Диссертация (Синтез оптимальных стратегий в двухшаговых задачах стохастического оптимального управления билинейной моделью с вероятностным критерием), страница 7

Добавим, что, используя замену 11 = 1 − 21 , можно снизить размерность рассматриваемой оптимизационной задачи и рассматриватьмножество допустимых стратегий в виде1/2 ≤ 21 < 1.(1.34)Имеют место следующие утверждения, позволяющие найти аналитическое выражение для функции M[2 (2 )] в разных областях множества , которая призадании параметров , 1 , 1 и 2 является функцией переменной 21 .—39—Лемма 1.5.На множестве}︂{︂1 = 21 : 1/2 ≤ 21 ≤ 1 −2ˆ 21функция M[2 (2 )] равна222 ln( (1 + 1 )/(1 1 ˆ 1 ))−+,281 1 ˆ 2 1 1 ˆ 1ˆ221 1 ˆ 1ˆ21+где согласно (1.8) 1 = 2(1 − 21 )ˆ 1 , 1 = 221 ˆ 2.Доказательство леммы 1.5.В случае 1) имеем, что неравенство 0 ≤ 2выполняется автоматически, а из неравенства 1 ≤ 1 следует, что21 ≤ 1 −.2ˆ 21(1.35)Так как > 0 по условию, то неравенство 21 < 1 из (1.34) выполняется.Поэтому{︂}︂ = 21 : 1/2 ≤ 21 ≤ 1 −,2ˆ 211∫︁11 = −222 (2 − 1 ), () ==−+2 ˆ2 12ˆ 2 1 121 1 ˆ 1ˆ 2 41 1 ˆ 22∫︁12 = −2 () −2 2 ˆ 1ˆ2 11∫︁1 +1−1∫︁12 ()−2 2 ˆ 1ˆ2 11222 ln(1 /1 )2+−+()=−2 2 ˆ 1ˆ2 121 1 ˆ 1ˆ2212 ˆ 1ˆ 2 21 1 ˆ 1ˆ2+222−+−2(1 + 1 )1 ˆ 1ˆ 2 212 ˆ 1ˆ 2 21 (1 + 1 )ˆ 1ˆ2−22 ln((1 + 1 )/1 )+ .21 1 ˆ 1ˆ221 1 ˆ 1ˆ2Так как 1 () – плотность вероятности, то в силу нормировки плотности имеем∫︁1 +11 () = 1,0поэтому∫︁1 +1∫︁21 () = 1 −3 =20222 = 1 −=1−.1 121 181 1 ˆ 22—40—M[2 (2 )] = 1 +2 ln( (1 + 1 )/(1 1 22ˆ 1 ))+.−281 1 ˆ 2 1 1 ˆ 1ˆ221 1 ˆ 1ˆ2Лемма 1.6.2 ={︂21На множестве{︂}︂}︂: max 1/2, 1 −,≤ 21 ≤ 1 −2ˆ 21 2ˆ 1ˆ24ˆ 1ˆ2функция M[2 (2 )] равна1−2 ln((1 + 1 )/1 )2 ln( /(1 ˆ 1 ))+ +−,21 ˆ221 1 ˆ 1ˆ281 1 ˆ221 ˆ2где согласно (1.8) 1 = 2(1 − 21 )ˆ 1 , 1 = 221 ˆ 2.Доказательство леммы 1.6.В случае 2) из неравенства 2 ≤ 1 следует,что21 ≤ 1 −.4ˆ 1ˆ2(1.36)Как и ранее в случае 1), неравенство 0 ≤ 2 выполняется автоматически.

Неравенство 1 ≤ 1 влечет за собой, что,2ˆ 21(1.37).2ˆ 1ˆ2(1.38)21 ≥ 1 −а неравенство 1 ≤ 1 –21 ≥Из (1.34), (1.36) – (1.38) следует, что{︂{︂}︂}︂2 = 21 : max 1/2, 1 −,≤ 21 ≤ 1 −,2ˆ 21 2ˆ 1ˆ24ˆ 1ˆ2∫︁11 = − () −2 ˆ2 12=− () =2 ˆ2 11 (1 − 2 ) ln(1 /1 )2 ln( /(1 ˆ 1 ))−=−+−,22ˆ 2 1 121 ˆ22ˆ 2 1 41 1 ˆ221 ˆ2∫︁12 = −2 ()−2 2 ˆ 1ˆ2 11+∫︁1∫︁1 +1122(1 + 1 )1 ˆ 1ˆ2−222()=−+2 2 ˆ 1ˆ2 1212 ˆ 1ˆ2ˆ 1ˆ 2 21 1 222+−+212 ˆ 1ˆ 2 21 (1 + 1 )ˆ 1ˆ 2 21 1 ˆ 1ˆ2—41—2 ln((1 + 1 )/1 )2 ln((1 + 1 )/1 )= −,21 1 ˆ 1ˆ221 1 ˆ 1ˆ221 ˆ2∫︁1 +1∫︁221 () = 1 −3 = = 1 −,1 181 1 ˆ 22+02M[2 (2 )] = 1 −2 ln((1 + 1 )/1 )2 ln( /(1 ˆ 1 ))+ +−.21 ˆ221 1 ˆ 1ˆ281 1 ˆ221 ˆ2На множестве}︂{︂}︂}︂{︂2ˆ 21 − ≤ 21 ≤ min 1 −,: max 1/2,2ˆ 1 (ˆ1 −ˆ 2)4ˆ 1ˆ 2 2ˆ 1ˆ2Лемма 1.7.3 ={︂21функция M[2 (2 )] равна1+22−−++281 1 ˆ 2 1 1 ˆ 1ˆ 2 1 ˆ 2 1 ˆ22 ln(ˆ 1 (1 + 1 )/ ) ln( /(1 ˆ 1 )) ln( /(1 ˆ 1 ))−−,21 1 ˆ 1ˆ221 ˆ221 ˆ2где согласно (1.8) 1 = 2(1 − 21 )ˆ 1 , 1 = 221 ˆ 2.+Доказательство леммы 1.7.В случае 3) должно выполняться (1.36), так как 2 ≤ 1 .

Как и ранее вслучае 1), неравенство 0 ≤ 2 выполняется автоматически. Неравенство 1 ≥ 1влечет за собой, что21 ≤,2ˆ 1ˆ2(1.39)а неравенство 1 ≤ 1 + 1 можно преобразовать к виду21 ≥2ˆ 21 − .2ˆ 1 (ˆ1 −ˆ 2)(1.40)Учитывая (1.34), (1.36), (1.39) и (1.40), имеем{︂{︂}︂{︂}︂}︂2ˆ 21 − 3≤ 21 ≤ min 1 − = 21 : max 1/2,,,2ˆ 1 (ˆ1 −ˆ 2)4ˆ 1ˆ 2 2ˆ 1ˆ2∫︁11 = −2=− () −2 ˆ2 1∫︁11 () −2 ˆ2 1∫︁1 () =2 ˆ2 11 (1 − 2 ) ln(1 /1 ) ln(1 /1 ) ln(1 /1 ) (1 − 1 )−−−+=2ˆ 2 1 121 ˆ221 ˆ221 ˆ22ˆ 2 1 1—42—=−2ˆ 1 )) ln( /(1 ˆ 1 )) ln( /(1 +−+−22ˆ 2 1 41 1 ˆ221 ˆ221 ˆ2+∫︁1 +12 = −2−,21 1 ˆ 1ˆ 2 2ˆ 2 1222()=−+2 2 ˆ 1ˆ2 12(1 + 1 )1 ˆ 1ˆ 2 21 1 ˆ 1ˆ21+222 ln((1 + 1 )/1 )2−+ =+21 (1 + 1 )ˆ 1ˆ 2 21 1 ˆ 1ˆ221 1 ˆ 1ˆ221 1 ˆ 1ˆ22 ln(ˆ 1 (1 + 1 )/ )+−−,21 1 ˆ 1ˆ221 ˆ 2 21 ˆ2∫︁1 +1∫︁221 () = 1 −3 = = 1 −,1 181 1 ˆ 2202M[2 (2 )] = 1 ++22+−−+281 1 ˆ 2 1 1 ˆ 1ˆ 2 1 ˆ 2 1 ˆ2ˆ 1 (1 + 1 )/ ) ln( /(1 2 ln(ˆ 1 )) ln( /(1 ˆ 1 ))−−.21 1 ˆ 1ˆ221 ˆ221 ˆ2На множестве{︂{︂4 = 21 : 1/2 ≤ 21 ≤ min 1 −Лемма 1.8.2ˆ 21 − ,4ˆ 1ˆ 2 2ˆ 1 (ˆ1 −ˆ 2)}︂}︂функция M[2 (2 )] равна1+2 ln((1 + 1 )/1 ) ln((1 + 1 )/1 )−−,281 1 ˆ221 ˆ221 ˆ2где согласно (1.8) 1 = 2(1 − 21 )ˆ 1 , 1 = 221 ˆ 2.Доказательство леммы 1.8.В случае 4) из неравенства 1 ≥ 1 + 1 следует, что21 ≤2ˆ 21 − .2ˆ 1 (ˆ1 −ˆ 2)(1.41)Также должно выполняться (1.36), чтобы 2 ≤ 1 .

Таким образом, учитывая(1.34) и разрешая систему (1.36), (1.41), получаем, что{︂{︂}︂}︂2ˆ 21 − 4 = 21 : 1/2 ≤ 21 ≤ min 1 −,,4ˆ 1ˆ 2 2ˆ 1 (ˆ1 −ˆ 2)—43—∫︁11 = −∫︁1 +1 () −2 ˆ2 112=−∫︁1 () −2 ˆ2 1 () =2 ˆ2 11 (1 − 2 ) ln(1 /1 ) ln((1 + 1 )/1 ) ln((1 + 1 )/1 )−−−+2ˆ 2 1 121 ˆ221 ˆ221 ˆ2 12 ln((1 + 1 )/1 ) ln((1 + 1 )/1 )+=−−,22ˆ 2 1 141 1 ˆ221 ˆ221 ˆ2∫︁1 +12 = −2 () = 0,2 2 ˆ 1ˆ2 11∫︁2∫︁1 +11 () = 1 −3 =02M[2 (2 )] = 1 +281 1 ˆ 22−2 = 1 −,1 181 1 ˆ 22 ln((1 + 1 )/1 ) ln((1 + 1 )/1 )−.21 ˆ221 ˆ2На множестве{︂{︂5 = 21 : max 1 −Лемма 1.9.,4ˆ 1ˆ 2 2ˆ 1ˆ2}︂≤ 21}︂<1функция M[2 (2 )] равна1−12 ln((1 + 1 )/1 ) ln(2ˆ 2 /ˆ 1)++ −,1 ˆ 2 2121 1 ˆ 1ˆ221 ˆ2(1.42)где согласно (1.8) 1 = 2(1 − 21 )ˆ 1 , 1 = 221 ˆ 2.Доказательство леммы 1.9.В случае 5) из неравенства 2 ≥ 1 следует, что21 ≥ 1 −.4ˆ 1ˆ2(1.43)Также должно выполняться (1.38), так как 1 ≤ 1 .

Учитывая (1.34), (1.38) и(1.43), заключаем, что{︂{︂5 = 21 : max 1 −∫︁11 = −2,4ˆ 1ˆ 2 2ˆ 1ˆ2}︂≤ 21}︂<1 , ln(1 /2 ) ln(2ˆ 2 /ˆ 1)1 () = −=−,2 ˆ221 ˆ221 ˆ2—44—∫︁12 = −2 () −2 2 ˆ 1ˆ2 1=2 ln((1 + 1 )/1 )−,21 1 ˆ 1ˆ221 ˆ21 () = 1 −1 () + −1 10∫︁2∫︁21 () =1 () +012=1−∫︁1∫︁1 +1∫︁1∫︁12 () =2 2 ˆ 1ˆ2 1113 =∫︁1 +1111211 = 1 −−+=1+−,121 1 121 21 ˆ21M[2 (2 )] = 1 −12 ln((1 + 1 )/1 ) ln(2ˆ 2 /ˆ 1)++ −.1 ˆ 2 2121 1 ˆ 1ˆ221 ˆ2Лемма 1.10.На множестве{︂{︂}︂{︂}︂}︂2ˆ 21 − ,1 − = 21 : max,≤ 21 ≤ min 1,/{1},4ˆ 224ˆ 1ˆ 2 2ˆ 1 (ˆ1 −ˆ 2)2ˆ 1ˆ26функция M[2 (2 )] равна1−12 ln(2ˆ 2 /ˆ 1)−++−+1 ˆ 2 1 ˆ 2 21 1 1 ˆ 1ˆ221 ˆ2− ln( /(1 ˆ 1 )) 2 ln(ˆ 1 (1 + 1 )/ )+,21 ˆ221 1 ˆ 1ˆ2где согласно (1.8) 1 = 2(1 − 21 )ˆ 1 , 1 = 221 ˆ 2.Доказательство леммы 1.10.В случае 6) так как 2 ≤ 1 ,то21 ≥.4ˆ 22(1.44)В силу того что 2 ≥ 1 , должно выполняться (1.43). Из-за того что 1 ≤ 1 ≤1 + 1 , имеет место (1.39) и (1.40).

Имея систему неравенств (1.34), (1.39),(1.40), (1.43), (1.44), получаем, что{︂{︂}︂{︂}︂}︂2ˆ 21 − 6 = 21 : max,1 −,≤ 21 ≤ min 1,/{1},4ˆ 224ˆ 1ˆ 2 2ˆ 1 (ˆ1 −ˆ 2)2ˆ 1ˆ2—45—∫︁11 = − ln(1 /2 ) ln(1 /1 )1 () = −−−2 ˆ221 ˆ221 ˆ212−∫︁1 () −2 ˆ2 1 ln(1 /1 ) (1 − 1 ) ln(2ˆ 2 /ˆ 1 ) ln( /(1 ˆ 1 ))+=−−+21 ˆ22ˆ 2 1 121 ˆ221 ˆ2+∫︁1 +12 = −2−,2ˆ 1ˆ 2 1 1 2ˆ 2 122 () =+2 2 ˆ 1ˆ2 121 1 ˆ 1ˆ21+2 ln(ˆ 1 (1 + 1 )/ )−−,21 1 ˆ 1ˆ221 ˆ 2 21 ˆ21 () = 1 −1 () +3 =∫︁1∫︁1 +1∫︁1012M[2 (2 )] = 1 − −1 1∫︁211 = 1 +−,121 21 ˆ2112 ln(2ˆ 2 /ˆ 1)−++−+1 ˆ 2 1 ˆ 2 21 1 1 ˆ 1ˆ221 ˆ2ˆ 1 (1 + 1 )/ ) ln( /(1 ˆ 1 )) 2 ln(−+.21 ˆ221 1 ˆ 1ˆ2Лемма 1.11.7{︂ ={︂21 : maxНа множестве1,1 −,24ˆ 1ˆ 2 4ˆ 22}︂{︂≤ 21 ≤ min}︂}︂2ˆ 21 − ,1/{1}.2ˆ 1 (ˆ1 −ˆ 2)функция M[2 (2 )] равна1+ˆ 2 / ) ln((1 + 1 )/1 ) ln((1 + 1 )/1 )1 ln(21 −−−, (1.45)2121 ˆ221 ˆ221 ˆ2где согласно (1.8) 1 = 2(1 − 21 )ˆ 1 , 1 = 221 ˆ 2.Доказательство леммы 1.11.В случае 7) из-за ограничений 1 ≤ 2 ≤ 1 должны выполняться (1.43)и (1.44), а из-за ограничения 1 ≥ 1 +1 должно выполняться (1.41).

Учитывая(1.34), (1.41) – (1.44), заключаем, что{︂{︂}︂{︂}︂}︂12ˆ 21 − 7 = 21 : max,1 −,≤ 21 ≤ min,1/{1}.24ˆ 1ˆ 2 4ˆ 222ˆ 1 (ˆ1 −ˆ 2)—46—∫︁11 = − () −2 ˆ2 1 ln(1 /2 )1 () = −+2 ˆ221 ˆ212−∫︁1 +1 ln((1 + 1 )/1 ) ln((1 + 1 )/1 ) 1 ln(21 ˆ 2 / )−+=−+21 ˆ221 ˆ22ˆ 2 1 121 ˆ2 ln((1 + 1 )/1 ) ln((1 + 1 )/1 )−−+,21 ˆ221 ˆ22ˆ 2 1∫︁1 +122 = − () = 0,2 2 ˆ 1ˆ2 111 () = 1 −1 () +3 =∫︁1∫︁1 +1∫︁1012 −1 1M[2 (2 )] = 1 +∫︁211 = 1 +−,121 21 ˆ211 ln(21 ˆ 2 / ) ln((1 + 1 )/1 )−−+2121 ˆ221 ˆ2 ln((1 + 1 )/1 )−.21 ˆ2Лемма 1.12.Множество 8 является пустым.Доказательство леммы 1.12.В случае 8) из-за того что 2 ≥ 1 , имеем21 ≤.4ˆ 22(1.46)Так как 1 ≤ 1 + 1 , то также должно выполняться (1.40).

Учитывая (1.40) и(1.46), имеем8 ={︂21{︂: max 1/2,2ˆ 21 − 2ˆ 1 (ˆ1 −ˆ 2)}︂≤ 21{︂}︂}︂≤ min 1,.4ˆ 22Так как 0 < < 4ˆ 22 по постановке задачи, то{︂{︂}︂}︂2ˆ 21 − 8 = 21 : max 1/2,≤ 21 ≤.2ˆ 1 (ˆ1 −ˆ 2)4ˆ 22При < 2ˆ 22 правая граница множества 8 не превосходит 1/2, следовательно, при < 2ˆ 22 множество 8 оказывается пустым. При этом при ≥ 2ˆ 222ˆ 21 − > 1,2ˆ 1 (ˆ1 −ˆ 2)следовательно, множество 8 оказывается пустым. —47—На множестве}︂{︂}︂}︂{︂2ˆ 21 − − + 4ˆ 1ˆ2≤ 21 ≤ min,.: max 1/2,4ˆ 2 (ˆ1 −ˆ 2)4ˆ 22 2ˆ 1 (ˆ1 −ˆ 2)Лемма 1.13.9 ={︂21функция M[2 (2 )] равна− (1 + 1 ) ln(2ˆ 2 (1 + 1 )/ )2(1 + 1 )2−+21 1 ˆ281 1 ˆ 2221 1где согласно (1.8) 1 = 2(1 − 21 )ˆ 1 , 1 = 221 ˆ 2.Доказательство леммы 1.13.В случае 9) должно выполняться (1.46), так как 2 ≥ 1 , и (1.41), потомучто 1 ≥ 1 + 1 . Из-за того что 2 ≤ 1 + 1 , имеем21 ≥− + 4ˆ 1ˆ2.4ˆ 2 (ˆ1 −ˆ 2)(1.47)Учитывая (1.41), (1.46) и (1.47), получаем{︂{︂}︂{︂}︂}︂2ˆ 21 − − + 4ˆ 1ˆ29, = 21 : max 1/2,≤ 21 ≤ min.4ˆ 2 (ˆ1 −ˆ 2)4ˆ 22 2ˆ 1 (ˆ1 −ˆ 2)∫︁1 +11 = − () = −2 ˆ2 1∫︁1 +122∫︁1 +1=− (1 + 1 ) +21 1 ˆ22=− (1 + 1 − ) =21 1 ˆ2∫︁1 +1 =21 1 ˆ22 (1 + 1 ) ln(2ˆ 2 (1 + 1 )/ )2++−.21 1 ˆ221 ˆ 2 21 ˆ 2 41 1 ˆ 222 = 0.∫︁1 +13 =∫︁1 +11 () =21 + 1 − 1 + 1 − 2 =+1 1121 + 1 − 2 −(1 + 1 )2 + 22++.121 1M[2 (2 )] = − (1 + 1 ) ln(2ˆ 2 (1 + 1 )/ )2−+21 1 ˆ281 1 ˆ 22+(1 + 1 )2.21 1—48—Исследуем поведение функции M[2 (2 )] на множествах .

Очевидно,что во всех точках множеcтв эта функция является непрерывной, так как1 ̸= 0 по постановке задачи и 1 ̸= 0, поскольку множества не содержатточку 21 = 1.Рассмотрим случай 21 = 1. Имеет место следующее утверждение.Лемма 1.14.Функция M[2 (2 )] непрерывна в точке 21 = 1 и ее зна-чение равно⎧ ln(2ˆ 2 /ˆ 1)2⎪⎪−+, 0 < < 2ˆ 1ˆ 2,⎨1 −2232ˆ4ˆ8ˆˆ1222M[2 (2 )] = ln(4ˆ 22 / )⎪⎪−,2ˆ 1ˆ 2 ≤ < 4ˆ 22 .⎩1 −4ˆ 224ˆ 22Доказательство леммы 1.14.При < 2ˆ 1ˆ 2 из всех множеств только 5 содержало бы точку21 = 1, если бы отсутствовало ограничение 21 ̸= 1, и не было одноточечным.При ≥ 2ˆ 1ˆ 2 из всех множеств только 7 содержало бы точку 21 = 1 ,если бы отсутствовало ограничение 21 ̸= 1, и не было одноточечным. Поэтомудля проверки непрерывности функции M[2 (2 )] в точке 21 = 1 нужно взятьпредел при 21 → 1− функции M[2 (2 )] на множестве 5 и на множестве 7 и сравнить его со значением функции M[2 (2 )] в точке 21 = 1.

Пределфункции (1.42) при 21 → 1− равен ln(2ˆ 2 /ˆ 1)2 ln((1 + 1 )/1 )1−−+ lim.21 →1−2ˆ 224ˆ 2221 1 ˆ 1ˆ2Четвертое слагаемое в последней формуле имеет вид2 ln((1 + 1 )/1 )2 ln(((1 − 21 )ˆ 1 + 21 ˆ 2 )/21 ˆ 2)= lim.2221 →1−21 →1−21 1 ˆ 1ˆ2821 (1 − 21 )ˆ 1ˆ2limТак как имеется неопределенность 0/0, то для нахождения предела воспользуемся правилом Лопиталя из [41]:2 ln((1 + 1 )/1 )=21 →1−21 1 ˆ 1ˆ2lim=28ˆ 21 ˆ 2221 ˆ 2 [21 (ˆ2 −ˆ 1 )21 ˆ2 −ˆ 2 ((1 − 21 )ˆ 1 + 21 ˆ 2 )]=2221 →1−(1 − 221 )((1 − 21 )ˆ 1 + 21 ˆ 2 )21 ˆ2lim—49—=2 ˆ 1ˆ 22.8ˆ 21 ˆ 22 ˆ 32Таким образом, предел функции (1.42) при 21 → 1− равен1− ln(2ˆ 2 /ˆ 1)2−+.2ˆ 224ˆ 228ˆ 1ˆ 32(1.48)Предел функции (1.45) при 21 → 1− равен1− ln(4ˆ 22 / ) ln((1 + 1 )/1 )− lim.221 →1−4ˆ221 ˆ2Так как имеется неопределенность 0/0, то для нахождения предела вновь воспользуемся правилом Лопиталя из [41]: ln((2(1 − 21 )ˆ 1 + 221 ˆ 2 )/221 ˆ 2) ln((1 + 1 )/1 )= lim=21 →1−21 →1−21 ˆ24(1 − 21 )ˆ 1ˆ2lim= lim21 →1−221 ˆ 2 [(−2ˆ 1 + 2ˆ 2 )221 ˆ 2 − 2ˆ 2 (2(1 − 21 )ˆ 1 + 221 ˆ 2 )]22ˆ2(2(1 − 21 )ˆ 1 + 221 ˆ 2 )421 =−4ˆ 1ˆ2=.4ˆ 22Таким образом, предел функции (1.45) при 21 → 1− равен1− ln(4ˆ 22 / )−.24ˆ24ˆ 22(1.49)В точке 21 = 1 функция 2 (2 ) имеет вид⎧⎪2⎪⎪1 −, 1 + 21 ≥ /ˆ 1,⎪⎪212 (1 + 21 )2 ˆ 1ˆ2⎪⎨2 (2 ) = 1 −, /(2ˆ 2 ) < 1 + 21 < /ˆ 1,⎪21 (1 + 21 )ˆ2⎪⎪⎪⎪⎪⎩0,1 + 21 ≤ /(2ˆ 2 ).Так как 1 + 21 ∼ ℛ[0, 2ˆ 2 ], то при < 2ˆ 1ˆ2M[2 (2 )]1=2ˆ2∫︁2^ 2 (︂1− /^1222 ˆ 1ˆ2)︂1 +2ˆ2∫︁^ 1 (︂ /1−2ˆ2)︂.