  (0)   0 ,  t (0)   te0   .Первые два уравнения в системе можно решить независимо от остальных. Врезультате имеемkгде n k01  t n, 0,1  t n11,   0 . В таком случае равновесная турбулентная вязкость, масштабnk 0c 2  1времени и уравнение для турбулентной вязкости становятся: te  c k 0201  t 1n ,kk 0 1  t  ,c  c  0d tk21 1 n c  te   t   c 0 1  t   c  0 1  t    t  .dtkk00Решаем однородное уравнениеd t1c n c 0 1  t   t , получаем  t  C1 1  t   , гдеdtk0C1  const .

Затем решаем неоднородное уравнение, предположив вид решения t t   C1 t   1  t c n . Получаем37 C1 t   C 2  1  t  p,c c  k 0pгдеp  1  n  1  c  , C2  const . t t   C2  1  t c nПоложив  Турбулентнаявязкостьстановитсяравнойc c nk02 1  t  pc nc c nk02 1  t 1nc n C2  1  t 0p01  n  nc.p, окончательно получаем общий вид решенияc n t t   C2  1  t c nc k 02 1  t 1n .0Из начального условия решением задачи Коши для неравновесной вязкостибудет t t     1  t c nc k 020 1  t 1n .Таким образом, к значению равновесной турбулентной вязкости добавляетсядополнительный член, равный   1  t c n , где   const , определяемая начальнымусловием.Рассмотрим три ситуации: неравновесная вязкость равна, больше и меньшеравновесной вязкости в начальный момент времени в выделенной рассматриваемойжидкой частице.Если предположить, что начальная турбулентная вязкость равна равновеснойвязкости, то из этого условия  t (0)   te0  c  t (0)   c  k 020k 020c k 020получаем,откуда   0 .