Диссертация (Оптимизация линейных и квазилинейных диффузионных стохастических систем, функционирующих на неограниченном интервале времени, при неполной информации о состоянии), страница 8

1.1). В точке на расстоянии = 0.1 (м) от центра масс спутникажестко закреплен прямолинейный однородно упругий стержень длины = 5 (м),масса стержня = 1.02 (кг).Исходные уравнения, описывающие возмущенное движения гибкого спутника,представляют собой совокупность взаимосвязанных обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих вращение спутника, и уравнения в частных производных четвертого порядка, описывающего колебания гибкого стержня [3].С использованием принципа разделения движения на медленное квазистатическое и быстрое колебательное получена система обыкновенных дифференциальныхуравнений, описывающая управляемое движение спутника с гибким стержнем [53].Причем, вклад быстропеременной компоненты представляется в виде бесконечногоряда разложения по собственным функциям.

Исследование показало, что первая мода вносит наиболее существенный вклад в решение, последующие же моды вносятпренебрежительно малую величину. В связи с этим, воспользовавшись построеннойв [53] моделью, преобразуем ее к виду (2.1) = , = (1 + 2 + ),42(2.29)Рис. 2.1: Спутник с гибким стержнем.где ∆ = (, )T – вектор состояния; – управление; слагаемое отражает вкладпервой моды быстропеременной компоненты решения; 1 , 2 определяются выражениями1 = −( + )Ω0,( + )( − 1 ) − 2 3( + ),( + )( − 1 ) − 2 31111 = ( 2 − 2 ), 2 = ( − ), 3 = ( + ).3222 =Зададим формирующий фильтр для в виде = , = −1.5 − 2 − 3.(2.30)Случайное возмущение () (винеровский процесс) может быть обусловлено влиянием атмосферы при низких орбитах и неточностью реализации управляющего воз43действия.Итак, движение спутника описывается линейной стохастической системой уравнений (2.29), (2.30), где = (, , , )T – вектор состояния системы.

Доступны измерению компоненты и вектора состояния. Оптимальный регулятор ищется в виде = −∆. Критерий оптимальности задан в виде11lim=2 →+∞ ∫︁ ∫︁(2 + 2 2 + 2 + 2 + 2 ) (, ).(2.31)0 Применяя описанный градиентный метод, было получено оптимальное управление = −∆ в задаче (2.29)-(2.31), где(︁)︁ = 1.80 10.90 .(2.32)Рис. 2.2: Угол отклонения спутника от местной вертикали (град).Для сравнения была рассмотрена детерминированная задача, получающаясяиз (2.29) без учета слагаемого . В соответствии с теорией АКОР А.М. Летова былонайдено оптимальное управление = −∆ для детерминированной системы, гдематрица имеет вид(︁)︁ = 1.40 5.09 .(2.33)Далее было проведено сравнение регуляторов (2.32) и (2.33) в стохастической системе (2.29)-(2.31). Значение критерия (2.31), подсчитанное по формуле (2.6), длялетовского регулятора (2.33) составило 70.7, а для оптимального регулятора стохастической системы – 61.1 (меньше на 13.5%).44Рис.

2.3: Скорость отклонения спутника от местной вертикали .На рис. 2.2, 2.3 приводится пример реализации процессов управления системы (2.29)-(2.31) с регуляторами (2.32), которому соответствует сплошная линия,и (2.33), которому соответствует пунктирная. Видно, что хотя значения критерия присравниваемых управлениях мало отличаются, амплитуда колебаний при оптимальном управлении (2.32) значительно меньше, чем при управлении, задаваемом (2.33).2.6Выводы по главе 1Во второй главе получены необходимые условия оптимальности линейного регулятора неполной обратной связи в теории АКОРСС, обеспечивающего устойчивостьсистемы и оптимальность затрат на стабилизацию по заданном критерию.Исследован случай неединственности решения задачи. Определено свойствовполне возмущаемости системы, и предложен критерий его наличия.

Доказана эквивалентность полученных необходимых условий оптимальности и условий работы [46]в случае, когда оптимальная замкнутая система вполне возмущаема.На основе условий оптимальности разработаны итерационный и градиентный численные методы, работа которых продемонстрирована на модельном примере при различных составах измерений вектора состояния.В качестве прикладного примера рассмотрена задача стабилизации орбиты искусственного спутника Земли с гибкой штангой.45Глава 3Оптимизация облика и стабилизацияквазилинейных стохастическихсистем при неполной информации осостоянииРассматривается задача синтеза оптимального регулятора для квазилинейнойстохастической системы, функционирующей на неограниченном интервале времени,с квадратичным критерием, характеризующим средние затраты величины, определяющей оптимальность процесса, в единицу времени.Эта задача погружается в более общую задачу оптимизации облика системы, вкоторой оптимизации подлежат компоненты векторного параметра, от которого зависят матрицы системы.

Компоненты этого вектора могут представлять собой параметры алгоритма управления, конструктивные параметры объекта, а также параметрысреды, в которой функционирует объект.В п. 2.2 проводится анализ устойчивости и стабильности рассматриваемой системы, для чего используется конкретизация теоремы из работ Хрусталева М.М. [46],которая содержит достаточные условия стабилизируемости системы.В п. 2.3 показывается, что критерий не зависит от начального распределения состояния системы и реализовавшегося процесса и является функцией компонент векторного параметра.

Используя аналитическое выражение для величины критерия,получены и доказаны необходимые условия стабильности и оптимальности квазилинейной системы.В п. 2.4 выполняется конкретизация полученных необходимых условий для управ46ляемой по выходу системы, включая частный случай – симметрической управляемойпо выходу системы.В п. 2.5 рассматриваются управляемые системы при полной информации о векторе состояния. Получены и доказаны необходимые и достаточные условия оптимальности линейного регулятора, более общие, чем известные ранее.Для системы с пропорционально-интегрально-дифференциальным регулятором вп.

2.6 указывается метод сведения к системе общего вида, для которой могут быть записаны уравнения для первого и второго центрального моментов, исследована устойчивость системы и синтезирован оптимальный регулятор.В п. 2.7 используя полученные необходимые условия, разрабатывается градиентный численный метод синтеза оптимальной системы, работа которого демонстрируется на ряде модельных примеров.В. п. 2.8 рассматривается пример управления беспилотным летательным аппаратом с учетом ветровых воздействий. Получены оптимальные стратегии управлениядля стохастической системы и системы без учета влияния случайных воздействий.Производится сравнение качества полученных управлений для рассматриваемой стохастической системы.3.1Описание динамической системы. ПостановказадачиРассматривается стохастическая динамическая система, описываемая стационарным дифференциальным уравнением Ито∑︁() = (0 ()() + 0 ()) +( ()() + ()) ().(3.1)=1Здесь =(1 , ..., )T∈ – случайное состояние системы; ()=(1 (), ..., ())T ∈ – стандартный винеровский процесс; ∈ [0, +∞) – время; (·)T – операция транспонирования; , ( = 0, ) – матрицы размеров × и векторы-столбцы длины соответственно.Постоянные во времени матрицы , зависят от векторного параметра ∈ Λ ⊂ .

В качестве этого векторного параметра могут выступать параметры алгоритма47управления, конструктивные параметры объекта (например, жесткость шасси самолета, размеры крыла), а также параметры среды, в которой функционирует объект.Поэтому будем говорить, что этот векторный параметр определяет облик системыи подлежит оптимизации.Уравнение (3.1) порождает вероятностную меру * () = (, ·), задающую распределение случайного состояния системы (3.1) в момент времени ∈ [0, +∞).Начальное распределение 0 (·) = (0, ·) состояния 0 = (0) считается заданным.Начальная мера 0 (·) выбирается из заданного множества 0 , которое будет конкретизировано в разделе 3.2.Система (3.1) относится к классу квазилинейных стохастических систем [20], отличающихся от линейных тем, что коэффициенты диффузии могут зависеть линейноот вектора состояния системы.

По существу, система (3.1) содержит нелинейность,состоящую в том, что в нее входят произведения компонент вектора состояния надифференциал винеровского процесса.Задача состоит в оптимизации облика системы (3.1), исходя из условий минимумакритерия оптимальности11lim( * (·), ) =2 1 →+∞ 1∫︁1 ∫︁ (, ) (, ),0 (3.2) (, ) = T () + 2() + (),где T – неотрицательная квадратичная форма при любых ∈ Λ; – матрица размеров × ; ∈ – вектор-строка длины ; ∈ 1 – скаляр. Как и впервой глве внутренний интергал в (3.2) представляет собой математическое ожидание «мгновенных потерь».

Здесь и далее для краткости записи матриц системы икритерия аргумент будем опускать.Точная формулировка задачи оптимизации будет дана в разделе 3.3.3.2Анализ устойчивости и стабилизируемостиЗадача этого раздела состоит в том, чтобы исследовать устойчивость и стабильность [46] системы (3.1), подсчитать значение критерия (3.2) при фиксированномзначении параметра .48Если случайный процесс (), удовлетворяющий (3.1), имеет первый () и второйцентральный Γ() моменты, то они удовлетворяют уравнениям [20]˙ = 0 + 0 ,Γ̇ = 0 Γ +ΓT0+∑︁ ΓT∑︁+( + )( + )T=1(3.3)(3.4)=1с начальными условиями (0) = 0 , Γ(0) = Γ0 , где 0 , Γ0 – математическое ожидание и матрица ковариаций начального состояния 0 = (0) системы.Уравнение (3.3) решается независимо от уравнения (3.4) и является линейнымдифференциальным уравнением.