Автореферат (Системы моментных уравнений и следующие из них модели неравновесных течений), страница 3

(25)В правых частях уравнений фигурируют времена релаксации моментовчетвертого порядка τ 4 и τ Ω 4 , определяемые в соответствии с описаннымвыше методом построения системы моментных уравнений.Система М24, дополненная зависимостями (24) и (25), образует систему45-ти скалярных уравнений, условно называемую системой М45. Областьтечений, свободная от коротковолновой неустойчивости, у системы М45несколько шире, чем у системы М24. На Рисунке 2 показаны профилискорости и температуры в ударной волне одноатомного газа, рассчитанные спомощью системы М45.Коротковолновая неустойчивость системы М45 связана с тем, чтомоментыпятогопорядка,присутствующиеввыраженияхмоментовчетвертого порядка представлены своими локальными выражениями.Ослабление влияние локальных выражений моментов пятого порядкана решения системы и сокращение ее до 24-х уравнений, будет достигнуто,17(4 ) иесли вместо дифференциальных уравнений согласующих добавок mijklmijΩ(4 ) использовать их приближения.Рисунок 2.

Профили скорости и температуры в ударной волнеодноатомного газа. Система М45; τ / τ p = 0.5 , τ 4 / τ p = 1 .Если рассматривать время релаксации как малую величину и принятьTij ≈ δ ijTt , то выделение старших членов (24), (25) приводит к выражениям:   ∂ϕ∂Tt  2 R T  *** − ϕ 1 ∂ρ  + δ ϕ−*** ρ ∂x ** **α ∂x   t  ∂xτ4    *α *(4) ; (26)mijkl = − τ pmτ p  τ τ  pm5 − 3γ Rρθ  p**5 − 3γ Rρθ  p  **−+ δ **+ δ ** τ τ ρ ττ2h2 hτ p  p  p p pm∂TΩ 3 cΩ τ Rθ  pijcΩ Rρθ   2cΩϕijα ∂x + 2 c τ h  τ + δ ij c hτ  + ταv pvp   pmijΩ(4 ) = − Ω 4 τ p .τp  ∂ω∂Tt  T  * − ω 1 ∂ρ  + δ ω+R* ρ ∂x ij α ∂x  t  ∂x**αУравнения моментов третьего порядка с учетом (22), (23) примут вид:(27)18∂ϕi jk∂t(4 ))(∂u∂TR∂1 ∂mijkα2 ϕi jk+uα ϕi jk + ϕ**α * + P*α ** +=−;∂xα∂xα 2∂xα 2 ∂xα3 τp∂uic ω∂TΩ ∂miΩα(4 )∂+uα ωi + ωα+ cΩ Piα+=− Ω i .∂t ∂xα∂xα∂xα∂xαcω τ p∂ωi()(28)(29)Остальные уравнения системы М24 остаются неизменными.

ПолученнаясистемауравненийвдальнейшемназываетсясистемойМ24с.Еекоротковолновую неустойчивость демонстрирует Рисунок 3.Рисунок 3 Профили скорости в ударной волне одноатомного газа.Система М24с; τ τ p = 0.612 ; τ 4 / τ p = 1 .При M ∞ ≥ 3 профиль начинает «делиться» на два участка, что несоответствует природе явления. Субскачок в характерном для него виде невозникает даже при гиперзвуковых числах Маха.Дальнейшее ослабление влияние локальных выражений моментовпятого порядка на решения системы будет достигнуто, если приближениеTij ≈ δ ijTt дополнить приближением ϕ ijk ≈ (δ jkϕ i + δ ikϕ j + δ ijϕ k ) 5 . Уравнения(26) и (27) примут следующий вид:191 ∂ψ *∂T∂T  R  Tδ ** −+ δ **ψ *+ 2δ **δ **ψ α∂∂∂5xxx **α (4 )= −τ 4 ρ mijkl2 ;mτp5 − 3γ Rθ  − τ p  ** + δ ** ρτ τ2hτppp (30) 1 5 − 3γ  ∂T∂T ∂ϖ *∂T ψ * + T+ δ ijψ α+ δ ijϖ α+5 2(γ − 1)  ∂x*∂xα ∂x*∂xα mijΩ (4 ) = −τ Ω 4 Rρ .mpγτθγθ35353R−− ij + δ ij+2 2 τ p h  ρτ p2 hτ p  (31)Система М24с, в которой уравнения (28), (29) записаны с учетом (30),(31),вдальнейшемобозначаетсякакМ24сс.Профилискорости,рассчитанные с помощью системы М24сс представлены на Рисунке 4.Рисунок 4.

Профили скорости в ударной волне одноатомного газа.Система М24сс; τ τ p = 0.612 ; τ 4 / τ p = 1 .Согласующие добавки (26), (27) приводят к появлению вторыхпроизводных ϕijk и ωi в их моментных уравнениях (28), (29). Известнымсвойством вторых производных является сглаживание решения. КривыеРисунка 3 сглажены вторыми производными моментовϕijkиωi .20Согласующие добавки в виде (30), (31) не содержат момента ϕijk , и будучиподставленными в (28) не повышают порядка дифференциального уравнения.Таким образом, сглаженный вид профилей Рисунка 4 следует отнести кдостоинствам метода согласования.Принято считать, что причиной коротковолновой неустойчивостисистемы моментных уравнений является нарушение сходимости в среднемряда, используемого Грэдом в аппроксимирующей функции распределения.Аппроксимирующая функция распределения системы М24 не содержитразложения в ряд, тем не менее, на профиле ударной волны, рассчитанной спомощью системы М24, при M ∞ ≈ 1.8 возникает субскачок, см.

Рисунок 1.ХарактеркоротковолновойнеустойчивостисистемыМ24полностьюсоответствует характеру 20-моментной системы Грэда.Согласование балансового и локального выражений замыкающихмоментов позволяет исключить субскачок, см. Рисунок 2. Ослаблениевлияния локального выражения моментов пятого порядка, присутствующих взависимостях замыкающего момента, в еще большей степени снижаюткоротковолновую неустойчивость, см. Рисунок 3 и Рисунок 4.Материалы Раздела 2 приводят к следующим выводам:– основной причиной коротковолновой неустойчивости систем моментныхуравнений является рассогласование локального и балансового выраженийвысших моментов, в частности – замыкающих моментов;– совокупность описанных выше способов согласования локального ибалансового выражений моментов высших порядков может рассматриватьсякак метод снижения коротковолновой неустойчивости системы моментныхуравнений.В третьем разделе получены первое и второе приближения системыМ24.21Линейные комбинации уравнений (16), (18), (19) позволяют записатьуравнения температур:∂u1 ∂qα∂T∂T+ uα+ (γ − 1)Tαβ α += 0;∂t∂xα∂xβ cv ρ ∂xα(32)∂Tt∂T∂u22 ∂ϕα5 − 3γ θ+ uα t + Tαβ α +=−;∂t∂xα 3∂x β 3Rρ ∂xα2 hτ p(33)∂TΩ∂T1 ∂ωα 3(γ − 1) θ+ uα Ω +=.∂t∂xα cΩ ρ ∂xα2 hτ p(34)Два последних уравнения дают уравнение разности температур:∂u1 ∂  21∂θ∂θ 2θ ϕα −ωα  = −.+ uα+ Tαβ α +∂t∂xα 3∂xβ ρ ∂xα  3RcΩhτp(35)Линейная комбинация уравнения (19) с его сверткой приводит к уравнению:()∂uβpijm∂ m∂∂u*2∂ 1 mpij +uα pij + P*α− δ ij Pαβ+2.

(36) ϕ ijα − δ ij ϕα  = −∂t∂xα∂xα3∂xα∂xα 3 τpПервые приближения (в смысле процедуры Чепмена-Энскога) системыМ24 могут быть получены в предположении того, что время релаксациинапряжений τ p является малой величиной, по отношению к величинеосновных газодинамических переменных. Из уравнений неравновесныхвеличин следует, что порядок малости этих величин – τ p . Удерживая вуравнениях неравновесных величин только старшие по величине члены,приходим к выражениям:2 µ ∂uα;3 Rρ ∂xαθ [1] = − h ∂u2 ∂uαpijm[1] = − µ  * − δ ij3 ∂xα ∂x*(37) ;(38)∂T15Rµ t ;4∂xi(39) c p 15  ∂TΩ− R  µ.Pr4∂xi(40)1]ϕ i[1] ≡ ϕ i[αα=−ωi[1] = −22В этих выражениях надстрочные квадратные скобки обозначают порядокприближения.

Коэффициент вязкости определен как µ = τ p p m .В механике сплошной среды тензор напряжений разложен как:Pij = pij + δ ij p ,где(41)pij – термодинамические неравновесные напряжения;p = ρRT–термодинамическое давление.С учетом (4), (8) и (41)pij = pijm + δ ij5 − 3γρRθ .2(42)В первом приближении:pij[1] = pijm[1] + δ ij5 − 3γ∂u25 − 3γ  ∂uα.hρRθ [1] = − µ * + δ ij µ 1 −2∂x*3 2∂x α(43)Это выражение содержит коэффициент объемной вязкости µ ′ в явном виде:µ′ =5 − 3γhµ2(44)Первое приближение теплового потока:c p ∂Tqi[1] = ϕ i[1] + ωi[1] = − µPr ∂xi(45)Полученные уравнения представляют собой строгие (не содержащиедополнительных допущений) первые приближения неравновесных величин,следующие из системы М24.

Эти уравнения в совокупности с уравнениямисохранения массы и импульса позволяют построить две неэквивалентныесистемы уравнений первого приближения.Система, содержащая 5 моментных уравнений и называемая вдальнейшем 5-моментной системой или 5-моментной моделью, имеет вид:∂ρ ∂ρuα+=0;∂t∂xα∂ui∂u1 ∂Piα+ uα i += 0;∂t∂xα ρ ∂xα(46)23∂u∂T∂T1 ∂qα+ uα+ (γ − 1)Tαβ α += 0;∂t∂xα∂xβ cv ρ ∂xαpij = − µ∂u*2  5 − 3γ+ δ ij 1 −∂x*32 ∂uh µ α ; ∂xαqi = −cpPrµ( )∂T; µ = µ Ts∂xiТемпературы Tt и TΩ в приближении, соответствующем приближениюсистемы (46), могут быть определены следующим образом:Tt = T +5 − 3γ [1]5 − 3γ µ ∂uαθ =T −;h23Rρ ∂xα(47)TΩ = T −3(γ − 1)θ [1] = T + (γ − 1)h µ ∂uα .2Rρ ∂xα(48)На Рисунке 5 показаны профили температур в ударной волнедвухатомного газа. Значение параметра h составляло h = 2.5 ( s = 1 – модельмаксвелловских молекул).Рисунок 5.

Профили температур в плоской ударной волне двухатомногогаза. 5-моментная система; M ∞ = 5 ; s = 1 ; h = 2.5 .На профиле температуры внутренних степеней свободы имеет местофизически неадекватная область. Этот модельный эффект наблюдается привсех значениях h > 1 и подробно рассмотрен в диссертационной работе. В24частности показано, что первого приближения разности температур θ недостаточно для определения температур Tt и TΩ в том же приближении.

Этоположение распространено на модели высших приближений.Термодинамическая температура определена качественно верно. Еслирасчет поля течения ограничивается только этой температурой, то 5моментнаямодельможетрассматриватьсякакмодель,уточняющаяклассическую модель НСФ в отношении коэффициента объемной вязкости.Система, содержащая 6 моментных уравнений (двухтемпературнаямодель), также является строгим первым приближением системы М24.∂ρ ∂ρuα=0+∂t∂xα∂ui∂u1 ∂Piα+ uα i +=0∂t∂xα ρ ∂xα∂u∂Tt∂T 22 ∂ϕ α5 − 3γ Tt − TΩ+ uα t + Tαβ β +=−∂t∂xα 3∂xα 3ρR ∂xα2hτp;(49)∂TΩ∂T1 ∂ωα 3(γ − 1) Tt − TΩ+ uα Ω +=∂t∂xα cΩ ρ ∂xα2hτp ∂u2 ∂uαpijm = − µ  * − δ ij3 ∂xα ∂x*Здесь ;Pij = pijm + δ ij p m ,ϕi = −( )∂T15Rµ t ;4∂xiωi = −cΩ µ∂TΩ∂xi.µ = µ Tt s . Коэффициент объемной вязкости, аследовательно и первое приближение разности температур, не используется.На Рисунке 6 совмещены профили температур 5-моментной идвухтемпературной моделей.