Диссертация (Синтез оптимальных стратегий в двухшаговых задачах стохастического оптимального управления билинейной моделью с вероятностным критерием)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИМОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ(национальный исследовательский университет)На правах рукописиИгнатов Алексей НиколаевичСИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ СТРАТЕГИЙ В ДВУХШАГОВЫХ ЗАДАЧАХСТОХАСТИЧЕСКОГО ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ БИЛИНЕЙНОЙМОДЕЛЬЮ С ВЕРОЯТНОСТНЫМ КРИТЕРИЕМСпециальность 05.13.01Системный анализ, управление и обработка информации(авиационная и ракетно-космическая техника)Диссертация на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:доктор физико-математических наук,профессор А. И.

КибзунМосква, 2016 годОглавлениеВведение14Синтез оптимального управления в двухшаговой задаче оптимальногокапиталовложениясравномернымраспределениемдоходностей231.1.1.2.1.3.1.4.1.5.Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .Решение задачи на втором шаге . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Решение задачи на первом шаге . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Пример . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Сравнение по структуре управляющего воздействия двухшаговойвероятностной стратегии с одношаговыми стратегиями . . . . .1.5.1. Поиск оптимальной квантильной стратегии . . . . . . .

.1.5.1.1. Детерминированный эквивалент . . . . . . . . .1.5.1.2. Пример . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5.2. Поиск оптимальной логарифмической стратегии . . . . .1.5.2.1. Детерминированный эквивалент . . . . . . . . .1.5.2.2. Оптимизация критериальной функции . . . . . .1.5.2.3. Пример .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.6. Выводы по главе 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2....24263751.........525353606161687377Синтез оптимального управления в двухшаговой задаче оптимального капиталовложения с произвольным распределениемдоходностей782.1.

Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2. Верхняя и нижняя оценки функционала вероятности . . . . . . .2.3. Поиск оптимальной стратегии в задаче максимизации нижнейоценки функционала вероятности . . . . . . . . . . . . . . .

. . .2.3.1. Случай одного рискового актива на каждом шаге . . . . .2.3.1.1. Аналитический вид нижней оценки . . . . . . . .2.3.1.2. Сравнение приближенной стратегии с известнойпозиционной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.1.3. Сравнение оптимальных стратегий для различных распределений .

. . . . . . . . . . . . . . . .2.3.2. Случай произвольного числа рисковых активов на каждомшаге . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. 78. 83. 91. 92. 92. 93. 94. 98—3—2.3.2.1. Сведение аппроксимирующих задач к задачамсмешанного целочисленного линейного программирования . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .2.3.2.2. Начальное приближение для поиска стратегиипервого шага . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.2.3. Алгоритмы поиска стратегии первого шага . . .2.3.2.4. Пример . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4. Выводы по главе 2 . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. 98....100101105108Решение задачи корректирования траектории движения космического аппарата3.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2. Выбор промежутков разбиения . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3. Сведение исходной двухшаговой задачи к набору одношаговыхзадач . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.4. Детерминированный эквивалент . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.5. Решение задачи поиска оптимального управления при помощидискретизации вероятностной меры . . . . . . . . . . . . . . . . .3.6. Пример . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.7. Выводы по главе 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109. 109. 111. 112. 113. 115. 119. 123Заключение124Список литературы126ВведениеВ задачах стохастического оптимального управления модель функционирования системы описывается некоторой функцией, характеризующей эволюцию системы, которая содержит одновременно вектор управления, векторсостояния и набор случайных факторов.

Как отмечено в работе Д. Бертсекаси C. Шрива [3], в общем случае эта функция может быть нелинейной. Однакоисследователи, изучающие динамические системы со случайными воздействиями, как правило, не рассматривают функцию эволюции общего вида, а концентрируются на частных случаях, которые описывают некоторую физическуюзадачу, например, задачу управления космическим аппаратом, рассмотренную,в частности, в монографии В.В. Малышева и А.И. Кибзуна [33], монографииВ.В. Малышева, М.Н.

Красильщикова и др. [34], и задачу оптимального капиталовложения, рассмотренную, в частности, в работах П.В. Григорьева и Ю.C.Кана [10], А.И. Кибзуна и Е.А. Кузнецова [24], Т. Боднара, Н. Пароли, В. Шмида [58], Дж. Калафьоре [59]. В упомянутых задачах функция эволюции системысодержит при некотором зафиксированном значении вектора текущего состояния скалярное произведение вектора управления на случайный вектор, то естьфункция эволюции системы является линейной по случайным величинам, а приреализациях случайных величин является линейной по управлению.

Посколькускалярное произведение является билинейной функцией, то подобную модельфункционирования системы можно также назвать билинейной. В диссертациирассматривается и задача оптимального капиталовложения, и задача корректирования космического аппарата.В зависимости от целей инвестора в различных работах по задаче оптимального капиталовложения, как правило, рассматриваются следующие критерии оптимальности портфеля ценных бумаг: логарифмический критерий (максимальная средняя скорость роста капитала), впервые исследованный в работеДж. Л.

Келли [72]; вероятностный критерий (вероятность того, что капитал4—5—превысит некоторый наперед заданный желаемый уровень), изучению различных свойств которого посвящена монография Ю.С. Кана и А.И. Кибзуна [19];VaR-критерий (максимальный уровень капитала, гарантированный с заданнымуровнем надежности), одной из первой работ по которому является работа Ф.Джориона [69]; СVaR-критерий (максимальное среднее значение капитала, если капитал инвестора окажется ниже некоторого гарантированного уровня),основы которого заложены в работах Р.Т.

Рокафеллара и С. Урясева [86, 87].Авторы, исследующие логарифмический критерий в задаче формирования портфеля ценных бумаг, как правило, рассматривают только два финансовых инструмента: безрисковый актив, имеющий нулевую дисперсию доходности, и рисковый актив, имеющий определенное распределение. В [79] Л. МакЛином, Э. Торпом, Й. Чжао, В. Зиембой были приведены оптимальные стратегиив случае, когда рисковый актив имеет равномерное и нормальное распределениедоходности. А в [94] В. Зиембой и Р.

Виксоном использовалось логнормальноераспределение доходностей. Если же рисковых активов больше одного, то дляполучения критериальной функции необходимо выполнить много громоздкихвычислений. По этой причине в монографии Э. Жондо, C.-Х. Пуна, М. Рокингера [68] вместо непосредственного поиска критериальной функции предлагаетсяоптимизация некоторой функции, аппроксимирующей критериальную. В [82]В. Некрасовым был найден аналитический вид приближенного решения, полученный при помощи разложения критериальной функции в ряд Тейлора.Среди недавних работ, в которых исследовался вероятностный критерийили вероятностное ограничение на доходность портфеля ценных бумаг, выделим работы С.

Бенати, Р. Рицци [53], А.И. Кибзуна, А.В. Наумова, В.И. Норкина [27], Х. Ишии, Т. Хасуике [65], Дж. Люэдтке, C. Ахмеда, Дж. Немхаузера [78].В [53] рассматривалась задача с дискретным распределением доходностей, критерием в форме математического ожидания доходности портфеля ценных бумагв некоторый будущий момент времени и с не большей чем заданная вероятностью того, что доходность окажется ниже некоторого зафиксированного уровня.Исходная задача была сведена к задаче смешанного целочисленного линейно-—6—го программирования.

Похожая на [53] постановка задачи рассматривалась вработе [78]. В ней максимизировалсь линейная по управлению функция, а вероятностное ограничение состояло из произвольного числа неравенств. В работе [27] использовалось дискретное распределение доходностей, рассматривалсявероятностный критерий и ограничение на среднюю доходность портфеля.

Каки в [53], в [78] и [27] исходная задача была сведена к задаче смешанного целочисленного линейного программирования. В работе [65] предлагается оптимальнаястратегия по вероятностному критерию, когда доходности имеют нормальноераспределение, параметры которого определяются сценариями с неизвестнымизаранее вероятностями.Квантильный или VaR-критерий получил широкое распространение нетолько в теории, но и на практике. В частности, VaR-критерий был включенв [35] как способ оценки рисков ведения банковской деятельности.

Если же рассматривать теоретические аспекты оптимального капиталовложения, то следует выделить работу Л. Эль Гаоуи, М. Окса, Ф. Устри [62], в которой любойпроизвольной инвестиционной стратегии сопоставлялось наименьшее значениеVaR-критерия, получаемое как решение задачи полуопределенного программирования, в случае если о распределении доходностей известны только векторматематических ожиданий и ковариационная матрица доходностей. В работеЮ.С. Кана и Н.В. Тузова [20] была найдена оптимальная по квантильномукритерию стратегия в случае нормального распределения доходностей и отсутствия ограничения на то, что нельзя брать деньги в долг, т.е.