Диссертация (Численное моделирование высокоскоростных турбулентных течений на основе двух и трехпараметрических моделей турбулентности), страница 5

При осреднении уравнений Навье-Стоксапоявляются три члена (сжимаемая диссипация, работа сил давления и турбулентныйпоток массы), не учитываемые в несжимаемом случае, но способные повлиять нарезультаты в сверхзвуковых течениях. Из результатов прямого численногомоделирования известно, что наиболее существенное по величине влияние из трехвеличин оказывает сжимаемая диссипация.В настоящей работе для учета сжимаемости используется несколько моделейсжимаемой диссипации, приведенных в литературе и коррекция турбулентнойвязкости в зависимости от турбулентного числа Маха.В соответствии с подходом статьи [149] на основе асимптотического анализаирезультатовпрямогочисленногомоделированиясжимаемаядиссипациямоделируется следующим образом:25 d  1M t2 s ,(1.16)где M t  2k / a - турбулентное число Маха, α1=1.

В той же статье предложена имодификация турбулентной вязкости:f 1.1 MtВ работе [95] предложена модификация модели (1.16) для расчета струйныхтечений:~~ d  1M t2   2 M t4  s ,~где 1  1 ;  2  60 ; M t  max 0, M t  M to  ; M to  0.1 .Другая модификация модели (1.16), использованная в [175], предполагаетбольшее значение коэффициента в зависимости сжимаемой диссипации отсоленоидальной: d  1M t2 s ,где 1  1.5 .В процессе моделирования слоев смешения предложена модель [184], вкоторой линейная зависимость от квадрата турбулентного числа Маха в выражениизаменено на экспоненциальное и уменьшено значение коэффициента:   1  M 2  t    s d   1 1  exp  2     1  0.75 .В работе [12] представлен вариант учета сжимаемости, модифицирующийтурбулентную вязкость и учитывающий сжимаемую диссипацию:1  0.29 ,f 1.1  0.29 M tДробно-рациональный вариант зависимости турбулентной вязкости оттурбулентного числа Маха для учета сжимаемости предложен в работе [92]:f 1  C c1 M t221  C c 2 M t2,где постоянные Cc1  4.2 и Cc 2  3.25 .26Обеспечениефизичностирешений,получаемыхпараметрическимимоделями турбулентностиПроблема моделирования турбулентных течений, состоящая в невозможностипостроения точной замкнутой модели для тензора напряжений Рейнольдса, приводитк появлению множества различных вариантов упрощенных моделей.

При этом самтензор напряжений Рейнольдса обладает рядом свойств, следующих из физическихсоображений. При использовании упрощенных моделей для получения решенийнеобходимо обеспечивать, чтобы данные свойства не нарушались. Нелинейностьмоделей турбулентности препятствует автоматическому выполнению данных свойстви приводит к необходимости предусматривать их выполнение в дополнении крешению самих уравнений модели. К таким свойствам относятся положительностьтурбулентныхвеличин(кинетическойэнергиитурбулентности,диссипациикинетической энергии, турбулентной вязкости, частоты турбулентных пульсаций), исформулированные в работе [151] условия «реализуемости» напряжений Рейнольдса.В работе[151]приведеныусловия,накладываемыена напряженияРейнольдса:ˆturb  0 при   (в данной формуле суммирование отсутствует)ˆturb 2  ˆturbˆ при   и доказывается необходимость выполнения дополнительного условия:detˆturb   0 при   Нарушение условия реализуемости, возникающее из-за использованиягипотезы Буссинеска (1.4), может приводить к отрицательным значениям нормальныхнапряжений и, следовательно, к аномальному росту кинетической энергиитурбулентности в застойных зонах или вблизи зон больших градиентов скорости.Эмпирически было установлено, что в двухпараметрических моделях турбулентностинеобходимовводитьограничениенапроизводствокинетическойэнергиитурбулентностиPk /  s  Pmax ,(1.17)где Pmax - некоторая константа.

Такой ограничитель использовался во многих работах(например, в [100] при Pmax = 10) на этапе установления для ускорения сходимости к27стационарному решению. Явно такой ограничитель был введен как часть моделитурбулентности в SST модели [132], что привело к заметному улучшениюрезультатов, особенно при расчете отрывных течений. В работе [114] было показано,что явное использование такого ограничителя в k-ε модели приводит к улучшениюрезультатов и область значений величины Pmax  10,50 приводит к физическиреализуемым решениям, независящих от выбора значения Pmax .Изформулытурбулентности(1.8)видно,пропорциональночтотензорупорождениенапряженийкинетическойэнергииРейнольдса.Поэтомунеравновесность турбулентности довольно близко связана с реализуемостьюнапряжений Рейнольдса. В работе [140] показано, что ограничение вида (1.17)возникает из условий реализуемости напряжений Рейнольдса, и получено значениеPmax = 4/(3cµ) ≈ 14.8.

В настоящем исследовании в большинстве расчетовиспользовалось значение Pmax =15.Использование параметрических моделей турбулентности иногда можетприводить к аномальному поведению турбулентных параметров, например, взастойных зонах или в области больших градиентов скорости, в силу чего вводятсяспециальные меры для избегания подобных проблем.

Прежде всего, необходимоизбегать возникновения очень малых или нефизичных отрицательных значений k, εили ω. В текущем исследовании используются ограничители на турбулентныепараметры:k  max( k , Ak k max ) ,где k max - максимальное значение k по всей расчетной области, Ak - малое число,  max(  ,1VR MAXc k2).(1.18)При этом необходимо (во избежание нефизичного поведения турбулентной вязкостипри больших числах Рейнольдса) выполнение неравенстваA где1RT max c ,RT max - максимальное турбулентное число Рейнольдса по всей расчетнойобласти.28Уравнение для неравновесной турбулентной вязкостиПредложенная в [137] k-ω-μt модель, называемая Lag моделью, состоит изуравнения (1.10) для k, уравнения (1.11) для ω и дифференциального уравнения длятурбулентной вязкости:  t  ui  t1 c  tE   t  ,txi(1.19)где  tE - равновесная турбулентная вязкость, определяемая по формуле (1.12) для k-ωмодели,  t - неравновесная турбулентная вязкость, cτ - постоянная модели.

В случаеk-ω модели авторы [137] предложили в качестве времени релаксации τ использоватьвременноймасштабтурбулентностиτ=1/ωиполучилипутемчисленнойоптимизации, что cτ=0.35. В текущем исследовании Lag модель и её модификациииспользуется с постоянными и функциями (1.23).Выражение (1.12) для турбулентной вязкости описывает мгновенную реакциюна изменение локальных скоростей деформации, в то же время уравнение (1.19)моделирует отставание значений напряжений Рейнольдса во времени и пространстве(предысторию течения). Наличие в правой части выражения (1.19) источниковогочлена вида c tE  t  /  позволяет решению «настраиваться» с течением времениналокальноеравновесноезначение,поэтомууравнение(1.19)являетсярелаксационным, а параметр τ есть время релаксации.

Дополнительное уравнение,таким образом, является простым, содержащим лишь невязкий конвективныйоператор и источник, не требует знания расстояния до стенки, в отличие от другихуравнений турбулентной вязкости, например, модели [159].1.3. Модификации уравнения для неравновесной турбулентной вязкостиВ основе модификации [34, 36, 41] лежит предположение, что релаксационныепроцессы в турбулентных течениях могут иметь различную физическую природу и,следовательно, различные времена релаксации.

В сверхзвуковых соплах отрывупредшествует ударная волна, т.е. непосредственно перед отрывом располагается зонавысоких градиентов параметров среднего течения и параметров турбулентности. Засчет больших градиентов средней скорости появляется значительное порождениекинетическойэнергиитурбулентности,котороеможетзаметнопревышать29диссипацию энергии турбулентности, что можно учесть за счет дополнительноговременного масштаба,связанного с отношением порождения к диссипациикинетической энергии турбулентности.

Наличие больших градиентов кинетическойэнергиитурбулентностисоответствуетбольшимградиентам"турбулентногодавления" в осредненных уравнениях баланса импульса. Это тоже можно учестьпутем модификации времени релаксации в уравнении для неравновесной вязкости засчет временного масштаба, связанного с градиентом кинетической энергиитурбулентности.

Так как в потоке возникает отрыв пограничного слоя, можнопредположить, что при этом могут быть важны вязкие эффекты. Т.е. длямодификации времени релаксации используется также временной масштаб с учетомтурбулентного числа Рейнольдса. Вариант такой модификации был предложен и висходной k-ω-μt модели [137].При учете неравновесности турбулентности в качестве масштаба временицелесообразно взять масштаб Pkk , характеризующий отклонение течения от2равновесия, то есть того состояния течения, в котором порождение турбулентнойэнергии близко к ее диссипации. Когда течение равновесное, данный масштаб долженбыть равен 1, и в таком случае для описания течения достаточно интегральноговременного масштаба турбулентности.

Новый временной масштаб определим каклинейную комбинацию базового временного масштаба из уравнения (1.19) имасштаба времени, характеризующего неравновесность турбулентности. С учетомсказанного получаем релаксационное уравнение в следующей форме:~  t  ui  t1tE  t ,(1.20) c max  c3 ,~txi11c12~где   max  ,1 ,   Pk   и введено ограничение на дополнительное время1релаксации c3  0.001 . В случае модификации k-ω-μt модели1  ,   Pkk  .В двумерном случае:~rt r u t r v t1 c r max  c3 ,~tyy11  c 2   1tE  t  .30Введем также масштаб времени, чувствительный к значительному перепадукинетической энергии турбулентности.

Исходя из соображений размерности,получаем временной масштаб  2  k k . Релаксационное уравнение примет вид:  t  ui  t11 c max  c3 , tE   t  .txi11 1  c 2 k /(k )   1 (1.21)В двумерном случае имеем:r t r u  t r v  t11. c r max  c3 , tE   t tyy1 1  c k /( 1 k )  2 1 Другим способом влияния на время релаксации является использованиетурбулентного числа Рейнольдса.