Диссертация (Оптимизация линейных и квазилинейных диффузионных стохастических систем, функционирующих на неограниченном интервале времени, при неполной информации о состоянии), страница 3

Этот метод наметился еще в ранних работах Хрусталева М.М. [48–51] при изучении проблемы оптимального управления частично наблюдаемым диффузионным процессом и получил дальнейшее развитие в его работах постохастическим дифференциальным играм с неполной информацией [44, 45].Метод функций Ляпунова-Лагранжа состоит в использовании совокупностифункций, аналогичных вектор-функциям Ляпунова в теории устойчивости. Но в рассматриваемом круге проблем эти функции играют двоякую ролью. С одной стороны,они, как и функции Ляпунова, подменяют проблему изучения поведения траекторийдинамической системы изучением их поведения на этих траекториях. С другой – ониявляются нелинейными нелокальными аналогами классических множителей Лагранжа, предназначенных для полного снятия ограничений [44, 45].Важным результатом применения функций Ляпунова-Лагранжа является снятиевсех нелокальных ограничений, в том числе и информационных, и полная локализация условий равновесия – доведение их до совокупности уравнений (или неравенств)для этих функций и семейства конечномерных задач, решаемых в фиксированныймомент времени локально в каждой точке пространства состояний, аналогично тому,как это делается в условиях принципа максимума Понтрягина Л.С.

или динамического программирования для классической задачи оптимального управления.Фундаментом для метода Ляпунова-Лагранжа послужили работы Понтрягина Л.С. [25], Беллмана Р. [4], Кротова В.Ф. [11], Гурмана В.И. [8], в которых встречались те или иные фрагменты метода. Различные аспекты метода исследовалисьв [32, 48–51] и более поздних работах [23].

Близкий методу функций ЛяпуноваЛагранжа подход предлагается в [15].12Всем специалистам в области управления хорошо известны работы Летова А.М.по аналитическому конструированию оптимальных регуляторов (АКОР). Диссертационная работа представляет собой часть комплекса научных исследований, проводимых под руководством Хрусталева М.М., по созданию теории аналитического конструирования оптимальных регуляторов стохастических систем(АКОРСС) , аналога теории АКОР для детерминированных систем.Достоверность результатов обеспечивается строгостью математических поста-новок и доказательств утверждений, корректным использованием методов системного анализа, подтверждением теоретических результатов численными экспериментами.Научная новизна.В диссертационной работе получены новые результаты: необ-ходимые условия оптимальности линейного регулятора в задаче стабилизации и оптимизации линейной стохастической системы, достаточные условия стабильности инеобходимые условия оптимальности квазилинейной стохастической системы, функционирующих на неограниченном интервале времени при неполной информации овекторе состояния.

Получены условия второго порядка в задаче оптимизации параметров квазилинейных стохастических систем. Введены новые понятия: вполневозмущаемости системы, с помощью которого исследуется вопрос единственностирешения задачи стабилизации линейной стохастической системы; облик системы –понятие, позволяющее рассматривать общую постановку задачи, когда оптимизируемыми параметрами могут выступать параметры объекта управления, параметрысреды, в которой объект функционирует, и параметры алгоритма управления. Решена задача оптимальной стабилизации движения малого беспилотного летательногоаппарата в неспокойной атмосфере.Практическая ценностьработы состоит в том, что ее теоретические резуль-таты могут служить основой для разработки программно-алгоритмического обеспечения решения прикладных задач в областях авиационной и ракетно-космическойтехники.

Представленные условия оптимальности позволяют, в частности, решатьследующие задачи оптимального управления:- решать задачи оптимального управления при наличии мультипликативных возмущений и ошибок реализации управления;13- при синтезе оптимального управления учитывать шумы в матрице управляемойсистемы и ошибки измерений переменных состояния;- оценивать проигрыш по критерию в результате отказа от измерения части компонент вектора состояния;- решать задачи оптимального управления системами, в которых управление осуществляется не с помощью компьютера, а за счет реакции конструкции системы наизменение переменных состояния.Получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ№ 20166114945 (12.05.2016 г.), позволяющей производить расчет оптимального управления малым беспилотным летательным аппаратом в неспокойной атмосфере.Соответствие диссертации паспорту научной специальности 05.13.01.Вдиссертации методы системного анализа применены для исследования сложных технических систем, проведена разработка методов и алгоритмов решения задач стабилизации и оптимального управления стохастическими динамическими системами.Структура и объём диссертации.Диссертация содержит введение, три главы,заключение и список используемой литературы.

Работа изложена на 101 странице,включая 16 рисунков, 1 таблицу и список литературы, содержащий 72 наименования.Содержание диссертацииВо введениидано обоснование актуальности выбранной автором темы диссер-тации, сформулированы цель и задачи работы, аргументирована научная новизнапроводимых исследований. Приведен краткий обзор используемого метода функцийЛяпунова-Лагранжа, обобщающего метод функций Кротова В.Ф.

на стохастическиесистемы. Перечислены полученные в диссертационной работе новые результаты, ихпрактическая ценность, описана структура диссертации.В первой главедля удобства изложения приводятся используемые в диссерта-ции результаты работ Хрусталева М.М. [44–46], адаптированные для рассматриваемых в диссертации задач.Во второй главерассматривается линейная управляемая стохастическая си-стема, функционирующая на неограниченном интервале времени. Обсуждается результат полученный Хрусталевым М.М. [46] для линейных стохастических систем –условия экстремальности стабилизирующей стратегии управления. Получены и дока-14заны строгие необходимые условия оптимальности линейного регулятора неполнойобратной связи.

Предлагается численный метод синтеза оптимального регулятораградиентного типа, работа которого продемонстрирована на модельном примере изадаче стабилизации орбиты искусственного спутника Земли (ИСЗ) c гибкой штангой.В третьей главерассматривается задача оптимизации квазилинейной стохасти-ческой системы, функционирующей на неограниченном интервале времени, матрицы которой зависят от векторного параметра, – задача оптимизации облика системы. Получены необходимые условия в поставленной задаче. Произведена их конкретизация для управляемой по выходу системы, включая частный случай – симметрической управляемой по выходу системы, а также для управляемой системы приполной информации о векторе состояния и системы с пропорциональ-интегральнодифференциальным регулятором.

На основе полученных необходимых условий разработан градиентный численный метод синтеза оптимальной системы, который былопробован на ряде модельных примеров. Рассмотрена прикладная задача стабилизации движения беспилотного летательного аппарата, относящаяся к авиационнокосмическому комплексу.В четвертой главеполучены условия второго порядка в задаче оптимизацииоблика квазилинейных стохастических систем. Проверка достаточных условий продемонстрирована на модельном примере в случае полной информации о состояниисистемы и случае информационных ограничений.В заключенииподведены основные итоги данной работы, сформулированы ре-зультаты, представляемые диссертантом к защите, а также предложены некоторыеперспективные направления дальнейших исследований в области оптимизации квазилинейных стохастических систем.Апробация работы.Результаты диссертации докладывались на следующихконференциях: 4-я и 5-я Традиционные молодёжные школы «Управление, информация и оптимизация» (Россия, Звенигород, 2012 г.; Россия, Солнечногорск, 2013 г.),11-я, 12-я и 14-я международные конференции «Авиация и космонавтика» (Россия,Москва, 2012, 2013, 2015 гг.), Московская молодежная научно-практическая конференция «Инновации в авиации и космонавтике-2013» (Россия, Москва, 2013 г.), XII15Всероссийское совещание по проблемам управления (Россия, Москва, 2014 г.), Международная конференция по математической теории управления и механике (Россия,Суздаль, 2015 г.), 42-я Международная молодёжная научная конференция «Гагаринские чтения-2016» (Россия, Москва, 2016 г.), XII Международная конференция«Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (конференция Пятницкого) (Россия, Москва, 2016 г.).Материалы диссертации представлялись на конференциях: Международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программнымсистемам (ВМСППС-2013) (Украина, Алушта, 2013 г.), XX молодежной научнопрактической конференции «Наукоёмкие информационные технологии» (Россия, с.Дивноморское, 2016 г.).Работа поддержана грантами РФФИ (13-08-01120, 15-07-09091, 16-08-00472) и государственным финансированием Минобрнауки РФ (задание №1.1191.201К).Публикации.Основные результаты диссертации опубликованы в 3 научных ста-тьях [43, 53, 54] в журналах, входящих в перечень ВАК, в 3 статьях [52, 55, 56] вразличных журналах, сборниках и материалах конференций, в сборниках тезисовдокладов конференций [39–41, 57–61] на русском и английском языках.

Общее числопубликаций — 14. Зарегистрирована программа для ЭВМ [42].Благодарности.Автор выражает глубокую признательность научному руково-дителю профессору М. М. Хрусталеву, заведующему кафедрой «Математическая кибернетика» МАИ профессору А. В. Пантелееву, доценту Е. А. Руденко и доцентуС. В.

Иванову за разностороннюю помощь, оказанную диссертанту в процессе исследований и написания диссертации.16Глава 1Синтез оптимальных стохастическихсистем на неограниченном интервалевремениВ первой главе для удобства изложения приводятся используемые в диссертациирезультаты работ Хрусталева М.М. [44–46].В разделе 1.1 приводится диффузионная стохастическая система общего вида,функционирующая на неограниченном интервале времени и описываемая стационарным дифференциальным уравнением Ито.В раздеме 1.2 обсуждается переход от описания управляемого процесса в видесистемы дифференциальных уравнений Ито к форме описания эволюции вероятностной меры, характеризующей распределение состояния диффузионного процесса, в виде обыкновенного дифференциального уравнения в банаховом пространстве(обобщенное уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК)).В разделе 1.3 приводятся достаточные условия стабильность стохастической системы, функционирующей на неограниченном интервале времени, из работы [46].В разделе 1.4 комментируется адаптация для рассматриваемых в диссертации линейных и квазилинейных систем метода функций Ляпунова-Лагранжа и функциналаЛагранжа, который играет важную роль при доказательствах условий оптимальности, полученных в главах 2, 3.171.1Описание управляемой стохастической системыВведем обозначения: – -мерное ( ≥ 1) евклидово пространство векторов = (1 , .