Диссертация (Оптимизация линейных и квазилинейных диффузионных стохастических систем, функционирующих на неограниченном интервале времени, при неполной информации о состоянии), страница 7

Поэтому все соотношения, справедливые для случая вполне управляемости,переносятся на свойство вполне возмущаемости.Замечание 2.2.Если система является вполне возмущаемой, то уравнения (2.8), (2.9) имеют единственное решение. Эквивалентное им в силу теоремы 2.5 условие (2.20) в этом случае¯.также имеет единственное решение = Выясним, при каких условиях оптимальное управление будет не единственным.¯ , обеспечивающим асимптотическую устойСистема (2.1) с управлением ¯() = −¯ , имеет видчивость матрицы ¯ = − (2.24) = ¯ + .Еслисистема(2.24)неявляетсявполневозмущаемой,т.е.(, ¯ , 2¯ , ..., −1= 2 < , то ортогональным преобразованием¯ )[︁]︁T[︁]︁˜ ˜, где ˜ = ˜T ˜T , ˜1 ∈ 1 , ˜2 ∈ 2 , ˜T = ˜˜ = – матрица1 212преобразования, ее можно привести [1] к виду⎧⎨ ˜1 = ˜11 ˜1 ,⎩ ˜2 = (˜21 ˜1 + ˜22 ˜2 ) + ˜2 .36(2.25)В этом случае в преобразованной системе координат матрица ковариаций равна⎡⎤00⎦,Γ∞ = ⎣∞0 Γ22где компонента Γ∞22 имеет размеры 2 × 2 .

И тогда, как видно из условия оптимальности (2.20), количество скалярных уравнений в (2.20) может быть меньше, чемколичество компонент матрицы , подлежащих определению. В результате можетвозникнуть континуальная неединственность значения матрицы , удовлетворяющей условию оптимальности.Для системы (2.25) экстремальное значение критерия определяется выражением1˜ = (˜2 ˜2T 22 ),2где 22 – блок матрицы(2.26)⎡⎤11 12⎦.

=⎣21 22Уравнение (2.7) для блока 22 имеет вид22 ˜22 + ˜T22 22 + 22 = 0,где 22 – блок матрицы⎡⎤11 12˜ T (¯ T ¯ − T¯−¯ T + ),˜⎦= =⎣21 22и решается автономно.¯ дать возмущение ∆ так, что управление будет иметь вид () =Если матрице ¯ − ∆, и наложить условия−˜ T ∆˜ 2 = 0,∆22 = 0,(2.27)где⎡⎤∆11 ∆12˜ T (∆T ¯+¯ T ∆ + ∆T ∆ − T ∆ − ∆T ),˜⎦=∆ = ⎣∆21 ∆22˜ ˜ в канонической форме (2.25) получат возмущението при преобразовании = только матрицы ˜11 и ˜21 , а матрица ˜22 и значение критерия (2.26) не изменятся.Из этого следует, что решение рассматриваемой экстремальной задачи не единственно, если система уравнений (2.27) имеет решение, удовлетворяющее условию∆( − Λ) ̸= 0.372.4.1ПримерПусть система управления описывается уравнениями Ито1 = (1 + ),2 = (−1 − 22 + ) + ,(2.28)и измерению доступна лишь компонента 1 вектора состояния, следовательно, мат[︁]︁рица коэффициентов стратегии управления = 1 0 .Система (2.28) не является вполне возмущаемой, так как ранг матрицы (2.21)равен 1.Подынтегральная функция критерия оптимальности (2.2) имеет вид1 = (22 + 2 ).2Используя выражения (2.5), (2.7) для матриц Γ∞ и , получим значения компо∞∞∞нент матрицы ковариаций Γ∞11 = Γ12 = Γ21 = 0, Γ22 = 1/4 и компонент 11 = −12 =1/4,11 = −1 1 + 1 1 21−4 1 − 1 2 1 − 1матрицы .Условие оптимальности (2.20) выполняется тривиально, а оптимальное значениекритерия, определяемое равенством (2.6), равно ¯ = 1/8 и не зависит от компоненты1 .

Компонента 1 выбирается исключительно из условия асимптотической устойчивости матрицы ¯ .Независимость значения критерия от компоненты 1 регулятора объясняется тем,что при 1 > 1 (условие устойчивости) компонента 1 → 0 и = −1 1 → 0, когда → +∞. В результате в пределе остается подсистема 2 = −22 + и критерийс функцией = 12 22 , так что величина коэффициента 1 регулятора не оказываетникакого влияния.2.5Численные методы и моделированиеНа основе полученных необходимых условий (теорема 2.4) разработан градиентный численный метод синтеза оптимального регулятора. Было проведеносравнение качества его работы с простым алгоритмом синтеза оптимального регулятора, в основу которого положены условия (2.3)-(2.9), также являющиеся38необходимыми условиями оптимальности в случае невырожденности предельной ковариационной матрицы.Работа алгоритмов продемонстрирована на модельном примере при различныхинформационных ограничениях.

А также решена задача стабилизации орбиты искусственного спутника Земли (ИСЗ) c гибкой штангой [53].2.5.1Простой алгоритм синтеза оптимальных регуляторов линейных стохастических системСтратегия метода состоит в построении последовательности { }, = 0, 1, ..., схо-¯ , задающей экстремальное управление ¯() = −¯ . Напомню,дящейся к матрице что термины экстремальное управление и экстремальный регулятор здесь используются в связи с тем, что условия (2.3)-(2.9) не позволяют гарантировать оптимальность полученного с их помощью решения.Для найденного приближения с помощью выражений (2.5), (2.7) вычисляются матрицы Ω и .

Зная матрицу и используя (2.6), можно вычислить значениекритерия на данном шаге алгоритма. Если |Γ∞ | ≠ 0, то по формуле (2.9) вычисляется матрица информационных ограничений , зная которую можно подсчитать следующее приближение +1 по формуле (2.8). Начальное значение = 0 ,обеспечивающее асимптотическую устойчивость матрицы , задается произвольно.Критерием успешного окончания процесса является достаточно точное выполнениеравенств (2.3)-(2.9) или, что то же самое в силу теоремы 2.5, достаточно точное выполнение условия (2.20).Начальная матрица 0 = −0 должна быть асимптотическиустойчива.

Если матрица асимптотически устойчива, то начальное значение0 можно положить равным нулю, в противном случае можно применить метод продолжения по параметру. Если матрица 0 не является асимптотическиустойчивой, то вместо нее для решения уравнений (2.5), (2.7) следует взять матрицу 0 − , где – единичная матрица, > 0 – заданное число. При достаточнобольшом матрица 0 − будет асимптотически устойчива. С этим значением выполняется процедура алгоритма. Полученное значение используется какначальное приближение на следующем шаге метода продолжения по параметру,на котором величина уменьшается, но так, чтобы матрица − оставаласьасимптотически устойчивой. Если удастся достигнуть ситуации, когда = 0, тобудет получено решение исходной задачи синтеза.Замечание 2.3.39Этот алгоритм прост, но нет гарантии его сходимости.

В п. 1.5.3 будет приведенпример, когда экстремальное значение критерия не достигается. Однако в случаесходимости он позволяет определить экстремальную стабилизирующую стратегию иэкстремальное значение критерия за малое число итераций.2.5.2Градиентный численный метод синтеза оптимальных регуляторов линейных стохастических системТак как для оптимизируемого критерия ∞ (∞ ) = () получено выражениеградиента (2.18), то нетрудно по хорошо известной схеме записать алгоритм градиентного спуска для поставленной задачи.Стратегия поиска экстремального регулятора ¯() состоит в построении точек{ }, = 0, 1, ..., таких, что (+1 ) < ( ), = 0, 1, ....

Точки последовательности{ } вычисляются по правилу+1⃒⃒= − (Ω − )⃒⃒,=где произвольное начальное приближение 0 таково, что матрица 0 = − 0асимптотически устойчива, градиент / вычисляется в точке , величина шага > 0 задается пользователем и остается постоянной до тех пор, пока функционал () убывает в точках последовательности, что контролируется путем проверкивыполнения условия (+1 ) − ( ) < 0.В методе градиентного спуска целесообразно увеличивать величину шага , еслипредыдущие шаги были удачными, и уменьшать – если неудачными.В рассматриваемом здесь случае имеется некоторая специфика. Неудачныминужно считать ситуации, когда1. значение критерия (+1 ) не уменьшилось;2. матрица +1 не асимптотически устойчива.Так как критерий (2.2), очевидно, ограничен снизу, то метод гарантирует монотонную сходимость последовательности { ( )}.

Сходимость последовательности¯ = , = 0, 1, ... этой последователь{ } не гарантируется, однако любой элемент ности в силу теоремы 2.2 определяет стабилизирующую стратегию, а градиентныйметод позволяет улучшить значение критерия.402.5.3Модельный пример. Сравнение численных методовВ качестве модельного примера рассмотрена система (2.1)-(2.2) с асимптотическиустойчивой матрицей :⎞⎛−0, 15 0, 91−0, 87 −0, 49 −0, 53⎟⎜⎟⎜⎜ 0, 260, 662, 930, 710, 62 ⎟⎟⎜⎟⎜ = ⎜ 0, 290, 711, 212, 380, 86 ⎟ ,⎟⎜⎟⎜⎜ 0, 330, 771, 121, 092, 32 ⎟⎠⎝−3, 56 −10, 21 −18, 07 −14, 52 −10, 02⎛1 0 0 0 0⎜⎜⎜0⎜⎜ = ⎜0⎜⎜⎜0⎝02 0 00 1 00 0 00 0 0⎛⎞0⎜ ⎟⎜ ⎟⎜1⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ 2 ⎟,⎜ ⎟⎜ ⎟⎜0⎟⎝ ⎠−1⎛⎞1⎜ ⎟⎜ ⎟⎜0, 2⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ −1 ⎟ ,⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ 1 ⎟⎝ ⎠5⎞⎟⎟0⎟⎟⎟0⎟ ,⎟⎟0⎟⎠2(︁)︁= 0 0 0 0 0 ,(︁ )︁= 1 .Система является стабилизируемой для любого набора измеряемых компонент,так как матрица асимптотически устойчива.

Однако простой алгоритм синтезаоптимального регулятора сходится не во всех случаях. Это видно из приведенныхрезультатов, представленных в табл. 1.1.Значения критерия оптимальности.Измеряемые компонентыЗначение критериявектора состояния (информацион- Простой методГрадиентный методная матрица Ω)(0, 0, 0, 0, 0)3,443,45(0, 0, 0, 1, 1)3,493,49(1, 0, 0, 0, 1)4,13(1, 1, 0, 1, 0)5,61(0, 1, 1, 1, 1)11,8211,07(1, 1, 1, 1, 1)13,5313,53Таблица 1.1.В табл. 1.1 приведены лишь некоторые варианты информационных ограничений. Видно, что простой алгоритм не сходится при Ω = (1, 0, 0, 0, 1, ) и Ω =(1, 1, 0, 1, 0), градиентный же алгоритм сходится при любых информационныхограничениях.

Если измерению доступны все компоненты, то экстремальная страте41ния (в данном случае строго оптимальная) имеет вид ¯() = 1, 21 + 2, 72 + 2, 53 +0, 74 − 0, 135 , а оптимальное значение критерия будет ¯ = 3, 44.Рассматриваемая система оказалась вполне возмущаемой при любых информационных ограничениях.Результаты, представленные в табл. 1.1, позволяют проследить влияние составаизмерений на оптимальное значение критерия. Наглядно показано, что чем слабееинформационные ограничения, тем экстремальное значение критерия ближе к величине критерия в случае полной информации.2.5.4Стабилизация ориентации спутника с гибким стержнемРассматривается задача стабилизации углового положения спутника с гибкимэлементом (стержнем) на круговой орбите относительно местной вертикали.Спутник обладает моментом инерции = 0.07 (кг·м2 ) и массой = 35 (кг),отклоняется от местной вертикали на угол под действием возмущающего момента (Рис.