Диссертация (Оптимизация линейных и квазилинейных диффузионных стохастических систем, функционирующих на неограниченном интервале времени, при неполной информации о состоянии), страница 9

Если () найдено, то уравнение (3.4) также является линейным и сводится к векторному уравнениюΓ̇* = Γ* + * ,(3.5)где матрица имеет размерность 2 × 2 ,Γ* = [Γ11 , Γ12 , ..., Γ1 , Γ21 , Γ22 , ..., Γ2 , ..., Γ ]T ,* = [Γ11 , Γ12 , ..., Γ1 , Γ21 , Γ22 , ..., Γ2 , ..., Γ ]T– векторы длины 2 составленные из элементов матриц Γ иΓ =∑︁( + )( + )T .=1Согласно [20] будем считать, что процесс (), удовлетворяющий (3.1), устойчив,если существуют и асимптотически устойчивы первый и второй центральный моменты этого процесса.

При фиксированном значении параметра матрица 0 в (3.3)постоянна, и первый момент () будет асимптотически устойчив, если асимптотически устойчива матрица 0 .Асимптотическая устойчивость (3.5) может быть исследована обычными методами, гарантирующими отрицательность вещественных частей собственных чиселматрицы . Если матрица асимптотически устойчива, то и второй момент Γ()будет асимптотически устойчив. Отсюда следует устойчивость процесса () [20].Обозначим Λ ⊂ Λ ∈ совокупность векторов ∈ Λ, длякоторых матрицы 0 (), () асимптотически устойчивы.Определение 3.1.49Из асимптотической устойчивости матриц 0 , и уравнений (3.3)-(3.5) такжеследует, что уравнения0 ∞ + 0 = 0,∞0 Γ + Γ∞T0+∑︁∞ ΓT+=1∑︁( ∞ + )( ∞ + )T = 0(3.6)(3.7)=1для предельных значений ∞ и Γ∞ имеют решения.

Так же как уравнение (3.4)сводится к (3.5), уравнение (3.7) сводится к эквивалентной системе линейных алгебраических уравнений∞Γ∞* + * = 0,(3.8)∞где Γ∞* – предельное при → +∞ значение функции Γ* (), а вектор * составлениз компонент матрицы∞ =∑︁( ∞ + )( ∞ + )T .(3.9)=1Так как асимптотически устойчивые матрицы не вырождены, то решения уравнений (3.6), (3.8) единственны. А тогда и решение уравнения (3.7) эквивалентного (3.8)также единственно.Учитывая сказанное, далее всюду будем считать, что множество 0 начальныхмер 0 (·) процесса задается условиями:1. борелевская мера 0 (·) абсолютно непрерывна относительно меры Лебега в (имеет плотность);2. существуют конечные вектор математического ожидания и матрица ковариаций.В работе [20] показано, что в этом случае текущая мера (, ·) процесса также обладает свойствами 1, 2 и справеливы уравнения (3.3), (3.4), имеющие единственноерешение.Допустимый вектор параметров ∈ Λ назовем стабилизирующим, если для любого начального распределения 0 (·) ∈ 0 состояния системы (3.1) и любого реализовавшегося в силу уравнения (3.1) процесса (, ·), функционал (3.2) определен и принимает одно и то же постоянное значение ( * (·), ) =¯ ().

Величину ¯ () в этом случае назовем стабильным значением критерия и будем говорить, что система (3.1) обладает свойством стабильности.Определение 3.2.50В работе [46] получены условия стабильности системы в общем нелинейном случае и частном случае линейной системы. Для исследования стабильности вводитсяв рассмотрение функция 0 (), играющая роль множителя Лагранжа, отвечающегоза связь в виде дифференциального уравнения (3.1).

Для линейной системы функция 0 () выбирается в виде квадратичной формы от вектора . В рассматриваемой здесь квазилинейной задаче функцию 0 () следует выбирать в виде линейноквадратичной формы1 0 () = T + T ,2(3.10)где , – постоянные матрицы размеров × , × 1 соответственно.Для корректного использования функции 0 () необходимо доказать справедливость условия А.

Это доказательство дает лемма 3.1.Для любого случайного процесса () системы (3.1) с начальным распределением 0 (·) ∈ 0 вероятностная мера (, ·), являющаяся решением уравнения (1.2), удовлетворяет условию А.Лемма 3.1.Доказательство. Для процесса () системы (3.1) существуют непрерывно дифференцируемые первый () и второй Γ() центральные моменты, удовлетворяющиеуравнениям (3.3), (3.4).

Положим в равентсве (1.4) () = 0 (). Будем иметь⎞⎛∫︁∫︁ ⎝ 0 () (, ) = 0 () (, )⎠ .Правая часть в этом равенстве определена, так как под знаком производной стоитматричное выражение, элементами которого являются моменты первого и второгопорядка, которыедифференцируемы. Следовательно определна и левая часть. Болеетого∫︁1 0 () (, ) = [ Γ()] + T (),2и тогда левая часть равенства (1.4)∫︁1Γ()() 0 () (, ) = [] + T.2(3.11)Правая часть равенства (1.4) для квазилинейной системы (3.1) также представляет собой линейную композицию моментов первого и второго порядков.

Подставляяв равенство (3.11) производные Γ/, /, определяемые дифференциальнымиуравненими (3.3), (3.4), нетрудно убедиться в тождественном равенстве левой и правой частей условия (1.4).51Далее воспользуемся теоремой 1.1 которая также применима к рассматриваемойзадаче, так как стратегия управления ¯() в указанной теореме фиксирована (в рассматриваемом случае фиксирован вектор параметров ). Применительно к рассматриваемой здесь квазилинейной задаче указанная теорема будет иметь следующийвид.Пусть выбран вектор параметров ∈ Λ, а функция 0 () вида (3.10)и число ¯ удовлетворяют условиям:Теорема 3.1.1. для любого начального распределения состояния 0 (·) ∈ 0 и реализовавшегосяпроцесса (, ·) функция∫︁10 ( (, ·)) = 0 () (, )(3.12)2ограничена на интервале [0, +∞);2.

ℎ(, ) = ¯ , ∈ .Тогда вектор параметров является стабилизирующим, и система (3.1) обладаетсвойством стабильности.Здесьℎ(, ) =∑︁ (, )=1∑︁ ∑︁ 021 () + (, ) 0 () + (, ), 2=1 =1(3.13)где (, ) = { (, )}=1 = 0 () + 0 () суть коэффициенты сноса системы (3.1),а матрица диффузии имеет вид{ },=11 ∑︁=( + )( + )T .2 =1(3.14)Функция ℎ(, ) с учетом (3.10) для рассматриваемой задачи имеет линейноквадратичный вид1 T1 ∑︁1Tℎ(, ) = Ψ + Θ + 0 +T + ,22 =12гдеΨ=T0∑︁(3.15)T + .(3.16)T + 0T + .(3.17)+ 0 +=1TΘ = 0 +∑︁=1Достаточные условия выполнения предположения 1 теоремы 3.1 содержатся в следующей лемме.52Пусть задан векторный параметр ∈ Λ, определяющий матрицы , , = 0, . Если ∈ Λ и 0 (·) ∈ 0 , то предположение 1 теоремы 3.1 выполненодля любой функции 0 () вида (3.10).Лемма 3.2.Доказательство. Из (3.10), (3.12) следует, что10 ( (, ·)) = [ Γ()] + T (),2где (), Γ() определяются равенствами (3.3) и (3.4) соответственно.

При заданном значении вектора матрицы , , = 0, постоянны. Об асимптотическойустойчивости первого и второго центрального моментов в случае асимптотическойустойчивости матриц 0 , сказано в пункте 3.2. Так как (3.3) и (3.4) асимптотически устойчивы, их решения ограничены, следовательно, ограничена функция0 ( (, ·)).Имеет место также следующая лемма.Если ∈ Λ , то уравнения (3.6), (3.7) относительно ∞ и Γ∞ и подобные им уравнения относительно и Лемма 3.3.T 0 +∑︁T + 0T + = 0,(3.18)=1T0 + 0 +∑︁T + = 0(3.19)=1имеют решения, и эти решения единственны.

Кроме того, матрицы и Γ∞ неотрицательны (в смысле соответствующих квадратичных форм).Доказательство. Существование и единственность решений уравнений (3.6), (3.7)доказаны в пункте 3.2.Уравнение (3.19) подобно уравнению (3.7). В результате с ним можно связатьэквивалентное ему уравнение˜ * + * = 0,(3.20)аналогичное уравнению (3.8). Принимая во внимание (3.7), (3.9), (3.16), (3.19) имеем = 0 Γ∞ + Γ∞ T0 +∑︁∞ Γ∞ T + ,=1Ψ=T0+ 0 +∑︁T + .=1Элемент матрицы будет иметь вид =∑︁=1(0 Γ∞+Γ∞ 0 )+ ∑︁ ∑︁∑︁=1 =1 =153∞ Γ∞ + ,а производные элементов по компонентам матрицы Γ∞ = {Γ∞ } имеют вид∑︁= (0 + 0 + ),Γ∞=1где – символ Кронекера.

Аналогично, выписав производные элементов Ψ покомпонентам матрицы = { }, можно увидеть, чтоΨ.=∞Γ(3.21)Равенство (3.21) указывает, что матрица ˜ в (3.20) является транспонированнойматрице уравнения (3.5), ˜ = T .Так как асимптотически устойчива, то и матрица также асимптотическиустойчива и невырождена. Следовательно уравнение (3.20) имеет единственное решение. А тогда и эквивалентное (3.20) уравнение (3.19) также имеет единственноерешение. Далее из асимптотической устойчивости матрицы 0 также следует существование и единственность решения уравнения (3.18) относительно матрицы .Остается доказать, что матрицы и Γ∞ неотрицательны.

При условии, что0 (·) ∈ 0 , ∈ Λ , матрица Γ∞ – предельная ковариационная матрица и неотрицательна по определению. Сложнее доказательство неотрицательности . Оказывается можно сконструировать квазилинейную стохастическую устойчивую по Параевусистему, отличную от (3.1), для которой матрица будет предельной ковариационной матрицей, из чего будет следовать неорицательность .